徐章韜 馬菡 梁玉

摘 要：要讓“圓”的學(xué)習(xí)變得容易一些，化曲為直是最根本的思路?？紤]到圓具有完美的對稱性（即軸對稱、中心對稱、根本上是旋轉(zhuǎn)不變），從具有對稱性的三角形、四邊形等多邊形出發(fā)來認(rèn)識圓，將圓的重要性質(zhì)（如垂徑定理、圓周角定理、圓冪定理、托勒密定理等）歸結(jié)到這些基礎(chǔ)的直線圖形中，進而打通知識之間的聯(lián)系，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。由此得到教育上的啟示：平面幾何的課程不能過度刪減；平面幾何的考查不能過于復(fù)雜。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué) 圓 多邊形 對稱性 知識關(guān)聯(lián)

在現(xiàn)行平面幾何課程體系下，圓是其中唯一的曲線圖形，形式優(yōu)美，性質(zhì)豐富，大大豐富了平面幾何的內(nèi)涵。但是同時，圓也是平面幾何的難點之一。如何攻克這個難點，讓圓的學(xué)習(xí)變得容易一些，是教育數(shù)學(xué)一直關(guān)注的問題。對此，化曲為直是最根本的思路?？紤]到圓具有完美的對稱性（即軸對稱、中心對稱，根本上是旋轉(zhuǎn)不變），可以從具有對稱性的三角形、四邊形等多邊形出發(fā)來認(rèn)識圓，將圓的重要性質(zhì)歸結(jié)到這些基礎(chǔ)的直線圖形中，進而打通知識之間的聯(lián)系，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

一、垂徑定理的認(rèn)識

垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧。垂徑定理體現(xiàn)了圓的軸對稱性，我們可以聯(lián)系等腰三角形來認(rèn)識它。對于不是直徑的弦，把圓心和兩端點連接起來，就能得到一個等腰三角形。顯然，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)（把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形）很好地反映了垂徑定理。

把一個圓n（n∈N*，n≥3）等分，依次連接各等分點所得的多邊形為這個圓的內(nèi)接正n邊形。由正三角形、正方形、正五邊形……一直延續(xù)下去，就能得到圓。正多邊形（一定有唯一的外接圓）體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，而我們也可以聯(lián)系等腰三角形來認(rèn)識它。正多邊形的每條邊都是圓的一條弦，因此正多邊形是由多個等腰三角形組成的，正多邊形的性質(zhì)可以歸結(jié)為等腰三角形的性質(zhì)。

此外，直線與圓的位置關(guān)系是由直線到圓心的距離（即相應(yīng)垂線段的長）d和圓的半徑r的關(guān)系決定（描述）的（本質(zhì)上是直線上到圓心距離最小的點與圓的位置關(guān)系）。垂徑定理反映的其實是直線與圓相交的情況?；诖?，直線與圓的位置關(guān)系可以用等腰三角形底邊上的高h(yuǎn)與圓的半徑r的關(guān)系來理解（刻畫）：如圖1，若hr，點在圓外，直線與圓相離。這樣可以把這些位置關(guān)系看得更加清楚。

進而，圓與圓的位置關(guān)系是由兩個圓心的距離d和兩個圓的半徑R、r的關(guān)系決定（描述）的（本質(zhì)上是一個圓心與半徑為兩個圓

的半徑和或差的圓的位置關(guān)系）。直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系可以對應(yīng)起來：直線可以看成半徑無窮大的圓（這一點在下面對托勒密定理的認(rèn)識中有所體現(xiàn)），那么直線與圓相交就變成了圓與圓相交，直線與圓相切就變成了圓與圓內(nèi)切或外切，直線與圓相離就變成了圓與圓內(nèi)含或外離。類似的，圓與圓的位置關(guān)系可以用等腰三角形底邊上的高h(yuǎn)與兩個圓的半徑R、r（假設(shè)R≥r）的關(guān)系來理解（刻畫）：

二、圓周角定理的認(rèn)識

圓周角定理是指同?。ㄏ遥┗虻然。ㄏ遥┧鶎Φ膱A周角相等，等于所對的圓心角的一半。圓周角定理體現(xiàn)了圓的中心對稱（旋轉(zhuǎn)不變）性，我們也可以聯(lián)系等腰三角形來認(rèn)識它。如圖3，把扇形看作一個曲底等腰三角形，用類似于三角形全等的判定定理（SSS），很容易得出圓周角定理。這里其實強調(diào)了弧（曲）與弦（直）的對等性。

當(dāng)圓周角的一條邊由弦變成切線時，圓周角定理就變成了弦切角定理。因此，弦切角定理可以看作圓周角定理的推廣，同樣可以由等腰三角形的性質(zhì)來推導(dǎo)。如圖4，四邊形OAPB是一個箏形，由兩個等腰三角形拼接而成。由OP⊥AB，OA⊥PA，OB⊥PB，易得∠PAC=∠PBC=12∠AOB。

