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摘 要：采用HPM視角來設計“兩角和與差的余弦公式”的教學：利用阿里斯塔克斯解決天文測量問題和托勒密制作弦表的史實來引入，讓學生感受兩角和與差的正、余弦公式產(chǎn)生的必要性；利用帕普斯模型引導學生證明公式，并對帕普斯模型做適當改進；通過微視頻介紹麥克肖恩方法的歷史背景，再讓學生閱讀教材學習這一證明方法并談談感悟，體會麥克肖恩當時的想法。課后反饋表明，這樣的教學溝通了歷史和現(xiàn)實、數(shù)學和人文，體現(xiàn)了“知識之諧”“探究之樂”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

關鍵詞：HPM 價值 證明 兩角和與差的余弦公式

“兩角和與差的余弦公式”是滬教版高中數(shù)學一年級第二學期第5章《三角比》中重要的三角恒等式之一。教材在引入部分指出，在三角比的計算和化簡中常用角α和角β的三角比來表示角α+β或角α-β的三角比，由此引入兩角和與差的正、余弦公式。這里，教材并未清晰地揭示知識產(chǎn)生的必要性，難以激發(fā)學生的學習動機。此外，教材在建立部分利用單位圓，通過旋轉，再根據(jù)兩點間的距離公式推導出兩角差的余弦公式（蘇教版教材也給出了這一方法）。這一方法雖然簡潔明了，學生容易掌握，但是不夠自然，學生很難想到。因此許多教師都嘗試對“兩角和與差的余弦公式”的教學進行改進，然而很少有人從數(shù)學史的視角來設計教學。

美國數(shù)學史和數(shù)學教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）認為，數(shù)學史展現(xiàn)了不同方法的成敗得失，因而今人可以從中汲取思想養(yǎng)料，少走彎路，獲取最佳教學方法。因此少數(shù)教師也嘗試從數(shù)學史的視角來設計兩角和與差的余弦公式的教學，然而在這些教學設計中，數(shù)學史的價值沒有得到充分的體現(xiàn)。

有鑒于此，我們采用HPM視角來設計本節(jié)課的教學，擬定如下學習目標：（1）正確運用兩角和與差的余弦公式進行簡單的化簡和求值；（2）經(jīng)歷兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生和推導過程，理解兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生背景和兩種推導方法；（3）進一步體會數(shù)形結合、代換轉化等數(shù)學思想方法，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)；（4）激發(fā)學習興趣，感悟數(shù)學文化，體會數(shù)學中的人文精神。

一、歷史過程梳理與材料選用

兩角和與差的正、余弦公式被稱為平面三角學的基本公式，伴隨著三角學的誕生而誕生，有關的歷史素材豐富多彩。我們梳理了兩角和與差的正、余弦公式的產(chǎn)生與發(fā)展歷史過程，從學生的認知基礎出發(fā)，選取有關其價值和證明的素材，運用多種方式將這些素材融入教學中。

（一）從天文測量到弦表制作

三角學起源于天文學中的測量問題。公元前3世紀，古希臘著名天文學家阿里斯塔克斯（Aristarchus，前315～前230）觀測得到：在月亮半圓時，日、地、月的中心S、E、M恰好為一個直角三角形的三個頂點，且∠SEM=87°，如圖1所示。阿里斯塔克斯想知道的是，地日距離（ES）是地月距離（EM）的幾倍。當時，人們還不知道87°角的余弦或正弦值，阿里斯塔克斯通過冗長的幾何推理，才得出這個倍數(shù)在18和20之間的結果。

解決天文學中的測量問題，需要計算任意角的三角函數(shù)值。2世紀，古希臘天文學家、數(shù)學家托勒密（C.Ptolemy，約100～170）利用基于托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積）得到的相當于兩角和與差的正、余弦公式的結果，制作了現(xiàn)存最早的弦表（從0°到90°每隔半度比較精確的正弦函數(shù)值）。

這一過程體現(xiàn)了兩角和與差的正、余弦公式的起源和作用。因此，本節(jié)課利用阿里斯塔克斯解決天文測量問題和托勒密制作弦表的史實來引入，讓學生感受兩角和與差的正、余弦公式產(chǎn)生的必要性。這是順應式使用數(shù)學史。

