周進(jìn)榮

與三角形、四邊形一樣，圓是“空間與圖形”的主要研究對象，也是基本的平面圖形.本章在基本的直線形——三角形、四邊形等基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一個(gè)基本的曲線形——圓，它有很多新的知識點(diǎn)，這些知識點(diǎn)與前面的知識是緊密聯(lián)系的.因此，同學(xué)們在解題時(shí)需結(jié)合直線形中的定理、法則，先由條件對圖形有比較好的“認(rèn)識”，再結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想相關(guān)知識，分析隱含條件，將問題化解為若干小問題，逐一解決.

一、知識考點(diǎn)

考點(diǎn)課標(biāo)要求知識與技能目標(biāo)掌握應(yīng)用圓圓及其相關(guān)概念弧、弦、圓心角的關(guān)系，點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系圓周角和圓心角的關(guān)系，直徑所對圓周角的特征三角形的內(nèi)心和外心，正多邊形概念及正多邊形與圓的關(guān)系切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的半徑的關(guān)系會判定圓的切線，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線，垂徑定理計(jì)算弧長和扇形的面積，會計(jì)算圓錐的側(cè)面積和表面積了解 √ √ √ √理解 √√ √

二、幾個(gè)抓手

1.抓住兩個(gè)角.

圓心角、圓周角猶如圓中的一對“雙胞胎”，形影不離，且同弧或等弧所對的圓周角是圓心角度數(shù)的一半.

例1 如圖1，已知⊙O的直徑為8cm，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，且∠ACB=30°，則AB長為（ ）.角，它等于所對的圓心角度數(shù)的，所以

圖1

【分析】如圖2，∠ACB是所對的圓周連接AO、BO，則∠AOB=60°，又因?yàn)锳O、BO是半徑，可得△AOB為等邊三角形.

【解答】如圖2，連接AO、BO.

圖2

故選：B.

【點(diǎn)評】在圓中，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等，此外，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)（或圓內(nèi)接四邊形的外角等于和它相鄰內(nèi)角的對角）.

2.抓住兩個(gè)垂直.

圓中有兩個(gè)隱性垂直：直徑所對的圓周角為直角；切線垂直于半徑.挖掘這兩種垂直關(guān)系，可以有效地把許多問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問題得以解決.

例2 如圖3，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC=8，BC=6.則⊙O的面積為 .

∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=60°.

又∵AO=BO，

∴△AOB為等邊三角形.

圖3

【分析】如圖3，要求⊙O的面積，只要求出⊙O的半徑即可.由AB是⊙O的直徑，可知∠ACB=90°，再根據(jù)勾股定理，可求出直徑AB的長，從而求得⊙O的面積.

【解答】∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵AC=8，BC=6.

∴⊙O的半徑為5，

則⊙O的面積為：π×52=25π.

【點(diǎn)評】圓中的直徑與90°的圓周角是緊密聯(lián)系在一起的.若有直徑，則要想到直徑所對的圓周角是直角；若有90°的圓周角，往往需要作出90°的圓周角所對的弦（即直徑）.

3.抓住兩種關(guān)系.

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系是圓中常見的兩種位置關(guān)系，特別是當(dāng)直線和圓相切時(shí)，要重點(diǎn)掌握切線的判定和性質(zhì)定理.

例3 如圖4，⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB=OA.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以πcm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止.當(dāng)BP與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（ ）.

A.1s B.3s

C.5s D.1s或5s

圖4

【分析】要求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，必須找出點(diǎn)P所在的位置.當(dāng)BP與⊙O相切時(shí)，如圖5情形.考慮到運(yùn)動(dòng)的全過程，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′位置時(shí)，BP′與⊙O也相切，因此要考慮兩種情形.

圖5

【解答】如圖5，連接OP，若BP與⊙O相切，則∠OPB=90°.

由AB=OA可知，

所以∠B=30°，∠BOP=60°.

此外，考慮到運(yùn)動(dòng)的全過程，顯然，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′位置時(shí)，BP′與⊙O也相切.

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′位置需要5s.

綜上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1s或5s.

故選：D.

【點(diǎn)評】當(dāng)直線和圓相切時(shí)，切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，此時(shí)往往需要連接切點(diǎn)和圓心，得到圓的半徑，再去解直角三角形.另外，過圓外一點(diǎn)畫圓的切線，一般有兩條.

4.抓住兩大定理.

圓中的計(jì)算“豐富多彩”，有關(guān)于線段、角的計(jì)算，扇形及陰影面積的計(jì)算以及圓柱、圓錐側(cè)面展開圖的計(jì)算，在實(shí)際問題中往往要用到垂徑定理和勾股定理.

例4如圖6，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度為（ ）.

圖6

【分析】如圖6，因?yàn)镺F⊥BC于F，根據(jù)垂徑定理，可知F是BC的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F是△ABC的中位線，則OF的長度等于AB的長度的

【解答】如圖7，連接AB.

圖7

又∵AE=2cm，

故選：D.

【點(diǎn)評】垂徑定理是圓中最重要的一個(gè)定理，它將線段的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，另外，圓中常常添加與垂徑定理相關(guān)的輔助線、與切線有關(guān)的輔助線，這些都構(gòu)成了直角三角形這個(gè)基本圖形，所以勾股定理的運(yùn)用在問題的解決中往往發(fā)揮不可替代的作用.

5.抓住兩個(gè)特征.

在平面幾何中，同學(xué)們常常想到的是構(gòu)造直線形輔助線轉(zhuǎn)化條件，從而利用三角形、四邊形的知識解決問題，但這樣的話，輔助線的添加就局限在了直線形，實(shí)際上曲線形輔助線在一些特定條件下，更有利于條件集中.輔助圓是曲線形輔助線的代表，利用輔助圓，會讓圖形的條件更豐富.

那什么時(shí)候需構(gòu)造輔助圓？怎樣構(gòu)造輔助圓？需要抓住題目中兩個(gè)顯著的特征.

例5如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BDC=______°，∠DBC=_____°.

圖8

又∵OF⊥BC于F，

根據(jù)垂徑定理，知F是BC的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴OF是△ABC的中位線，

【分析】如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，B、C、D三點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等，所以B、C、D三點(diǎn)共圓，因此想到構(gòu)造輔助圓⊙A.

【解答】如圖9，以A為圓心，AB為半徑畫37°.

圖9

【點(diǎn)評】當(dāng)遇有公共端點(diǎn)的等線段長時(shí)，通常以公共端點(diǎn)為圓心，等線段長為半徑構(gòu)造輔助圓，再利用圓周角和圓心角的關(guān)系解題.

例6如圖10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為（ ）.

圖10

【分析】如圖10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，所以∠ABC=90°，所以∠ABP+∠PBC=90°，又因?yàn)椤螾AB=∠PBC，所以∠PAB+∠ABP=90°，則∠P=90°，所以動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，且在△ABC內(nèi)部，如圖11所示.

圖11

【解答】如圖12，以AB為直徑畫⊙O，連接OC交⊙O于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P在OC上的P′位置時(shí)，CP長最小，此時(shí)CP=CP′=OC-OP′=

故選：B.

圖12

【點(diǎn)評】在動(dòng)點(diǎn)問題中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所在頂點(diǎn)的角是90°時(shí)，利用90°的圓周角所對的弦是直徑，可以以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓，像這樣的輔助圓在研究幾何最值問題時(shí)具有舉足輕重的作用.如果將題目中“P是△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)”改為“P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)”，而其余條件不變，我們還能求出線段CP長的最大值.同學(xué)們不妨動(dòng)筆算算看.