【摘 要】數(shù)學復習課是初中數(shù)學教學中不可忽視的重要環(huán)節(jié)，由于應(yīng)試教育的沖擊，現(xiàn)在的數(shù)學復 習課堂很大程度上抑制了學生的思維活動、操作經(jīng)驗和知識素養(yǎng)的提升和發(fā)展。面對現(xiàn)狀，教師應(yīng)抓住 知識、思維、數(shù)史的主線，還數(shù)學復習課堂一個活潑的氛圍。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；復習課；尺規(guī)作圖；知識串聯(lián)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）14-0044-03

【作者簡介】張建良，江蘇省常熟市教育局教學研究室（江蘇常熟，215500）教研員。

數(shù)學復習課是整個教學環(huán)節(jié)中一類十分重要的課型，它既是對學過知識的再鞏固和再拓展，也是對學習思維的再梳理和再提升。但為了成績，應(yīng)試模式的復習課層出不窮。這限制了學生的思維活動、操作經(jīng)驗、知識素養(yǎng)的提升和發(fā)展。那么如何改善這樣的復習課堂呢？下面結(jié)合筆者所執(zhí)教的一節(jié)初二尺規(guī)作圖復習課來嘗試回答以上問題。

一、教學設(shè)想

初二學生已經(jīng)學習過5種基本尺規(guī)作圖，為此在進行尺規(guī)作圖的復習教學設(shè)計前主要思考了以下三條主線。

1.“知識”線。

尺規(guī)作圖的工具只限于直尺和圓規(guī)，其核心是通過圓規(guī)作等長的線段，達到制圖的效果。我們知道幾何圖形的最基本的元素是“點”，所以尺規(guī)作圖是通過“作點”來實現(xiàn)的。因此，在解答尺規(guī)作圖題時，就要分析“點”所滿足的條件，然后用作等長的線段來確定點。在完成作圖以后，還需找出正確作圖的理由，通過對作圖目標任務(wù)的分析獲得正確的作圖方案。

2.“思維”線。

尺規(guī)作圖不僅是一種操作，更是對數(shù)學思維和數(shù)學探究的過程。在尺規(guī)作圖中，學生一般先通過分析、預測、判斷，再進行畫圖操作。在探究過程中“為什么要作這樣一個點？”“為什么這樣作圖是正確的？”這兩個問題的思考伴隨著整個作圖的整個過程，從而完成學習自我監(jiān)控。學生思維的激發(fā)還在于有好的問題，一個需要思考的問題往往最能讓學生思維活躍起來，是一個有效的思維觸點。

3.“數(shù)史”線。

數(shù)學文化與數(shù)學教育是目前很多人關(guān)注的話題，數(shù)學文化中包括數(shù)學史、數(shù)學家、數(shù)學美以及人類認識和發(fā)展數(shù)學的過程中體現(xiàn)出來的探索和進取精神等。數(shù)學文化的價值主要在于數(shù)學對于人們觀念、精神及思維方式的養(yǎng)成所具有的影響。因此在教學中讓學生接觸數(shù)學文化，可以了解人類追求知識的步伐，感受數(shù)學家鍥而不舍的探索精神。其次，接受數(shù)學文化的熏陶，也是提升課程目標中情感態(tài)度價值觀的一個很好的教學支點。

在尺規(guī)作圖復習課中進行三“線”合一的教學，即一條知識（作圖）線，一條思維線，一條數(shù)學史線，期許實現(xiàn)更有價值的數(shù)學復習。

二、教學片段

片段1 播放微視頻

微視頻1：基本作圖——作已知角的角平分線；

微視頻2：基本作圖——作已知線段的垂直平分線。

通過以上兩個微視頻，回答（1）直尺和圓規(guī)的作用；（2）“交點”的情形種類；（3）“尺規(guī)作圖”的由來。

【設(shè)計意圖】

通過播放基本作圖的微視頻，一是說出兩個尺規(guī)作圖對應(yīng)的名稱；二是說出直尺畫直線，圓規(guī)畫等長線段的道理；三是說作圖中符合條件的關(guān)鍵點；四是說尺規(guī)作圖中交點的情形，另外在課上介紹關(guān)于尺規(guī)作圖的數(shù)學小史。