（二）帕普斯模型成為主流

3世紀末，古希臘數(shù)學家帕普斯（Pappus）在《數(shù)學匯編》中提出一個幾何命題，其中蘊含了豐富的三角學知識，為三角公式的證明提供了幾何模型。如圖2所示，設∠AOB=α，∠BOC=β（0<β<α<π，0<α+β<π），OA=OB=OC=1；過C作CD⊥OA于D，作CH⊥OB于H，交半圓于E；過H作HG⊥OA于G，作HM⊥CD于M；過E作EF⊥OA于F，作EN⊥HG于N。于是有OD=cos（α+β），OF=cos（α-β），OH=cos β，CH=HE=sin β，OG=cos αcos β，DG=MH=sin αsin β，GF=NE=sin αsin β。由OD=OG-DG，OF=OG+GF，得cos（α+β）=cos αcos β-sin αsin β，cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。該模型的核心思想是用線段的長度去表示兩角和與差的正、余弦公式中的三角比的值，進

而得到銳角情形下的兩角和與差的正、余弦公式。

20世紀中葉以前，絕大多數(shù)西方教材都采用帕普斯的幾何模型來推導銳角情形下的兩角和與差的正、余弦公式，再利用誘導公式得出任意角情形下的兩角和與差的正、余弦公式。

這一模型符合三角學的歷史發(fā)展，也符合學生的認知過程：三角公式脫胎于幾何命題，學生學習三角函數(shù)是從直角三角形中的邊長比（初中）和單位圓中的三角函數(shù)線（高中）開始的。因此，本節(jié)課利用帕普斯模型引導學生證明公式。當然，帕普斯模型中角的始邊并不都在x軸的正半軸上，這一點與學生的認知基礎有沖突。于是，我們對帕普斯模型做了三點改進：第一，讓學生在猜測公式的基礎上自然地利用三角函數(shù)線表達三角比的值，避免刻意地給出帕普斯模型；第二，將兩個角的始邊同時與x軸的正半軸重合，從兩角差的余弦公式入手降低認知難度；第三，利用該模型得到兩角差的余弦公式后再利用三角代換得到其他公式，突出三角代換的重要性。這是重構式使用數(shù)學史。

（三）從多種方法到麥克肖恩方法

18～19世紀，意大利數(shù)學家卡諾里（A.Cagnoil，1743～1816）、美國數(shù)學家伍德豪斯（R.Woodhouse，1773～1827）、瑞士數(shù)學家哈斯勒（F.R.Hassler，1770～1843）、英國數(shù)學家克雷斯維爾（D.Cresswell，1776～1844）、法國數(shù)學家薩呂斯（P.F.Sarrus，1798～1866）相繼給出了各自的證明。

和基于托勒密定理的證明方法一樣，這些證明方法對于平面幾何的變換技巧要求比較高，而且有些用到了學生還沒學到的正、余弦定理。考慮到學生的實際情況，本節(jié)課通過微視頻簡單介紹這些證明方法。這是附加式使用數(shù)學史。

1941年，美國數(shù)學家麥克肖恩（E.J.Mcshane，1904～1989）又對薩呂斯的證明做了改進。他在《美國數(shù)學月刊》上發(fā)表論文，避開弦長公式，重新推導了兩角差的余弦公式。如圖3所示，在單位圓O中（限于篇幅，只畫半圓）構造∠AOB=α，∠AOC=β，將△BOC順時針旋轉，使得OC與OA重合，OB與OD重合，由AD=CB，利用兩點間的距離公式即得cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。

這一證明方法就是教材給出的方法，它適用于任意角的情形。因此，本節(jié)課通過微視頻介紹麥克肖恩方法的歷史背景，再讓學生閱讀教材學習這一證明方法并談談感悟，體會麥克肖恩當時的想法。這是復制式使用數(shù)學史。

二、教學設計與實施

（一）問題引入，猜想公式

教師利用阿里斯塔克斯解決天文測量問題和托勒密制作弦表的史實來引入，然后指出：“顯然，如果能算出cos 87°的值，就能知道準確的倍數(shù)了?？梢?，僅知道初中里學過的特殊角（30°、45°、60°、90°）的三角比是不夠的，還需要計算任意角的三角比。古希臘天文學家、數(shù)學家在制作弦表（計算任意角的三角比）時，采用了一個新的方法，用今天的話來說，就是根據(jù)已知角的正、余弦值來求未知角的正、余弦值。這便是我們今天要研究的課題?！?/p>

接著，教師讓學生利用同角三角比的關系，由cos 30°求sin 30°和tan 30°，再利用誘導公式，由cos 30°求cos 150°和cos 390°，進而提問：“能否用45°和30°的正、余弦來求cos 15°？”