根據(jù)圓周角定理，還能得到四點共圓角度方面的刻畫（性質(zhì)與判定）：圓內(nèi)接四邊形對角互補；線段同側(cè)對線段張角相等的兩點與線段兩端點共圓；等等。這里不再贅述。

三、圓冪定理的認(rèn)識

圓冪定理的推導(dǎo)可以在計算思維的引導(dǎo)下進行：利用圓的半徑的旋轉(zhuǎn)不變性，構(gòu)造等腰三角形（兩個全等的直角三角形），巧妙地運用勾股定理（平方差公式）多次計算。

（一）相交弦定理

如圖5，PA·PB=（MA-MP）·（MB+MP）=MA2-MP2=（OA2-OM2）-（OP2-OM2）=OA2-OP2；同理，PC·PD=OC2-OP2。因此，相交弦定理成立。

（二）切線長定理

根據(jù)圖4，一方面，由弦切角定理不難得到切線長定理；另一方面，由直角三角形全等（或勾股定理）也不難得到切線長定理。

特別地，利用勾股定理推導(dǎo)切線長定理時，進一步作變形，可以得到切割線定理的特殊情況（割線為直徑）。如圖4，PA2=PO2-r2=（PO-r）（PO+r） =PD·PE。而且，這里還有PA2=PC·PO。

（三）切割線定理

如圖6，PA2=OP2-r2=（OP2-OH2）-（r2-OH2）=PH2-FH2=（PH-FH）·（PH+FH）=PF·PG。這樣，就得到了切割線定理。

由此可以充分理解圓冪定理中圓冪的定義：點P對半徑為r的⊙O的冪a=OP2-r2，故圓內(nèi)的點的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。

此外，點與圓的位置關(guān)系是由點到圓心的距離d和圓的半徑r的關(guān)系決定（描述）的。圓冪定理實際上反映了點與圓的位置關(guān)系。

四、托勒密定理的認(rèn)識

托勒密定理是指圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，它是四點共圓長度方面的刻畫（性質(zhì)與判定）。托勒密定理充分體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，我們可以聯(lián)系多種具有對稱性的四邊形來認(rèn)識它。而且，托勒密定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中很多結(jié)論的幾何形式或一般形式，我們可以用它串聯(lián)起這些內(nèi)容，并認(rèn)識這些內(nèi)容的本質(zhì)。

如圖7，在線段AD上，順次標(biāo)有B、C兩點，則由實數(shù)多項式乘法法則不難得出AB·CD+AD·BC=AC·BD。這反映出線段（直）和圓（曲）的對等性。

如圖8，在復(fù)平面中的一個圓上，有A、B、C、D四點，分別對應(yīng)復(fù)數(shù)a、b、c、d，則AB、CD、AD、BC、AC、BD分別對應(yīng)復(fù)數(shù)a-b、c-d、a-d、b-c、a-c、b-d，由復(fù)數(shù)多項式乘法法則不難得出（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），也即AB·CD+AD·BC=AC·BD?？梢姡欣彰芏ɡ硎嵌囗検匠朔ǚ▌t的幾何形式。

如圖9，在⊙O中，取內(nèi)接矩形ABCD，則由勾股定理可得AB·CD+AD·BC =AB2+BC2=AC2=AC·BD?？梢姡欣彰芏ɡ硎枪垂啥ɡ淼囊话阈问?。

如圖10，在⊙O中，取內(nèi)接等腰梯形ABCD，則由余弦定理可得AB·CD+

AD·BC=AB2+（BC-2ABcos∠ABC）·BC=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=AC2=AC·BD?？梢?，托勒密定理也是余弦定理的一般形式。

如圖11，在⊙O中，取內(nèi)接箏形ABCD，則由三角形面積公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·BC+AD·CD=2S△ABC+2S△ADC=AC·BP+AC·DP=AC·BD?？梢姡娣e法威力巨大。

值得一提的是，箏形還有內(nèi)切圓，內(nèi)切圓圓心是箏形對稱軸和一組等角的兩條平分線的交點；內(nèi)切圓和箏形四條邊的四個切點的連線是等腰梯形，和箏形兩條對角線的四個交點的連線還是箏形，如圖12?？梢?，箏形是刻畫共圓性的好工具。

如圖13，在⊙O中，取一條對角線過圓心（即為直徑），即一組對角均為90°的內(nèi)接四邊形ABCD，則連接AO，交⊙O于H，連接CH，由兩角和的正弦公式可得AB·CD+AD·BC=BDcos∠ABD·BDsin∠DBC+BD·sin∠ABD·BDcos∠DBC =BD2（cos∠ABD·sin∠DBC+sin∠ABDcos∠DBC）=BD2·sin∠ABC=AH·BDsin∠AHC=AC·BD。類似的，由兩角差的正弦公式、兩角和與差的余弦公式也可以得到托勒密定理?？梢姡欣彰芏ɡ硎莾山呛团c差的正弦、余弦公式的一般形式，能讓平面幾何走向解析化。而由兩角和與差的正弦、余弦公式可以推出全部三角變換公式（比如，誘導(dǎo)公式只要令一個角為π2的整數(shù)倍；二倍角公式只要令兩個角相等），即所有的三角問題都脫胎于托勒密定理。這充分體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)不變性。在平面幾何問題解決（知識運用）中，常常需要通過旋轉(zhuǎn)等變換技巧，把大角拆分成小角之和。