【教后反思】

通過觀看基本作圖的微視頻，學生沒能說出用圓規(guī)的本質(zhì)是獲取等長線段。對于交點的各種類型，課上沒有討論到。預設(shè)寫在紙上，變化卻在課上。

片段2 解決問題

問題一：求作一個角等于30°。

生1：首先作一條線段，然后作該線段的垂直平分線。接著在垂直平分線上，以垂足為圓心、線段一半長為半徑作弧與中垂線交于一點；再以該交點為圓心、同樣長為半徑作弧交于上方部分一點。連接這個交點和線段一端點，夾角就是30°（如圖1所示）。

師：圖中所作出的角是30°嗎？

生2：圖中所示角不等于30°，因為圖中出現(xiàn)的是兩條直角邊之間有一半關(guān)系，而不是一條直角邊等于斜邊的一半。應(yīng)以線段的一個端點為圓心，以2a長為半徑作弧與垂直平分線交于一點，圖中∠ADC的度數(shù)等于30°（如圖2所示）。

師：還有其他作法展示嗎？

生3：同樣作一條線段，并作該線段的垂直平分線。以該線段的一個端點為圓心、以該線段的一半長為半徑作圓。再以線段垂直平分線的交點為圓心，作一樣大的圓；連接端點和兩圓交點，就得30°的角（如圖3所示）。

師：很好，這是一個創(chuàng)新之舉。下面講的是老師的作法，其實和第二個同學的思路不謀而合，都想到構(gòu)造等邊三角形去解決問題（如圖4、圖5、圖6所示）。

圖6展示的是直角的三等分，那么任意角可以進行三等分嗎？對于這樣一個問題的回答我們就要再次翻開數(shù)學歷史一角。介紹尺規(guī)作圖中的三大不可作問題。

【設(shè)計意圖】

通過求作一個角等于30°，想通過轉(zhuǎn)化到另一類特殊角60°或90°去完成，第一主要是熟練作圖技能；第二是展示“轉(zhuǎn)化”在解決問題中的重要性。

【教后反思】

在教學過程中，教師邊聽邊畫圖記錄，和其他學生一起去理解該學生的作圖想法，在這個教與學的過程中，出彩的不是教師而是學生。因此，有時不要以為班中沒有思維好的學生，而是因為我們沒有給予好的問題。教學過程中學生并不會全部按照教師的預設(shè)展開思考，當師生思維不同路時，出彩也就在不同的路上。

問題二：求作點P（，0）。

生：（1）連接（0，1）和（2，0）兩個點；（2）以點O為圓心、該線段長為半徑作弧交x軸的正半軸于點P，即為所求點P（，0）。

師：是無理數(shù)，無理數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)。用尺規(guī)作圖的方法可以“抓住”這一類無理數(shù)。同樣我們繼續(xù)思考下面的問題：若記點（0，1）為A，點（2，0）為B，則請你在兩坐標軸上求作點Q，使△ABQ為等腰三角形。

生：以點A為圓心、AB長為半徑作圓，再以點B為圓心、AB長為半徑作圓，與x、y軸的交點即為所求的點Q。

師：滿足條件的點還有嗎？

生：過兩圓的交點作一條直線l，與x、y軸的交點也是所求的點Q。

師：找到了幾個點Q？

生：x、y軸上各有四個點，一共可作出8個Q點（如圖7）。

師：能不能把這條直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式求出來……

【設(shè)計意圖】

一是利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)截等長線段構(gòu)點，積累直觀操作經(jīng)驗；二是讓學生再次利用尺規(guī)作圖理解無理數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；三是引申出已知點與一次函數(shù)圖像的關(guān)系，在復習中多一點知識之間的串聯(lián)。

【教后反思】

當學生說出“過兩圓的交點作一條直線，與x、y軸的交點也是所求的點Q?！蔽倚睦镆魂圀@喜，沒想到學生給出了如此簡單直接的說法，究其原因，第一種可能是這名學生對于圖形中的對稱現(xiàn)象觀察非常到位；第二種可能是這名學生對垂直平分線的畫法理解透徹，可以說這就是我們要尋找的“幾何直觀”思維，預設(shè)雖好，但是生成更好。

