☉清華大學附屬中學 侯陳雋

一、問題的提出

能源是人類生存和發(fā)展的重要基礎.我們?nèi)粘＜彝ド钪惺褂玫碾姛簟⑾匆聶C、冰箱、空調(diào)等要消耗電，做飯燒水要消耗天然氣等.我們的生活用能變化蘊含著怎樣的變化規(guī)律？如何建立數(shù)學模型來反映這些規(guī)律并進行預測？

二、數(shù)據(jù)收集處理

從“中國經(jīng)濟與社會發(fā)展統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫”（http：∥#cnki.net/）上獲得1990-2015年居民生活用能情況.由于獲得的液化石油氣、天然氣、煤氣的消耗量單位不同，因此按照這3種氣體大致的熱值12 000Kcal/kg、8500Kcal/m3、3500Kcal/m3計算得到總用氣量，處理后的數(shù)據(jù)見表1（為減少篇幅，表1僅列出了每5年的數(shù)據(jù)，本文數(shù)學建模用了25年數(shù)據(jù)）.

繼續(xù)查詢了1990-2015年城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民人均收入、城鎮(zhèn)人口比重數(shù)據(jù).統(tǒng)計數(shù)據(jù)中關于人均收入給出了兩個值，一是當年價的人均收入，二是相對于1978年的指數(shù).由于貨幣量指標涉及價格問題，不同年份間的貨幣量為了可比較需要剔除由于通貨膨脹等引起的價格變化因素.因此根據(jù)下面計算式計算出全國居民以2015年價格計算的人均收入It，結(jié)果如表2所示（同樣為減少篇幅僅給出每5年的數(shù)據(jù)）.

其中Ut表示t年城市人口比重，UIDt、CIDt分別表示城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民t年的當年價人均收入，UDt、CDt分別表示城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民t年人均收入相對于1978年的指數(shù).

三、模型建立

1.人均生活用能變化規(guī)律

為了探究人均生活用能的變化規(guī)律，將上述處理過的分類用能數(shù)據(jù)與人均收入數(shù)據(jù)用Excel畫圖顯示，見圖1，其中的散點是統(tǒng)計數(shù)據(jù)，曲線與直線分別用多項式函數(shù)和線性函數(shù)擬合.

表1 1990-2015年人均生活用能數(shù)據(jù)

表2 1990-2015年人均收入數(shù)據(jù)

圖1 人均生活用能（電、氣、煤）隨人均收入變化的規(guī)律

多項式函數(shù)可以較好地描述已有的統(tǒng)計數(shù)據(jù)間的數(shù)學關系，但是我們建立人均生活用能數(shù)學模型的一個重要目的是預測未來人均收入進一步提高后的人均生活用能情況，而多項式數(shù)學模型將使得當人均收入達到25000元時人均生活用電量及人均生活總用能量都呈下降趨勢，與現(xiàn)實不符，故不宜使用.

人均生活用電與用氣量均隨人均收入的增加而增加，而且大致可以用線性函數(shù)進行描述.在人均收入5000元之前，人均用電與用氣量都很低，煤炭是主要的生活燃料.但煤炭燃燒會造成嚴重的大氣污染與室內(nèi)污染，危害居民身體健康.隨著人均收入的提高，一方面居民有能力選擇價格更高的清潔能源，另一方面居民的健康與環(huán)境保護意識加強，因此人均用煤量不斷下降.當人均收入低于5000元時，由于人均用煤量的降低，人均生活總用能也呈下降趨勢；當人均收入高于5000元時，人均生活總用能隨人均收入的提高而增加，而且也大致呈線性關系.

2.線性函數(shù)模型

設t年的人均收入為自變量xt，人均生活用能（或人均用煤量或人均用電量或人均用氣量）為因變量yt，若x與y之間存在近似的線性相關關系，則可以用下面的回歸直線方程來表示這種關系：

為使得回歸值與統(tǒng)計值間全部誤差的平方和達到最小，系數(shù)a和b的計算公式如下：

檢驗變量x與y相關關系的統(tǒng)計量相關系數(shù)R的計算公式如下：

其中T為25.

