張志勇

（常州市第五中學(xué)，江蘇 常州 213001）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培育學(xué)生核心素養(yǎng)？呂傳漢先生提出的“教思考、教體驗、教表達”的教育理念，為我們的實踐指明了方向：“教思考”重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在“想數(shù)學(xué)”中學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界；“教體驗”重在促進學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；而“教表達”則是強化學(xué)生的數(shù)學(xué)交流，在“說數(shù)學(xué)”中學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界。[1]表達既是數(shù)學(xué)理解的重要標志，也是從理解到創(chuàng)新的關(guān)鍵一步，因思考和體驗而有準確的表達，在表達中產(chǎn)生新的思考和體驗。作為一種表達方式，數(shù)學(xué)寫作可以幫助學(xué)生用自己的語言從不同的角度、有條理地闡述問題解決的思路、發(fā)表自己的數(shù)學(xué)見解，無疑是踐行“三教”理念的重要途徑。

一、數(shù)學(xué)寫作的界定分類

什么是數(shù)學(xué)寫作？小到一道數(shù)學(xué)題的解答分享、數(shù)學(xué)活動中的故事敘寫，大到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題等，都屬于數(shù)學(xué)寫作的范疇。從20世紀80年代起，我國就有一線教師開展學(xué)生小論文的寫作研究，包括數(shù)學(xué)日志、數(shù)學(xué)周記、數(shù)學(xué)詩歌、數(shù)學(xué)作文、數(shù)學(xué)小論文等形式。與教師等數(shù)學(xué)工作者的寫作不同，數(shù)學(xué)寫作是學(xué)生在教師指導(dǎo)下按照特定要求用書面語言創(chuàng)造的文本，以錘煉思維、拓寬視域為目標的數(shù)學(xué)學(xué)習活動；數(shù)學(xué)寫作關(guān)注的是“通過寫作來學(xué)習”（Writing-to-learn），為學(xué)生對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習提供反省、探究、鞏固和發(fā)展的機會，使學(xué)生對知識的理解得到升華，獲得更好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，同時在數(shù)學(xué)思想、解題策略等方面也得到系統(tǒng)化；數(shù)學(xué)寫作，強調(diào)有感而發(fā)，有話則長、無話則短，更關(guān)注的是學(xué)生寫了什么，而不是怎么去寫，也就是不過于追求學(xué)生作品的形式或者語法。

數(shù)學(xué)寫作是指學(xué)生將自己對數(shù)學(xué)概念的理解、解題方法的體悟、學(xué)習方法的總結(jié)等關(guān)于數(shù)學(xué)的思考和體驗整理成文的活動。與口頭表達相區(qū)別，數(shù)學(xué)寫作重在用筆說話、用文字交流，強調(diào)的是學(xué)生自身的內(nèi)省審視，通過條分縷析的書面表達為深度學(xué)習交流提供載體；數(shù)學(xué)寫作，反映的是數(shù)學(xué)的規(guī)律性知識，表達的是數(shù)學(xué)學(xué)習故事，傳遞的是數(shù)學(xué)所感所惑，其中不僅有通俗易懂的文字，還有直觀生動的圖像、言簡意賅的符號等。

不同“寫作角度”下，有著不同的數(shù)學(xué)寫作分類：如按素材來源，可包括記錄課堂、究錯優(yōu)化、“故事”啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)發(fā)明、數(shù)學(xué)欣賞、應(yīng)試策略等[2]；按內(nèi)容性質(zhì)，可分為學(xué)習感悟、數(shù)學(xué)文化與科普、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、解題欣賞四類[3]。考慮到數(shù)學(xué)寫作重在表達數(shù)學(xué)，本文依據(jù)于數(shù)學(xué)對象的不同，將數(shù)學(xué)寫作分為概念辨析、探究發(fā)現(xiàn)、解題賞析、閱讀分享、學(xué)習感悟五類，前三者側(cè)重于數(shù)學(xué)思考，其中概念辨析指向數(shù)學(xué)概念，探究發(fā)現(xiàn)意在數(shù)學(xué)定理公式，解題賞析則是數(shù)學(xué)應(yīng)用；后兩者多是體驗感悟，閱讀分享是他人經(jīng)驗的分享，學(xué)習感悟是自身學(xué)習心得的總結(jié)。

