朱竑禎，王緯波，殷學(xué)文，高存法

（1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016；2.中國船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫214082）

0 引 言

結(jié)構(gòu)上開孔能夠起到減重、偵查、維修、通風(fēng)等作用，在工程中十分常見。帶孔薄板在船舶上應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，如消聲器內(nèi)部穿孔板及水下航行器的外殼板等[1]。而圓孔因加工容易且孔邊界無奇異點(diǎn)，在潛艇結(jié)構(gòu)中是常用的開孔形狀，如在艙壁上布置圓形孔以用于安裝主機(jī)軸承及魚雷發(fā)射管等裝置[2]。靜力學(xué)中，當(dāng)結(jié)構(gòu)承受拉伸或擠壓時(shí)，孔洞附近的最大應(yīng)力會(huì)高于平均應(yīng)力好幾倍，產(chǎn)生了靜力學(xué)中的應(yīng)力集中現(xiàn)象[3]，非常容易導(dǎo)致孔洞的變形及結(jié)構(gòu)的破壞。而在動(dòng)力學(xué)中，開孔后板的質(zhì)量和剛度分布發(fā)生變化[4]，整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性也必定會(huì)改變，因此關(guān)于含孔而導(dǎo)致的振動(dòng)變化規(guī)律研究對(duì)于水下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制及降噪設(shè)計(jì)、聲學(xué)優(yōu)化有重要的意義。

目前對(duì)于連續(xù)薄板的振動(dòng)研究已經(jīng)較為成熟，而含孔薄板由于形狀復(fù)雜，難以用方程準(zhǔn)確描述，因而對(duì)此的研究并不多，且主要集中于對(duì)中心位置含孔的研究。Paramasivam[5]利用差分法求解了正方形板中心含正方形孔的振動(dòng)問題。Liew等[6]將差分法結(jié)合能量法求解了矩形板中心開孔的振動(dòng)問題。差分法是通過劃分區(qū)域單元來求解的，用于求解直線邊界較為簡(jiǎn)便，對(duì)于曲線邊界則難以模擬。Takahashi[7]通過Raileigh-Ritz能量法和由邊界條件預(yù)設(shè)的位移函數(shù)求解了矩形板中含孔的振動(dòng)問題，雖然可以適用于任意位置的孔，但是其對(duì)于位移函數(shù)的準(zhǔn)確性要求較高，因此只能適用于少量有精確解的邊界情況，且Hegarty等[8]證實(shí)了對(duì)于含圓孔方形板使用能量法求解的結(jié)果并不準(zhǔn)確。Kwak等[9]提出了在孔洞位置和板中心位置分別建立坐標(biāo)系的方法，對(duì)傳統(tǒng)的Raileigh-Ritz能量法進(jìn)行了改進(jìn)，用于計(jì)算任意位置含孔洞的平板振動(dòng)問題，不過仍然受到精確位移解的限制。而在國內(nèi)，對(duì)于含孔的平板振動(dòng)問題大多采用有限元法求解[1，10-12]，及沿用能量法求解矩形板的振動(dòng)[13-14]，對(duì)于含偏心孔洞的多種邊界的薄板振動(dòng)理論研究并不多。

本文在比較各類方法后，采納Hegarty等[8]的計(jì)算方法，在內(nèi)孔的中心建立全局坐標(biāo)系，使內(nèi)邊界條件精確滿足，在外邊界上取點(diǎn)，使外邊界條件近似滿足，并將Hegarty等的工作推廣至適用于任意位置的孔洞和多種邊界形狀，通過算例驗(yàn)證了本文方法的正確性且分析了孔洞偏心對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。

1 基本方程

本文研究均質(zhì)各向同性的薄板，薄板上含一個(gè)圓孔，圓孔的位置任意，半徑為R。薄板的形狀為曲線方程已知的規(guī)則圖形（如圓形、矩形、橢圓等）。如圖1所示，以圓孔的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，基于Kirchhoff的經(jīng)典薄板理論的平板彎曲自由振動(dòng)方程為：

圖1 含圓孔的薄板及其坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system of the thin plate with a circular hole