應用上述計算式可以求得人均生活用電量與人均收入的相關系數(shù)R為0.99，R非常接近于1，說明線性相關程度非常強.在《高中數(shù)學選修2-3》附表中可以查到R0.01為0.505，R>R0.01，因此有99%的把握認為人均收入與人均生活用電量之間具有線性關系，建立的線性函數(shù)模型如下：

ELEt=0.027It-23.8.

其中ELEt為人均用電，It為人均收入.該線性函數(shù)的斜率表明人均收入每增加1千元，人均用電將增加27度.

同樣可以求得人均生活用氣量與人均收入的相關系數(shù)R為0.98，人均生活用電量與人均收入間的線性函數(shù)模型如下：

GASt=0.002It+2.172.

其中GASt為人均用電，It為人均收入.該線性函數(shù)的斜率表明人均收入每增加1千元，人均用氣每年將增加2m3.

用相同的方法可以得到當人均收入低于5000元時人均生活用煤量與人均收入的相關系數(shù)R為0.98，人均生活用煤量與人均收入間的數(shù)學模型可表示為：

其中COAt為人均用煤，It為人均收入.當人均收入低于5000元時，人均收入每增加1千元，人均用煤量每年將下降42kg；當人均收入高于5000元后人均煤炭的使用量大致穩(wěn)定在70kg左右.若要進一步下降煤炭消費量，政府需要加強電網(wǎng)、天然氣管道的建設，使得更多的居民在收入提高后可以獲取清潔的能源而不再使用煤炭.

用相同的方法可以求得人均生活總用能量與人均收入的相關系數(shù)R為0.98，人均生活用氣量與人均收入間的線性函數(shù)模型為：

ENEt=0.013It+79.79.

其中ENEt為人均生活總用能，It為人均收入.人均收入每增加1千元，每年人均生活總用能將增加13kgce.

四、模型的改進與應用

應用上述線性函數(shù)模型可以預測未來的人均生活用能情況.例如，當人均收入增加至30000元時，人均生活總用能、人均生活用電量、人均生活用氣量將分別增加到470kgce左右、786度、62m3左右.當人均收入達到1.5萬美元即10萬元時，人均生活總用能、人均生活用電將達到1380kgce、2676kWh左右.而英國當前人均收入約是我國居民的10倍左右，其人均生活總用能、人均生活用電僅分別為800kgce、2000kWh.因此需要對線性函數(shù)模型進行改進，以反映我國大力提倡的節(jié)能減排政策.

考慮到人均生活用能不能隨人均收入的增長而持續(xù)增長，應該控制在一個合理的水平之下，因此應用如下的函數(shù)形式建立數(shù)學模型：

ENEt=ENE0eαeβIt，

圖2 應用分段數(shù)學建模對人均生活用能的預測

應用此模型預測得到的人均收入10萬元時的人均生活總用能為785kgce，在人均收入達到12.5萬之后人均生活總用能維持在800kgce左右.

若假設當前英國居民的人均生活用電量2000KWh為合理生活用電控制水平，以為縱坐標，It為橫坐標作圖，擬合的曲線也呈線性關系，計算的相關系數(shù)R為0.97，α，β分別為-3.904、-5.63E-5.取收入60000元作為兩個模型預測的分段點預測的人均生活用電結(jié)果見圖3，改進后的模型可以表示為：

應用該模型可預測當人均收入達到10萬元后人均生活用電大致維持在2000kWh.

圖3 應用分段數(shù)學建模對人均生活用電的預測

五、結(jié)論

在一定的收入水平范圍內(nèi)，人均生活用能（用電、用氣）與人均收入成線性相關，可以建立線性函數(shù)模型預測人均收入一定增長后的人均生活用能（用電、用氣）；當人均收入幾倍甚至幾十倍于擬合所采用的統(tǒng)計值時，應該考慮采用合理控制水平的數(shù)學模型.這種建立線性函數(shù)模型與考慮合理控制水平數(shù)學模型相結(jié)合進行分段預測的方法可以推廣適用于其他方面，比如戶均空調(diào)擁有量的預測等.