二、數(shù)學(xué)寫作的價值認識

在教學(xué)實踐中，我們發(fā)現(xiàn)很多看起來勤奮刻苦的學(xué)生并沒有取得應(yīng)有的成績，窮其原因，重結(jié)果輕過程、重模仿輕理解……讓這些學(xué)生的學(xué)習停留在淺層次上，埋首于題海中刷題而沒有深度的思考只會導(dǎo)致機械的學(xué)習，對數(shù)學(xué)的理解和解題中“得到正確答案”之間不完全是一回事，于是數(shù)學(xué)寫作的價值便在于幫助學(xué)生反思正在學(xué)習的內(nèi)容：為什么要這樣做？解決問題的邏輯過程是怎樣的？是否存在問題？……當然數(shù)學(xué)寫作不僅在于提高解題中的“元認知”水平，還在于發(fā)展數(shù)學(xué)知識、成就問題解決、培養(yǎng)反思行為、促進情感流露、加強對話交流等。[4]

1.顯化認知，理解數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)寫作首先是學(xué)生自己與自己溝通對話的過程，通過寫作將思考和體驗的過程顯性化。學(xué)生解題得到問題的正確答案后，可以撰寫解題賞析類文章，闡述解決數(shù)學(xué)問題的“心路歷程”（包括審題立意、策略選擇、過程組織、錯誤剖析等），對自我的解題活動進行分析評估，可以使學(xué)生對知識的理解得到升華，獲得更好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，同時在數(shù)學(xué)思想方法、解題策略等方面也能得到系統(tǒng)提煉。如有學(xué)生總結(jié)道，“有時候解完題后再多問幾個為什么，或許會‘別有滋味’，在我們沉浸于‘原來如此’的喜悅同時，可以在解題的思路更新和能力創(chuàng)新方面得到真實的歷練……‘失’的是寶貴的時間（過程很費周章），‘得’的卻是對數(shù)學(xué)解題滿滿的體驗?！盵5]與純粹的數(shù)學(xué)解題相比，數(shù)學(xué)寫作關(guān)注的是思維過程，通過寫作對原有的思考和體驗過程進行具象化呈現(xiàn)，并在重新審視中產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思考，正如教學(xué)心理學(xué)中常提到的“學(xué)習如何學(xué)習”，這是一個積極主動的元認知策略的監(jiān)控過程。

2.探尋規(guī)律，領(lǐng)悟方法

我們知道，理想的學(xué)習狀態(tài)應(yīng)該是舉一反三、觸類旁通，正如蘇霍姆林斯基所言，“教學(xué)就是教給學(xué)生借助自己已有的知識去獲取新知識的能力”。探究發(fā)現(xiàn)類文章的寫作，可以探尋知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)規(guī)律，如動態(tài)變化中的不變性；概念辨析類文章的寫作，則幫助學(xué)生解釋他們不熟悉的內(nèi)容；而解題賞析類文章的寫作，則可探索問題的新解法，總結(jié)數(shù)學(xué)研究方法（觀察分析數(shù)學(xué)事實→提出有意義的數(shù)學(xué)問題→猜測、探求適當?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律→給出解釋或證明）。事實上，寫在紙上的思維可以提供獨特的反饋信息，在分析、比較事實中可以持續(xù)深入思考并內(nèi)化某個重要概念，碎片化的學(xué)習感悟在不斷的梳理概括中得以提升，既可熟能生巧亦可形成問題解決范式，從而構(gòu)建他們自己的學(xué)習知識。

3.反思學(xué)習，完善評價

每個學(xué)生有著自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，他們對數(shù)學(xué)的理解水平，往往很難通過傳統(tǒng)方式（如解題等）進行完整的呈現(xiàn)。通過數(shù)學(xué)寫作，學(xué)生的思考過程、對所學(xué)內(nèi)容的理解、誤解或情感都可以比較清楚地向我們展示。一方面，對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)寫作的過程本身就是一個數(shù)學(xué)學(xué)習的過程，如閱讀分享類寫作，既需要感知閱讀材料的內(nèi)在邏輯關(guān)系，也需要同化順應(yīng)到自己的知識結(jié)構(gòu)中，還需要以自己的語言解讀概括其中的數(shù)學(xué)觀念和方法，這本身就是一種高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習。反之，作為教師，可以通過學(xué)生的寫作了解和評價他們的數(shù)學(xué)學(xué)習水平，包括他們的誤解或者困惑，從而為改善教學(xué)提供極大的可能。

4.拓寬視野，激發(fā)興趣

學(xué)習感悟類寫作，可以為學(xué)生分享學(xué)習喜悅或者挫折、焦慮創(chuàng)設(shè)渠道，通過數(shù)學(xué)寫作，不良的情緒和學(xué)習的壓力得以宣泄，學(xué)習的愉悅與成就感、良好的學(xué)習情緒得以強化。如當我們讀到王淵超的歌詞，“如果我是雙曲線/你就是那漸近線/雖然我們有緣/能夠生在同一個平面/然而我們又無緣/漫漫長路無交點/為何看不見/等式成立要條件/難到正如書上說的/無限接近不能達到”,《悲傷的雙曲線》躍然紙上，數(shù)學(xué)的概念在發(fā)人深思的意境中得到共鳴。通過寫作，將抽象難懂的數(shù)學(xué)道理寓于身邊簡單而自然的例子之中，讓精辟的數(shù)學(xué)思想“隨風潛入夜”、強大的數(shù)學(xué)方法“潤物細無聲”，而當學(xué)生們的優(yōu)秀作品得以發(fā)表或在同伴中交流時，其優(yōu)秀的敘事能力、數(shù)學(xué)方法、解法路徑對其他學(xué)生的示范作用往往比教師的說教更有影響力和親和力，對被展示的學(xué)生來說更是一次極大的激勵。