其中：w為z方向的位移，即撓度，ρ為平板的密度，h為板厚，D為彎曲剛度和μ分別為材料的楊氏模量和泊松比。

由于基于內(nèi)部的圓孔建立坐標(biāo)系，因此本文采用極坐標(biāo)系求解該問題。如圖1中平板上任意一點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下坐標(biāo)的關(guān)系為：

設(shè)撓度w具有如下形式：

其中：i為復(fù)數(shù)單位（i2=-1），ω為圓頻率。 代入（1）式即有：

Leissa[15]已求得極坐標(biāo)系下（2）式的解為：

1.1 內(nèi)邊界條件

在薄板彎曲理論中，由彈性力學(xué)[16]可得圓板的轉(zhuǎn)角φ、彎矩Mr、橫向有效剪力Vr為：

若內(nèi)邊界固支，則滿足：

以固支為例，將（3）式代入（5）式可得：

由（7）式可以求得：

對(duì)于三種邊界情況，（8）式均成立，只是對(duì)應(yīng)不同的邊界情況，系數(shù)不同。

對(duì)于簡(jiǎn)支情況：

對(duì)于自由邊界：

將（8）式代入（3）式，則撓度函數(shù)中未知量的個(gè)數(shù)減少，可以寫為：

1.2 外邊界條件

坐標(biāo)系固定在圓孔中心位置，外邊界的形狀可任意，近似地用若干離散點(diǎn)取代外邊界的連續(xù)曲線，使其各自滿足對(duì)應(yīng)位置的邊界方程，從而使外邊界條件近似滿足。

如圖2所示，P點(diǎn)為邊界Г上的任意一點(diǎn)，對(duì)于曲線邊界而言，三種邊界條件分別表示為[17]：

自由，彎矩和有效剪力為零：（Vt）Γ=0， （Mt）Γ=0

其中：下標(biāo)t表示P點(diǎn)所在位置的法線方向，m則表示切線方向。

圖2 薄板外邊界Fig.2 Outer boundary of the thin plate

圖3 圓形外邊界上取點(diǎn)Fig.3 Selected point of outer circular boundary

以外邊界為圓形為例，如圖3所示為一塊含圓孔的圓形薄板，O點(diǎn)為圓孔的圓心，O′點(diǎn)為外圓板的圓心，考慮到圓形的軸對(duì)稱性，以兩圓心連線方向?yàn)閤軸，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，OO′的長度記為e，代表圓孔偏離圓板中心的距離，圓孔的半徑為R。在外邊界上取M個(gè)點(diǎn)使它們均滿足邊界條件，假設(shè)第i個(gè)點(diǎn)為P，其相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的極坐標(biāo)為 （ri, θi），其相對(duì)于圓板圓心O′的極坐標(biāo)為（r′ , θi′），顯然r′為圓板的半徑。 對(duì)于P點(diǎn)，注意到P點(diǎn)的法線方向?yàn)椋磮A板的半徑方向。

若外邊界固支，對(duì)于邊界上任意一點(diǎn)P，應(yīng)滿足：

若外邊界簡(jiǎn)支，則在P點(diǎn)有：

若外邊界自由，則在P點(diǎn)有：

分別以O(shè)和O′為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系的坐標(biāo)（r,θ） 和 （r′,θ′）之間的關(guān)系，根據(jù)偏微分的知識(shí)，可得：

且由圖中的幾何關(guān)系可得：

從而求得：

以固支為例，將以上結(jié)果代入（10）式則P點(diǎn)的邊界條件如下所示，且對(duì)于邊界上每個(gè)取點(diǎn)都需滿足這兩個(gè)方程：

再以矩形板為例，如圖4所示，以圓孔的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿矩形板的長寬方向分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，矩形板的中心點(diǎn)為O′，其與O點(diǎn)的水平距離為e1，垂直距離為e2。矩形板的四條外邊界分別記為l1，l2，l3，l4。 設(shè)P點(diǎn)為在邊界上取的第i個(gè)點(diǎn)，其直角坐標(biāo)為 （xi,yi），極坐標(biāo)為 （ri, θi）。

