陳秋曉

在直線與圓的位置關(guān)系中，切線是特殊的情況，也是“圓”這一章所研究的重要內(nèi)容.但是切線的性質(zhì)與判定又是同學(xué)們?nèi)菀着e(cuò)的地方.在歷屆中考中，都不乏有關(guān)圓的切線的證明與計(jì)算等問(wèn)題，而在這類問(wèn)題中，常常隱藏著一些不確定的因素.如果我們?cè)诮忸}中，能夠數(shù)形結(jié)合，全面了解，就可以避免漏解，“圓滿”解決問(wèn)題.

類型一：由數(shù)到形，判斷直線與圓的位置關(guān)系

例1已知⊙O的半徑為3，直線l上有一點(diǎn)P，且PO=3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）.

A.相切 B.相離

C.相離或相切 D.相切或相交

【錯(cuò)解】A.

【錯(cuò)解原因】通過(guò)圓心到直線距離d與圓半徑r的大小關(guān)系，可以判定直線與圓的位置關(guān)系.同學(xué)們?cè)跊](méi)有具體圖形的情況下，會(huì)誤以為d=r，從而判斷直線l與⊙O相切.事實(shí)上，圓上所有點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，過(guò)圓上的點(diǎn)既可以作圓的切線，也可以作與圓相交的直線，題目中并沒(méi)有明確直線l與線段OP互相垂直，因此應(yīng)分類討論.如果同學(xué)們畫畫圖，就不難發(fā)現(xiàn)，直線l與⊙O的位置關(guān)系需要分類討論了.

【正解】D.

解：如圖1，應(yīng)分兩種情況.

圖1

①當(dāng)直線l與OP互相垂直時(shí)，圓心O到直線l的距離d=OP=3=r，此時(shí)⊙O與直線l相切；

②當(dāng)直線l與OP不垂直時(shí)，圓心O到直線l的距離d＜3=r，此時(shí)⊙O與直線l相交.

類型二：由形到數(shù)，確定數(shù)值

例2 如圖2，射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC‖QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值________（單位：秒）

圖2

【錯(cuò)解】t=2、t=4、t=6或t=8.

【錯(cuò)解原因】圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.同學(xué)們?cè)诜诸愑懻摰臅r(shí)候，不難發(fā)現(xiàn)⊙P分別在邊AB，BC的左側(cè)與右側(cè)時(shí)，與AB邊，BC邊相切的四種情形，較易求得四解.但極易忽略與AC邊相切的情形，其實(shí)，從⊙P與邊AC相切于點(diǎn)A開始，向右運(yùn)動(dòng)到相切于點(diǎn)C結(jié)束，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程都滿足要求.

【正解】t=2或3≤t≤7或t=8.

解：分為3種情況.

①如圖3，當(dāng)⊙P切AB于點(diǎn)D時(shí)，∠PDM=90°.

圖3

∵∠PMD=∠BMN=60°，

∴∠DPM=30°.

∴DM=1cm，PM=2MD=2cm，

故QP=QM-PM=4cm-2cm=2cm.

∴t=2.

②如圖4，當(dāng)⊙P切AC于點(diǎn)A時(shí)，連接PA.

圖4

同①可得PM=1cm，

∴QP=QM-PM=4-1=3cm，

故t=3；

當(dāng)⊙P切AC于點(diǎn)C時(shí)，設(shè)P位于P′處，連接P′C.

易得QP′=QM+MN+NP′=4+2+1=7cm，

故t=7.

∵從⊙P與邊AC相切于點(diǎn)A開始，到⊙P與AC相切于點(diǎn)C結(jié)束，整個(gè)向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊙P一直與AC相切.

∴3≤t≤7.

③如圖5，當(dāng)⊙P切BC于點(diǎn)E時(shí)，

圖5

∴NP=2.

∴QP=QM+MN+NP=4+2+2=8cm，

∴t=8.

注意：當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到AB右側(cè)與AB相切，以及運(yùn)動(dòng)到BC左側(cè)與BC相切時(shí)，這兩個(gè)時(shí)間都在第②種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi).如圖6，圖7所示.

圖6

圖7

綜上所述：t=2或3≤t≤7或t=8.