三、數(shù)學(xué)寫作的操作路徑

學(xué)生不善于寫作是在實踐中碰到的最大問題，數(shù)學(xué)寫作也不可能是空中樓閣，必須與具體的行動相結(jié)合才能真正落地，如組織學(xué)生反思總結(jié)、討論交流，開展數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)探究活動等，這些都是學(xué)生進行數(shù)學(xué)寫作的源頭活水。事實上，學(xué)生寫作能力的培養(yǎng)是一個循序漸進的過程，需要構(gòu)建機制創(chuàng)設(shè)氛圍，讓學(xué)生愿意寫；需要尋求路徑提升技術(shù)，讓學(xué)生寫得出；更需要深入思考錘煉思維，讓學(xué)生寫得好。

1.激發(fā)表達欲望，讓數(shù)學(xué)寫作言之有“機”

數(shù)學(xué)寫作的關(guān)鍵在于充分調(diào)動學(xué)生的寫作熱情，如果在數(shù)學(xué)課堂中產(chǎn)生了精彩的對話生成，尤其是教師圍繞某個問題的深度點評或?qū)W生思維的精準診斷，那么課后就有可能生成很多記錄“課堂故事”、闡述收獲感悟的優(yōu)秀習作。事實上，討論會點燃學(xué)生們思維的火花，對于多數(shù)學(xué)生而言，口頭交流要比紙筆板演要來得容易些，于是讓學(xué)生走上講臺，通過“說題”“課堂表演”等形式闡述解題思路、辨析數(shù)學(xué)概念就是一種行之有效的教學(xué)組織形式。

激發(fā)表達欲望以教學(xué)民主為前提，讓“學(xué)”走上前臺、讓“教”退居其后，以此倒逼學(xué)生思考，并通過精彩的鏈接式點評或是精準的診斷評價，促成學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“深刻理解”。學(xué)生的寫作能力的培養(yǎng)是一個循序漸進的過程，同樣“知無不言，言無不盡”的討論氛圍也需要慢慢培育，往往對教師駕馭課堂教學(xué)提出了更高的要求，我們應(yīng)該首先厘清學(xué)生的學(xué)習過程，設(shè)身處地弄清學(xué)生在這一過程中的起承轉(zhuǎn)合，何處山重水復(fù)，何處柳暗花明，不憤不啟，不悱不發(fā)。讓學(xué)生投入寫作還需要一定的機制保障，如布置每周一次的數(shù)學(xué)周記、學(xué)習反思等寫作任務(wù)（可課堂進行，也可作為課后的替代性作業(yè)），以及時記錄“對話教學(xué)”下的精彩生成、數(shù)學(xué)問題探討中的“心路歷程”；挑選優(yōu)秀數(shù)學(xué)寫作定期展評，發(fā)揮作品的激勵引領(lǐng)作用；課堂教學(xué)適當留白，結(jié)合案例指導(dǎo)寫作，在切磋過程中獲得真正的提高；組織數(shù)學(xué)閱讀活動，與大家對話以開闊視野，批判性閱讀以啟迪思維。當然這些機制需要有動態(tài)的平衡，以保護學(xué)生的寫作興趣和不加重學(xué)生負擔為前提。

2.練習寫作技巧，讓數(shù)學(xué)寫作言之有“徑”

如果學(xué)生已經(jīng)具有一定的寫作技巧并且善于表達自己的數(shù)學(xué)感受，那么數(shù)學(xué)概念的理解認識、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟應(yīng)用、數(shù)學(xué)問題解決的思路闡述（包括解決問題過程中所走的彎路、錯誤的方法）等，都可以成為學(xué)生寫作的內(nèi)容。于是有必要練習寫作技巧，不斷積累數(shù)學(xué)表達經(jīng)驗，促進學(xué)生用簡潔、準確的語言來表達解決問題思考過程的習慣養(yǎng)成。