若P點(diǎn)在邊界l1，l2上，則邊界條件為：

若P點(diǎn)在邊界l3，l4上，則邊界條件為：

圖4 矩形外邊界上取點(diǎn)Fig.4 Selected point of outer rectangular boundary

其中：M，V為彎矩和剪力，分別可以由位移函數(shù)表示為：

其中涉及到的偏微分運(yùn)算為：

而由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可知：

仍以固支為例，若P點(diǎn)在l2邊界上，則滿足的兩個(gè)邊界條件為：

其他兩種情況只需代入相應(yīng)的邊界條件即可，在此不作贅述。

2 求解分析

綜合以上的分析，在（9）式中若取截?cái)囗?xiàng)數(shù)為N，則待定系數(shù)為：C，D，C，D，C*，D*，…，C，D，C*，

001111NNN D*N，共有（4N+2）個(gè)未知量。在外邊界上取M個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)滿足各自的兩個(gè)邊界條件，則可得到2M個(gè)方程。最終獲得的方程組表示為：

若2M=4N+2，即方程數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，恰好能將未知數(shù)求解出，若2M＜4N+2，即方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，所得解不唯一。若2M＞4N+2，即方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)，可以通過最小二乘法來求得唯一解。因此在選擇截?cái)囗?xiàng)數(shù)和外邊界上點(diǎn)數(shù)時(shí)，為確保求解的唯一性，應(yīng)滿足2M≥4N+2。

要由（20）式求自由振動(dòng)固有頻率只需使矩陣A的行列式為零，即由該方程求解得到的頻率即為固有頻率。但是首先矩陣A不一定為方陣，求解其行列式困難，因此可以轉(zhuǎn)化為解，其中ATA為一個(gè)（4N+2）×（4N+2）的方陣。其次由邊界方程可以看到，矩陣A中的項(xiàng)涉及貝塞爾函數(shù)，且表達(dá)式較復(fù)雜，并非關(guān)于頻率的線性項(xiàng)，因此并不是一個(gè)線性方程，難以直接求得固有頻率。參考文獻(xiàn)中對(duì)非線性方程求根的做法[18]，轉(zhuǎn)化為取值具體做法即是在頻率域內(nèi)循環(huán)，每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的行列式值 的倒數(shù)取對(duì)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)極大值時(shí)，認(rèn)為該頻率為固有頻率的平方。

理論上，在邊界上選擇的點(diǎn)數(shù)越多，越能真實(shí)還原出邊界的形狀。截?cái)囗?xiàng)數(shù)越大，撓度函數(shù)越精確。實(shí)際上，M與N不可能取無限大，而且它們的取值關(guān)系到結(jié)果的準(zhǔn)確性和運(yùn)算的效率。為了確定M的取值，首先運(yùn)用上述方法計(jì)算普通的不含圓孔的平板的自由振動(dòng)頻率。

表1和表2列出了Leissa在《Vibration of plates》一書中求解的周邊固支圓板和周邊固支正方形板的無量綱化自由振動(dòng)固有頻率與本文計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)，M為外邊界等距取點(diǎn)個(gè)數(shù)，括號(hào)內(nèi)表示的是矩陣A的維數(shù)。由表1可見，N=3，M=8時(shí)，結(jié)果已經(jīng)足夠準(zhǔn)確。而對(duì)于矩形板而言，因?yàn)橛修D(zhuǎn)角，形狀比圓板更復(fù)雜，需要在邊界上取更多的點(diǎn)以保證邊界的形狀（在此M均取為偶數(shù)以保證結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性），因此相對(duì)應(yīng)截?cái)囗?xiàng)數(shù)N也要取更大一些。表2中可見在N=5，M=12時(shí)，與N=4時(shí)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比誤差已經(jīng)減小，而且在M=16時(shí)，由于A的維數(shù)差異較大，存在明顯的漏頻現(xiàn)象。由Hegarty等[8]和Ariman等[19]的研究可知，方程個(gè)數(shù)和邊界取點(diǎn)個(gè)數(shù)有一定的比例，結(jié)果才更精確，而并非越大越好。由本文選取的算例可見，在本文的情況中方程數(shù)與未知量個(gè)數(shù)的比值大致為1時(shí)較為準(zhǔn)確。因此為了運(yùn)算的速度和結(jié)果準(zhǔn)確性，N和M不需要再取得更大，在以下含圓孔的算例中，選取圓板參數(shù)N=3，M=8，選取矩形板參數(shù)N=5，M=12。

