曾飛鵬

【摘要】 動(dòng)態(tài)幾何是初中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，也是每年中考的壓軸問(wèn)題.以近年廣東省中考為例，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題常常在中考中以幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊為背景，考察線段、面積的最值，以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置問(wèn)題等.圖形的變換，要求學(xué)生“對(duì)圖形再認(rèn)識(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來(lái)”，而學(xué)生由于在實(shí)際生活中對(duì)圖形的動(dòng)手操作較少，對(duì)動(dòng)態(tài)問(wèn)題缺乏感性認(rèn)識(shí).這就需要在教學(xué)過(guò)程中，特別是初三專題復(fù)習(xí)階段，合理利用信息技術(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的思考對(duì)象形象化、直觀化，從而有效提高動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)的課堂效率.本文在《在平板上利用GGB軟件探究動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題》課題組研究的基礎(chǔ)上，以課題組公開(kāi)課《動(dòng)態(tài)幾何中的面積問(wèn)題》中的片段為例，簡(jiǎn)述利用GGB軟件的動(dòng)畫功能解決動(dòng)態(tài)幾何中的面積問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 GGB軟件 動(dòng)態(tài)幾何教學(xué) 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）08-122-02

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例題：如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H.

（1）設(shè)EF=x，AH=_________，DH=_________，EQ=_________；

（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式。

一、數(shù)據(jù)詳實(shí)，便于猜想

二、動(dòng)靜皆宜，適于分類

GGB軟件的動(dòng)畫功能，即可自動(dòng)播放，也可手動(dòng)播放，還可以在需要時(shí)在圖中進(jìn)行批注，所以適宜用于動(dòng)態(tài)幾何中的分類討論教學(xué)。以問(wèn)題（3）為例，GGB軟件的動(dòng)畫功能，在以下幾個(gè)步驟中可發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)：

1.發(fā)現(xiàn)圖形形狀的變化規(guī)律階段.當(dāng)教師提問(wèn)“矩形EFPQ與△ABC重疊部分的形狀隨著時(shí)間t的變化如何變化？”后，雖然學(xué)生經(jīng)過(guò)畫圖，小組合作交流，但是對(duì)于平移過(guò)程中圖形的再認(rèn)識(shí)并不清晰，不能很好地讓圖形在頭腦中動(dòng)起來(lái).當(dāng)教師將重疊部分生成陰影，啟動(dòng)動(dòng)畫演示后，模糊的圖形形象頓時(shí)生動(dòng)形象，學(xué)生幾乎可以同時(shí)對(duì)形狀的變化規(guī)律加以歸納：五邊形→梯形→三角形。

2.制定分類討論標(biāo)準(zhǔn)階段.這一階段經(jīng)過(guò)由形的認(rèn)識(shí)到數(shù)的衡量的過(guò)程。我們知道分類討論的依據(jù)是：圖形的根本屬性發(fā)生根本改變。那么，重疊部分從何時(shí)開(kāi)始由五邊形變?yōu)樘菪?，從何時(shí)開(kāi)由梯形變?yōu)槿切文?？?duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)的的討論，是學(xué)生最難以把握，教師利用常規(guī)教學(xué)手段難以達(dá)到理想教學(xué)效果的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容。但是，利用好GGB軟件的動(dòng)畫功能卻可以輕松突破這個(gè)難點(diǎn)。首先，從形的角度來(lái)研究，教師手動(dòng)慢速拖動(dòng)矩形EFPQ，重疊部分形狀大致經(jīng)歷了如圖2～圖6的變化過(guò)程，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖3）重疊部分由五邊形變?yōu)樘菪?、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC上時(shí)（如圖5）重疊部分由梯形變?yōu)槿切危?其次，從數(shù)的角度來(lái)研究，由圖1易得，初始位置時(shí)，PC=4，當(dāng)矩形EFPQ運(yùn)動(dòng)到圖3位置即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，平移距離為4，此時(shí)t=4；當(dāng)矩形EFPQ運(yùn)動(dòng)到圖5位置即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC上時(shí)，平移距離即為EF的長(zhǎng)，此時(shí)t=5；當(dāng)矩形EFPQ運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)時(shí)，平移距離等于EF+PC=9，此時(shí)t=9.最后，制定分類標(biāo)準(zhǔn)：①0≤t<4時(shí)，②4≤t<5時(shí)，③5≤t≤9時(shí)。由于GGB軟件的動(dòng)畫可以任意回放，教師可以輕松依據(jù)圖形引導(dǎo)學(xué)生注意標(biāo)準(zhǔn)要“不重不漏”對(duì)及t=4放于第②種情況，t=5放于第③種情況的實(shí)際含義加以闡述 。