練習寫作技巧，行之有效的路徑包括：帶有提示語的寫作，用自己的語言解釋抽象的數(shù)學(xué)概念，梳理總結(jié)公式的意義及應(yīng)用，闡述解題過程、解題思路或數(shù)學(xué)思想方法等。[6]除了這些方法外，考慮到數(shù)學(xué)寫作離不開知識聯(lián)想和思維發(fā)散，為幫助學(xué)生有效提取記憶中的知識儲存，我們在寫作培訓(xùn)中常采取“斷章取義、表征交流”和“自由回憶、結(jié)點連線”的教學(xué)策略。

“斷章取義、表征交流”策略主要用于命題研究中，如面對問題“直線l：y=kx+3與圓C：x2+y2-2x-2y-7=0相交于A、B兩點，當點M在弦AB上運動時，總存在滿足PC=3且PM=2的點P，求實數(shù)k的取值范圍？”時，首先“斷章取義”，核心條件為“兩變化一存在”（題中下劃線所示）；繼而結(jié)合語法分析將條件表征，考察主句“存·在·滿足PC=3且PM=2的點P”，可表征為圖像（如圖1，圓M與圓C有交點P），這樣主句可簡化為“圓M與圓C始終有交點”，加載從句“點M在弦AB上運動”后，問題可轉(zhuǎn)換為“點C到弦AB的距離不大于1”（如圖2），這樣便可將條件“直線l：y=kx+3與圓C：x2+y2-2x-2y-7=0相交”表征為“d=學(xué)生從不同的理解角度進行多維表征，這為學(xué)生思路受阻時能夠“主動變換表征形式，調(diào)整思維方向”創(chuàng)設(shè)提供思維通道，通過交流使數(shù)學(xué)表達具有條理性和邏輯性。

圖1

圖2

“自由回憶、結(jié)點連線”則多見于概念理解時，如在學(xué)習函數(shù)概念后，可組織學(xué)生自由回憶“請你盡量多地歸納出求函數(shù)定義域的原則”，也可嘗試在一組概念或命題間按抽象關(guān)系或推出關(guān)系連線，如在“y=f(x)、y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(x-a)、y=A+f(x-a)、y=f(2x)、y=f(kx+b)及其圖像”間連線，學(xué)生給出的結(jié)論越多說明其知識結(jié)構(gòu)越完善、思維越發(fā)散，也更有利于數(shù)學(xué)表達能力的發(fā)展。

當然，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)寫作能力需要注意依循由易到難、由簡到繁的基本方向。

3.深化數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)寫作言之有“理”

深入思考、言之有物是數(shù)學(xué)寫作的基礎(chǔ)，我們不僅要關(guān)注學(xué)生怎么寫，更要關(guān)注學(xué)生寫什么。沒有深入的思考，就難以真正理解問題，就無法認識學(xué)習對象的本質(zhì)，更感悟不到學(xué)科的精神和思想方法；因為對于一個事物沒有完整的、深刻的體驗，要想通過語言、文字加以說明和解釋，其結(jié)果就是盲人摸象、管中窺豹。

讓數(shù)學(xué)寫作言之有“理”，一方面需要擯棄以往教學(xué)中過于強調(diào)形式化的邏輯推導(dǎo)和形式化結(jié)果的弊端，重視數(shù)學(xué)直觀性背景的創(chuàng)設(shè)，在抽象的數(shù)學(xué)與生動的現(xiàn)實間構(gòu)建聯(lián)系通道，突破數(shù)學(xué)因高度抽象概括特性而帶來的“難以意會、無法言傳”之障礙；同時重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的展示、數(shù)學(xué)學(xué)習活動的親身體驗，在問題的發(fā)現(xiàn)、方法的形成、知識體系的構(gòu)建過程中，引導(dǎo)學(xué)生從“知其然”到“知其所以然”，更有機會思考“何以知其所以然”，從而讓學(xué)生感悟蘊含其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，進而認識數(shù)學(xué)本質(zhì)。

圖3

所謂“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，我們需要揣著明白裝糊涂，通過不斷的追問，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目的條件、結(jié)論中沒有出現(xiàn)的關(guān)鍵性質(zhì)，正確、順暢地表述自己分析和解決問題的思維過程，簡潔、清晰地厘清和表述思路。而當我們的課堂“靈光一閃、猛然醒悟、腦洞大開”成為常見風景時，學(xué)生們的表達自會欲罷不能，而優(yōu)秀寫作也自會躍然紙上。

總之，作為新課程落實提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手，數(shù)學(xué)寫作在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用和學(xué)生數(shù)學(xué)寫作能力的培養(yǎng)還是一個新的課題，許多問題還需要在實踐中去發(fā)現(xiàn)和解決。唯有讓我們的課堂真正互動起來，為學(xué)生提供深度對話的機會，讓他們有機會充分展示思維的形成和發(fā)展過程，數(shù)學(xué)寫作才能真正言之有“機”、言之有“徑”、言之有“理”！▲