三、教學啟示

日本東京大學大學院教育學研究科教授、教育學博士佐藤學在《教師的挑戰(zhàn)——寧靜的課堂革命》一書中提到：“在教學中教師的中心工作在于傾聽、串聯(lián)、反芻?？梢哉f，串聯(lián)是教學的核心?！?/p>

1.傾聽與態(tài)度。

在教學的過程中，如果不去認真傾聽問題一中的兩名學生的作圖敘述，不去聽從學生的指令動手畫草圖，那肯定捕獲不到教學的有效生成，或許生成會變?yōu)樯怀?，學生的創(chuàng)新思維也就不會被大家所見。因此作為授課教師需要準備好的問題，也需要準備傾聽學生回答的態(tài)度。隨時隨地捕捉到學生在課內(nèi)課外的聲音，善于發(fā)現(xiàn)學生心靈之美、思維之美，并給予學生更多的鼓勵和贊美，是教師的一份深深的教學情懷。若當聆聽到學生給出的答案不夠正確時，我們可以聽一下培養(yǎng)學習型組織倡導者彼得·圣吉說的話：嬰兒學走路，是在跌倒、爬起、再跌倒、再爬起的過程中學會的。學生思維能力的發(fā)展就像嬰兒學走路一樣，要經(jīng)過一個想錯、再想、再錯、再想的過程。學生的每一個錯誤都意味著成長，教師要有“祝賀失敗”的修養(yǎng)。

2.串聯(lián)與豐富。

知識之間可以串聯(lián)，思維方法之間可以串聯(lián)，學科之間可以串聯(lián)，課內(nèi)與課外也可以串聯(lián)，特別是在移動互聯(lián)網(wǎng)下校內(nèi)和校外的學習更是可以串聯(lián)。通過串聯(lián)使得復習課不僅僅再現(xiàn)幾個知識點，再練幾道習題，而是能在復習的過程中呈現(xiàn)出更為豐富的學習資源。例如本節(jié)課中由三等分直角引出尺規(guī)作圖中的三大不可作問題，即任意角三等分、立方倍積、化圓為方，從中讓學生感知數(shù)學中也有不能解決的問題，但即使“不能”也需要給出證明，感知“幾何作圖”可以轉(zhuǎn)化為“代數(shù)運算”解決。課堂上通過將數(shù)學文化和數(shù)學教學串聯(lián)起來，為學生展示數(shù)學的另一面。同時串聯(lián)將原先分散學到的知識點、解決問題的方法連點成片實現(xiàn)學習效能提升，讓數(shù)學學習變得更厚實、更豐富。因此串聯(lián)應(yīng)成為教師自覺的教學追求。

3.預設(shè)與生成。

教學中需要預設(shè)，預設(shè)是對將要學習的問題、面對授課學生的知識能力、水平作提前研究和準備，但預設(shè)并不是教學的全部，生成伴隨其左右。例如圖3的圖形該學生設(shè)計的作圖有相當大的思維量，完全是一種個人思維的成功，在這個環(huán)節(jié)里不要討論，不要提示，只需學生動手動腦，教師做的就是等待“生成”，生成出的新思維一定超出教師的預設(shè)。因此數(shù)學復習課中要以數(shù)學問題為主，以激發(fā)學生思維為核心，多為學生創(chuàng)設(shè)問題單和思考空間，讓學生在變換的環(huán)境中加以應(yīng)用，實現(xiàn)數(shù)學思維和解決問題能力的提升，在這樣的復習教學中預設(shè)精彩，生成出彩。

總之，數(shù)學復習課，尤其是非畢業(yè)班的復習課應(yīng)少一點應(yīng)試的功利，多一點思維的空間，增一點數(shù)學文化的營養(yǎng)。只有這樣復習課的品質(zhì)才能有所提升。

【參考文獻】

[1]周建勛.無錫市中考尺規(guī)作圖的命制及思考[J].中學數(shù)學月刊，2014（11）.

[2]趙齊猛.挖掘教材的數(shù)學文化價值——從Koch曲線談起[J].中學數(shù)學，2014（24）.