3. 求S與t的函數(shù)關(guān)系式階段。這一階段可將動(dòng)畫分別拖到圖2、圖4、圖6位置加以分析。以圖2為例，引導(dǎo)學(xué)生分析重疊部分的面積等于矩形EFPQ的面積與以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)的三角形面積的差，而該三角形是以t為邊長(zhǎng)的等腰直角三角形。將動(dòng)畫定格于圖2，啟用平板或投影上的畫筆功能，在相應(yīng)的直角邊上標(biāo)上對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)t，這時(shí)，求函數(shù)解析式這一難點(diǎn)已變?yōu)橄鄬?duì)簡(jiǎn)單的計(jì)算了。用同樣的方法可對(duì)圖4、圖6加以分析，最后，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式：

三、分頁(yè)顯示，一題多變

在初三專題復(fù)習(xí)階段，特別是形如動(dòng)態(tài)幾何這類壓軸題教學(xué)，容易出現(xiàn)就題講題的局面，學(xué)生能聽(tīng)懂，但不會(huì)運(yùn)用。而且，因?yàn)槊總€(gè)問(wèn)題的解決都需要一定時(shí)間，很多教師陷入一節(jié)課講一個(gè)題太少，講多個(gè)題太趕的矛盾之中。解決這些問(wèn)題，筆者認(rèn)為適當(dāng)進(jìn)行變式教學(xué)，既可鍛煉學(xué)生從不同的側(cè)面去分析問(wèn)題的能力，又可起到實(shí)時(shí)練習(xí)的作用，使學(xué)生靈活扎實(shí)的掌握所學(xué)內(nèi)容，還可以使課堂一氣呵成，銜接流暢。 而GGB軟件可利用顯示/隱藏圖層腳本來(lái)設(shè)置對(duì)象按頁(yè)顯示，可以在同一個(gè)文件使用按鈕“上一頁(yè)”或“下一頁(yè)”來(lái)切換不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而使得變式教學(xué)操作簡(jiǎn)單易行。如本課在完成問(wèn)題（1）～問(wèn)題（3）后，繼續(xù)追問(wèn)：

（4）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，將△AEF以1個(gè)單位/s的速度沿AD向下平移，得△A′E′F′（點(diǎn)A′在高AD上），求平移后的△A′E′F′與矩形EFPQ重疊部分的面積y與平移的時(shí)間t（s）（0≤t≤8）的函數(shù)關(guān)系式。

學(xué)生用平板自主播放動(dòng)畫，按圖8、圖9兩種情況分小組完成后，教師用平板將學(xué)生的答題情況拍照后，投影到屏幕，加以對(duì)比點(diǎn)評(píng)。

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教師繼續(xù)提出一系列思考題：

（5）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，將矩形EFPQ以1個(gè)單位/s的速度沿DA向上平移，求平移后的矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積y與平移的時(shí)間t（s）（0≤t≤8）的函數(shù)關(guān)系式。

（6）點(diǎn)A、A′關(guān)于直線EF對(duì)稱，.若直線EF沿AD向下平移（點(diǎn)E在邊AB上移動(dòng)且不與點(diǎn)A、B重合），設(shè)△A′EF與矩形EFPQ重疊部分的面積為y，線段EF的長(zhǎng)度為x.

①求y與x函數(shù)關(guān)系式；②y是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值；如果不存在，試說(shuō)明理由。

……

總之，在教學(xué)中運(yùn)用GGB軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中的圖形變化過(guò)程直觀形象的展示出來(lái)，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形再認(rèn)識(shí)的能力，還可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，進(jìn)而開(kāi)拓學(xué)生思維，保證課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生深入研究數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)習(xí)慣。