李明桂

摘 要：三等分線段尺規(guī)作圖是中學(xué)數(shù)學(xué)中尺規(guī)作圖的三個不能之一，對這個命題的成立性有點懷疑，能否從構(gòu)造線段的三分之一長線段來解決這個問題，通過研究對應(yīng)線段成比例兩直線平行，平行線分線段成比例定理構(gòu)建線段的三分之一，分構(gòu)造點在線段的上方、構(gòu)造點在線段端點的正上方、構(gòu)造點在線段的反向延長線三種情況，解決一般性的問題，從而解決這個數(shù)學(xué)難題。此作法可推廣任意等分線段。巧妙利用三角形的重心分中線為上二下一的特性，找出線段的三等分點，解決線段三等分的難題。

關(guān)鍵詞：三等分線段 尺規(guī)作圖 任意等分線段

研究成果報告：

1.在尺規(guī)作圖中，有三個尺規(guī)不能的問題——三等份線段、三等份圓弧、三等份角。在學(xué)習(xí)的初期，對此結(jié)論深信不疑。但在隨后的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論存在疑問。在學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例和對應(yīng)線段成比例兩直線平行后，發(fā)現(xiàn)可以從尋找線段的三分之一長來解決這個問題，這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法。

2.在學(xué)習(xí)了三角形的重心的性質(zhì)后，發(fā)現(xiàn)三等份線段尺規(guī)作圖的簡潔作法，這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的特殊作法。

3.三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法可以推廣到任意等份線段的尺規(guī)作圖。

4.此項研究的意義在于對數(shù)學(xué)觀點的質(zhì)疑，推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。

研究成果內(nèi)容：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對尺規(guī)作圖平分線段、平分已知角、直線的垂線進(jìn)行了詳細(xì)的解析，并提出尺規(guī)作圖不能三等份線段的觀點，多年來一直對此表示懷疑。在對平行線分線段成比例和對應(yīng)線段成比例兩直線平行研究后，思考能否采用尋找線段的三分之一的方法解決等份問題。

研究一：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，﹙輔助線與線段成銳角﹚圖示1

①以線段AB 的端點A為頂點作射線AC；②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N為圓心，AN為半徑作圓交線段AB所在的直線于M點；④在線段MN上分別截取MC1=C1C2=C2N=AA1；⑤連結(jié)A2C2、NB，兩線段所在的直線交于P點；⑥以A2P的長為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點；⑦點D、E就是線段AB的三等份點。

研究二：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，﹙輔助線與線段成直角﹚圖示2

①作線段AB的垂線AC；②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③過A1、A2依次作射線AC的垂線A1M、A2P；④連結(jié)NB，分別交直線A1M、A2P于C1、C2點；⑤以A2C2為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點；⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

研究三：已知線段AB，求作線段AB的三等份點﹙輔助線與線段成鈍角﹚圖示3

①以線段AB 的端點A 為端點作射線AN；②作射線AN 上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N 為圓心AN 的長為半徑作圓交線段AB的反向延長線于M 點；④分別以M、N為圓心AA1的長為半徑作圓交線段MN于C1、C2點，連結(jié)A2C2、NB，設(shè)兩直線交于P點；⑤分別以A、B 為圓心A2P的長為半徑作圓交線段AB于D、E兩點；⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

通過上述的研究表明，只要所作的射線和已知直線不在同一條直線上，都可以對線段進(jìn)行三等份，這種方法可推廣求已知線段的任意等份點。

研究四：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，圖示4

①過A點任意作一條直線l，（和直線AB不重合）；②在直線l上截取AP=AQ；③連結(jié)BQ、BP；④作線段BP 的中點M；⑤連結(jié)QM交線段AB于點D；⑥以B為圓心，AD的長為半徑作圓交線段AB于點E；

⑦D、E就是線段AB的三等份點。

這種作法是利用三角形的重心的特殊性質(zhì)對已知線段進(jìn)行三等份點。