表1 周邊固支的圓板的自由振動(dòng)頻率（無量綱參數(shù)=，泊松比0.3，a為圓板半徑）Tab.1 Natural frequencies of clamped circular plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,radius a)

表1 周邊固支的圓板的自由振動(dòng)頻率（無量綱參數(shù)=，泊松比0.3，a為圓板半徑）Tab.1 Natural frequencies of clamped circular plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,radius a)

理論解（Leissa）[15]N=3 N=4 M=7（14×14）M=8（16×14）M=10（20×14）M=9（18×18）M=10（20×18）M=12（24×18）3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 2 4.610 9 5.905 9 6.306 4 7.144 2 7.798 7 3.196 4.611 5.906 6.306 7.143 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799

表2 周邊固支的正方形板的自由振動(dòng)頻率（無量綱參數(shù)，泊松比 0.3，l為板寬）Tab.2 Natural frequencies of clamped square plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,edge length l)

表2 周邊固支的正方形板的自由振動(dòng)頻率（無量綱參數(shù)，泊松比 0.3，l為板寬）Tab.2 Natural frequencies of clamped square plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,edge length l)

理論解（Leissa）[15]（20×18） Error M=12 N=4 N=5 M=10（24×18） Error M=12（24×22） Error M=16（32×22） Error 5.924 5 8.538 1 10.366 8 11.473 4 12.844 8 14.503 4 14.809 5 5.927 8.248 10.564—12.779 13.952—0.04%-3.40%1.90%—-0.51%-3.8%—5.889—10.564 11.476——14.931-0.60%—1.90%0.02%——0.82%5.889 8.442 10.564 11.476 13.298 14.311 14.931-0.60%-1.13%1.90%0.02%3.53%-1.33%0.82%5.968——11.926 12.840——0.73%——3.94%-0.04%——

3 含孔平板算例分析

首先考慮含圓孔的圓板的振動(dòng)問題。如圖5所示，圓孔中心與圓板的中心距離為e，圓孔半徑為b，圓板半徑為a，顯然應(yīng)有b＜a，0≤e＜a-b，假設(shè)邊界條件為外邊界固支，內(nèi)邊界自由，計(jì)算無量綱化自由振動(dòng)頻率

若在圓板上含一個(gè)同心圓孔（e=0），即為一個(gè)圓環(huán)板的自由振動(dòng)問題，則不同b/a比值下的結(jié)果與解析解的對(duì)比如表3所示。

表3 外周固支，內(nèi)圓孔自由的圓環(huán)板自由振動(dòng)頻率 Tab.3 Dimensionless natural frequency，泊松比1/3of annular plate with clamped outer boundary and free inner boundary,Poisson’s ratio 1/3

表3 外周固支，內(nèi)圓孔自由的圓環(huán)板自由振動(dòng)頻率 Tab.3 Dimensionless natural frequency，泊松比1/3of annular plate with clamped outer boundary and free inner boundary,Poisson’s ratio 1/3

階數(shù)b/a=0.1 b/a=0.2 b/a=0.4 b/a=0.6 Leissa[15] 本文 Error（%） Leissa[15] 本文 Error（%） Leissa[15 本文 Error（%） Leissa[15 本文 Error（%）1 2 3 3.191 4.601 5.875 3.195 4.597 5.892 0.13-0.087 0.29 3.216 4.525 5.819 3.200 4.498 5.797 0.12-0.60-0.38 3.680 4.450 5.598 3.699 4.396 5.593 0.52-1.21-0.09 5.060 5.340 6.050 5.096 5.297 6.003 0.71 0.81 0.78

由表1可見，本文的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典理論中的結(jié)果相比，誤差小，基本一致，由此可驗(yàn)證本文理論的正確性和可行性。

圖5 含偏心圓孔的圓板Fig.5 Circular plate with an inner eccentric circular hole

圖6 不同孔洞尺寸下圓板基頻隨偏心距的變化Fig.6 The variation of fundamental frequency of circular plate with eccentricity under different hole sizes