根據(jù)計算器上讀出的結果，學生猜測cos 15°=6+24=32×22+12×22=

cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°或sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°。由此，教師進一步提問：“對于任意角α和β，cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β或cos（α-β）=sin αcos β+cos αsin β是否成立？究竟哪一個等式成立？”

（二）模型建立，證明公式

師 假設α、β為銳角。（出示圖4）如圖所示，兩個角的終邊與單位圓分別交于點A和B，請你在圖上找出與cos α、cos β、sin α、sin β相等的線段。

生 （出示圖5）分別過點A和B作x軸的垂線，交點分別為M和P，則AM=

sin α，OM=cos α，BP=sin β，OP=cos β。

師 嚴格來說，正弦線是MA而不是AM，但是我們有個前提，即α是銳角，所以問題不大。三角函數(shù)線的作用就是利用有向線段的長度來表示三角比。我們今天也利用這種方法來證明兩角差的余弦公式。請同學們在圖中找到一條線段，使其長度等于cos（α-β）。

生 （出示圖6）過點A作AN⊥OB，垂足為N，因為OA=1，所以ON=cos（α-β）。

師 請同學們通過他的方法用一條線段表示cos αcos β、sin αsin β。

生 把cos α看成斜邊，以β為一個內(nèi)角構造直角三角形；把sin α看成斜邊，以β為一個內(nèi)角構造直角三角形。（出示圖7）過點M作OB的垂線，垂足為H，則在Rt△OMH中，OH=cos αcos β；不難發(fā)現(xiàn)∠MAN=β，所以過點M作AN的垂線，垂足為Q，則在

Rt△AMQ中，MQ=sin αsin β。

師 由此，你能證明兩角差的余弦公式嗎？

生 通過ON=OH+HN，HN=MQ可以得到cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。

師 沒錯，關鍵就是ON=OH+HN。我們回頭看證明過程，證明的思想是用線段的長度表示三角比。當然，我們的證明有個前提：α、β為銳角。那么，如果角的范圍變化了，結論還成立嗎？比如，設α∈2π，52π，β為銳角，請問：如何計算cos（α-β）？

生 由cos（α-β）=cos（α-2π-β），再展開，即可得到公式。我們發(fā)現(xiàn)，公式也成立。因此，當α、β在其他范圍內(nèi)時，可以利用誘導公式證明公式成立。

師 這里，我們用到了一種思想，即用α-2π去代換α。代換思想在三角學研究中非常重要。請同學們利用這種思想計算cos（α+β）。

生 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cos αcos β-sin αsin β。

師 這樣，我們就得到了兩角和的余弦公式。今天，我們也學會了一種解決問題的方法：先猜想，再證明。

（播放時長4分鐘的微視頻：由兩角和與差的余弦公式引入，指出公式本身呈現(xiàn)出對稱之美，而歷代數(shù)學家不遺余力地去證明它，更是體現(xiàn)了他們對方法之美的追求；接著追溯兩角和與差的余弦公式推導的歷史。）

師 （視頻播放到介紹完帕普斯模型時，暫停）同學們的思想和數(shù)學家們的思想差不多?？梢?，只要在數(shù)學中付出更多的努力，就能在數(shù)學上取得更大的成就。

（學生興奮。）

師 （視頻播放到介紹完麥克肖恩方法時，結束）他的方法就是課本給出的方法?，F(xiàn)在請大家看一下課本上的證明。

（學生閱讀。）

師 麥克肖恩為什么會想到將圖形進行旋轉？

生 將角α-β的始邊旋轉到x軸的正半軸上。

師 非常好！這個也是我們將角推廣到任意角的常見方法。那么，他又是怎樣想到用線段長度來計算的呢？旋轉過程中，圖形位置發(fā)生變化，也有一些不變的量，是什么？

生 角與線段長度不變。

生 利用|AB|=|A′B′|，再利用兩點間的距離公式展開，即可得到公式。

（三）練習鞏固，深化認識

首先，利用例1所示的具體求值問題，引導學生簡單應用公式。其次，通過例2所示的一般證明問題，引導學生熟練運用公式，并體會三角的代換思想。

例1 利用兩角和與差的余弦公式求值：（1）cos 75°；（2）cosπ12。

例2 證明下列恒等式：（1）cosπ2-α=sin α；（2）sinπ2-α=cos α。

（四）回顧總結，盤點收獲

首先，引導學生總結本節(jié)課主要運用的兩種推導兩角和與差的正、余弦公式的方法：帕普斯模型方法的核心思想是利用三角函數(shù)線去表示三角比的值，而麥克肖恩的方法是利用圖形的旋轉以及兩點間的距離公式。