如圖14，在⊙O中，取內(nèi)接一般四邊形ABCD，則過點D作AC的平行弦DF，連接CF，構(gòu)造等腰梯形ACFD，連接AF、BF，由三角形面積公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·AF+CF·BC=2S△ABFsin∠BAF+2S△BCFsin∠BCF=2S梯形ABCFsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BDF=2S梯形ABCDsin∠BEC= AC·BD。這實質(zhì)上是利用具有軸對稱性的等腰梯形，對圓內(nèi)接四邊形進行等面積變換。其實，面積法是平面幾何的根本大法。

如圖15，在⊙O中，取內(nèi)接一般四邊形ABCD，則在對角線AC 上取一點K，使得∠ABK=∠DBC，又有∠BAK=∠BDC，因此△ABK∽△DBC，則AKAB=DCDB，即AK·DB=AB·DC（記為①）；同時，可得∠CBK=∠DBA，又有∠BCK=∠BDA，因此△CBK∽△DBA，則CKCB=DADB，即CK·DB=CB·DA（記為②）。①②兩式相加，得AK+CK·BD=AB·CD+AD·BC，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。這實質(zhì)上是把圓內(nèi)接四邊形通過旋轉(zhuǎn)、相似（縮?。┳儞Q到其對角線分割出的一個三角形中，從而表現(xiàn)出其有外接圓（四點共圓）的特征，因為三角形必有外接圓（三點共圓）。其實，這就是基于圓周角定理（即四點共圓角度方面的刻畫）來證明托勒密定理（即四點共圓長度方面的刻畫），也體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)不變性。

五、教育上的啟示

從上面的數(shù)學(xué)內(nèi)容分析中，我們至少可以得出兩點教育上的啟示：

（一）平面幾何的課程不能過度刪減

平面幾何是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)極好的載體，舍此有無其他更好的途徑，目前似乎尚未有定論。再激進的數(shù)學(xué)教育改革也

都沒有讓平面幾何退出歷史舞臺，因此其教育價值不容置疑。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不能在腦海中形成一幅畫面，則印象不夠深刻，理解不夠通透；直觀想象能力不足，數(shù)學(xué)認(rèn)知、解題、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新能力也會大受制約。平面幾何學(xué)得越多，數(shù)學(xué)越簡單；學(xué)得越少，數(shù)學(xué)也就越難，因此其中的重要定理、公式不應(yīng)被刪減。而且，平面幾何內(nèi)容前前后后都有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，不宜過度刪減。比如，托勒密定理可以說是所有三角變換公式的源頭，大肆刪減平面幾何對于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)無異于釜底抽薪?？傊?，課程改革要把基本的、重要的知識還給學(xué)生，去枝強干、固本強基，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，促進其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

（二）平面幾何的考查不能過于復(fù)雜

平面幾何表面上是演繹推理，不需要計算，實際上需要的是一種“不算而算”的計算思維，在腦海中經(jīng)歷分解問題、理清屬性、洞察聯(lián)系、探尋規(guī)律、逐個擊破、整合優(yōu)化的“計算”過程，生成步步推敲、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹坝嬎恪苯Y(jié)果。因此，對于平面幾何中的一些變換技巧，需要從三角法、解析法、向量法、復(fù)數(shù)法、面積法、質(zhì)點法等多個角度加以分析，才能有清晰的認(rèn)識。比如，三角函數(shù)理論來源于平面幾何，但是，用幾何方法定義三角函數(shù)，并用代數(shù)方法研究三角函數(shù)，可溝通幾何與代數(shù)，從而不僅建立三角函數(shù)中各元素的種種關(guān)系，也為用三角函數(shù)方法解平面幾何題提供程序化思路。比如，余弦定理給出了三角形邊與角的關(guān)系，常用來證明線段的相等或和、差、倍、分關(guān)系以及直線的平行或垂直；正弦定理揭示了三角形內(nèi)角的正弦與對邊的比例關(guān)系，還表示圓的弦與其所對的圓周角與直徑之間的關(guān)系，很多時候?qū)⑵渑c三角形面積公式聯(lián)用，可達(dá)到簡化思路的效果。這正如方程之于算術(shù)應(yīng)用題的意義一樣，有了方程之后，算術(shù)應(yīng)用題就變得程序化了，不再是難題了。而如果一定要用平面幾何方法解平面幾何題，那么就需要運用計算思維把這些解析方法用平面幾何的語言表達(dá)出來。因而，平面幾何的習(xí)題不能編制得過于復(fù)雜，加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。而教育數(shù)學(xué)“重建三角”，并以之重構(gòu)平面幾何的教育價值就在于此。

參考文獻：

[1] 張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[2] 汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.