當(dāng)偏心距e不為零時(shí)，即圓孔相對(duì)圓板中心產(chǎn)生偏心。圖6對(duì)比了五組不同的圓孔尺寸下，圓板的無量綱基頻隨偏心距的變化。顯然可見，當(dāng)內(nèi)孔尺寸擴(kuò)大，頻率升高。隨著偏心距的增大，基頻均呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，孔徑越大，偏心對(duì)于結(jié)構(gòu)的影響就越大。如圖7所示，本例計(jì)算含圓孔的正方形板，圓孔中心與矩形板中心x方向的距離為e1，y軸方向的距離為e2，圓孔半徑為r，正方形板邊長為L，顯然 0≤e1＜L/2-r，0≤e2＜L/2-r，圓孔內(nèi)邊界自由，無量綱化頻率取為

表4 含不同半徑圓孔的四邊固支正方形板前兩階頻率 ，泊松比0.3Tab.4 The first two dimensionless natural frequenciesof clamped square plate with a central circular hole under different hole sizes,Poisson’s ratio 0.3

表4 含不同半徑圓孔的四邊固支正方形板前兩階頻率 ，泊松比0.3Tab.4 The first two dimensionless natural frequenciesof clamped square plate with a central circular hole under different hole sizes,Poisson’s ratio 0.3

階數(shù)2r/L 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 2 5.889 8.442 5.883 8.442 5.874 8.433 5.882 8.401 5.923 8.335 6.006 8.241 6.139 8.144

圖7 含偏心圓孔的正方形板Fig.7 Square plate with an inner eccentric circular hole

圖8 四邊簡(jiǎn)支不同孔洞尺寸下方板基頻隨偏心距的變化Fig.8 Fundamental frequencies of simply-supported square plates with eccentricity under different hole sizes

首先考慮方形板正中含圓孔的問題，設(shè)e1=0，e2=0，計(jì)算了外邊界四邊固支情況下的固有頻率，如表4所示。當(dāng)圓孔不再位于板中心位置時(shí)，圖8對(duì)比了在四邊簡(jiǎn)支外邊界下圓孔沿單方向偏心和沿對(duì)角線方向偏心的基頻變化規(guī)律。

與圓板不同的是，由表4的數(shù)據(jù)可見，在四邊固支的邊界情況下，基頻呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，而第二階頻率則只有下降的趨勢(shì)。而由圖8可見，當(dāng)孔徑由2r/L=0.05變大為0.1時(shí)，固有頻率略有下降，而變大至0.2時(shí)，又有明顯提升，這與表4的結(jié)果是一致的。Hegarty等[8]認(rèn)為這是由于開孔使應(yīng)變能減少，及降低整板質(zhì)量共同決定的，當(dāng)質(zhì)量減輕對(duì)固有頻率的影響未超過能量對(duì)頻率的影響時(shí)，固有頻率就會(huì)降低，反之則會(huì)升高。此外，內(nèi)孔僅沿一邊偏心時(shí)固有頻率變化幅度遠(yuǎn)小于內(nèi)孔沿對(duì)角線方向偏心，尤其是在孔徑較大或偏心距較大時(shí)，固有頻率的下降非常明顯。由此可知，具有較大開孔尺寸及較大偏心距的平板是較為不穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典薄板理論，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法，求解了含圓孔的薄板振動(dòng)問題。坐標(biāo)系建立于孔的中心，因此內(nèi)邊界方程能精確滿足，通過對(duì)外邊界上取點(diǎn)使其分別滿足邊界條件從而模擬外邊界情況。與經(jīng)典解析解的對(duì)比證明了本文方法是正確有效的，對(duì)于偏心孔洞的計(jì)算表明了孔洞偏心能使結(jié)構(gòu)基頻降低，且孔洞尺寸越大，其影響效果越顯著。理論上本文的方法能夠適用于計(jì)算多種規(guī)則孔洞和多種外邊界形狀，不過對(duì)于外邊界點(diǎn)和待定系數(shù)的選取數(shù)量會(huì)直接影響計(jì)算效率，因此在計(jì)算其他形狀的平板和孔洞時(shí)仍需進(jìn)一步討論和驗(yàn)證。