其次，引導學生總結本節(jié)課主要學到的重要的數(shù)學思想：數(shù)形結合、代換轉化等。

最后，引導學生感悟：歷史上數(shù)學家們孜孜不倦地改進兩角和與差的正、余弦公式的證明方法，反映了他們對于真善美的不懈追求，體現(xiàn)了他們的創(chuàng)新精神；只要我們深入思考，努力探究，我們也能想數(shù)學家之所想，在不知不覺中成為課堂上的“小小數(shù)學家”。

三、學生反饋

課后，我們收集了全班40名學生對于本節(jié)課的反饋信息。

對于這節(jié)課的教學內(nèi)容，全部學生都表示聽懂了，其中70%的學生表示完全聽懂了。

對于數(shù)學史融入課堂的教學方式，95%以上的學生表示喜歡。

對于兩角和與差的余弦公式的推導，喜歡帕普斯模型的學生給出的理由如下：直觀、清晰；由銳角的情形推廣到任意角的情形，可以對公式理解得更深刻一些；與初中知識結合，更容易想到；有引導性，能帶動大家的思考，可以培養(yǎng)思維。喜歡麥克肖恩方法的學生給出的理由如下：巧妙運用圖形的旋轉、兩點間的距離公式等常見數(shù)學方法和知識，通俗易懂且適用于任意角；建立在眾多前人的證明方法的基礎上，達到了完美的地步。

對于兩角和與差的余弦公式的運用，絕大多數(shù)學生都是正確的。

對于本節(jié)課所體現(xiàn)的數(shù)學思想，大部分學生提到了數(shù)形結合、代換、化歸等數(shù)學思想，另外還有學生提到了“學貴有疑”的一般思想。

對于本節(jié)課中印象最深的內(nèi)容，大部分學生提到了數(shù)學文化，例如：讓人愉悅的小視頻追溯了公式的歷程，其中推導方法由繁至簡，讓我對公式來源有了一定的了解，并從中找到了自己喜歡的證法；比較深入地引入了數(shù)學史作為公式理解的輔助，讓我比較直觀地了解了兩角和與差的余弦公式的精神；數(shù)學家們勇于質疑、不斷改進的精神，實現(xiàn)了從難以理解的方法到通俗易懂的方法的轉變；兩角和與差的余弦公式十分整齊且有對稱美。

四、教學反思

任何數(shù)學公式都不是憑空產(chǎn)生的，其背后都有漫長的歷史，都蘊含著精彩的思想方法和豐富的人文元素。如果僅僅讓學生機械地記憶公式，那么，公式就是靜態(tài)的、冰冷的、枯燥的、無生命的。從歷史的視角來呈現(xiàn)公式，可賦予公式以鮮活的生命。本節(jié)課讓學生“穿越時空，與數(shù)學家對話”，既溝通了歷史和現(xiàn)實，也溝通了數(shù)學和人文。

本節(jié)課中，借鑒歷史，從猜想到證明、從幾何到三角、從銳角到任意角的過程，實際上再現(xiàn)了兩角和與差的余弦公式自然發(fā)生和發(fā)展的過程，體現(xiàn)了“知識之諧”；而在知識的發(fā)生和發(fā)展過程中，教師給予學生探究機會，引導他們解決問題，從而獲得成功的體驗，體現(xiàn)了“探究之樂”；除了帕普斯模型的證明方法，微視頻還展現(xiàn)了數(shù)學史上豐富多彩的證明方法，并利用麥克肖恩的證明來銜接教材上的證明，體現(xiàn)了“方法之美”；而帕普斯模型彰顯了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)以及表征轉化能力，體現(xiàn)了“能力之助”；兩角和與差的余弦公式的起源揭示了數(shù)學與天文學之間的聯(lián)系，不同時空的數(shù)學家對兩角和與差的余弦公式給出的不同的證明方法揭示了數(shù)學文化的多元性以及數(shù)學家追求真善美的人文精神，體現(xiàn)了“文化之魅”；而引導學生穿越時空，走進數(shù)學家的心靈之中，親近數(shù)學，建立自信，體現(xiàn)了“德育之效”。

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