吳津慶，葛蘆生，陳宗祥，丁燁

(安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

DC/DC變換器應(yīng)用廣泛。如何運(yùn)用先進(jìn)的控制技術(shù)提高其穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)性能，越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注[1-5]。模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control, MPC)作為一種先進(jìn)控制技術(shù)，目前已應(yīng)用到DC/DC變換器的控制中[3-5]。預(yù)測(cè)函數(shù)控制(predictive functional control, PFC)是第三代模型預(yù)測(cè)控制算法，它將控制輸入結(jié)構(gòu)化，不僅克服了模型預(yù)測(cè)控制存在的控制輸入不規(guī)律的問(wèn)題，而且有效減少了在線計(jì)算量，提高了響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[6]采用PFC-PID串級(jí)控制策略來(lái)控制主汽溫控系統(tǒng)，提高了系統(tǒng)的魯棒性。這種方法簡(jiǎn)單，而且具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[7]將預(yù)測(cè)函數(shù)控制應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)器人控制，并與計(jì)算轉(zhuǎn)矩控制(computed torque control, CTC)和PID算法進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)函數(shù)控制具有更好的跟蹤性能和抗干擾性。

由于預(yù)測(cè)函數(shù)控制具有實(shí)時(shí)計(jì)算量小、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此適用于快速控制系統(tǒng)[8]。鑒于此，本文設(shè)計(jì)了基于預(yù)測(cè)函數(shù)控制的Buck變換器，采用狀態(tài)空間平均法建立預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行反饋校正調(diào)節(jié)，通過(guò)優(yōu)化二次型性能指標(biāo)推導(dǎo)出占空比的表達(dá)式。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了該Buck變換器具有良好的穩(wěn)態(tài)精度和較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

1 預(yù)測(cè)函數(shù)控制基本原理

1.1 控制變量

預(yù)測(cè)函數(shù)控制不僅具有模型預(yù)測(cè)控制的三大特征：預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋校正，還有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。PFC算法把每個(gè)時(shí)刻的控制輸入看成是一系列已知基函數(shù)的線性組合：

(1)

式中：u(k+i)為(k+i)時(shí)刻的控制輸入；P為預(yù)測(cè)優(yōu)化時(shí)域長(zhǎng)度；N為基函數(shù)的個(gè)數(shù)，N≤P；gkj(i)為基函數(shù)在t=iTS時(shí)刻的值，其中TS為采樣周期；μj(k)為基函數(shù)的線性組合系數(shù)。由于基函數(shù)是已知的，對(duì)控制輸入量的計(jì)算就轉(zhuǎn)化成了對(duì)線性組合系數(shù)的計(jì)算?；瘮?shù)可以根據(jù)被控對(duì)象的特性和設(shè)定值進(jìn)行選擇，通常選擇階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。

1.2 預(yù)測(cè)模型

PFC算法的預(yù)測(cè)模型采用線性離散狀態(tài)空間描述方程的形式：

(2)

式中：Xm是預(yù)測(cè)模型的狀態(tài)變量；ym為預(yù)測(cè)模型的輸出；u為系統(tǒng)的控制輸入；A、B、C是相應(yīng)維數(shù)的矩陣或者向量。

1.3 參考軌跡

在實(shí)際控制過(guò)程中，為了讓系統(tǒng)的輸出值平滑地達(dá)到設(shè)定值，從而避免大幅度超調(diào)或者振蕩現(xiàn)象，可以規(guī)定一條漸趨于設(shè)定值的曲線，即參考軌跡。參考軌跡可以選擇多種形式，對(duì)于漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，通常采用一階指數(shù)的形式：

yr(k+i)=c(k+i)-βi(c(k)-y(k))

i=1,2,…,P

(3)

1.4 性能指標(biāo)

預(yù)測(cè)函數(shù)控制的優(yōu)化是對(duì)有限區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)時(shí)間的推移滾動(dòng)式地進(jìn)行下去。通常為使優(yōu)化點(diǎn)上的預(yù)測(cè)值與參考軌跡值差值的平方和最小，優(yōu)化的性能指標(biāo)選取為

ri[u(k+i-1)]2}

(4)

式中：qi為差值的權(quán)重系數(shù)；ri為控制輸入的權(quán)重系數(shù)；yp是校正后的模型預(yù)測(cè)輸出值。

yp(k+i)=ym(k+i)+hie(k)i=1,2,…,P

(5)

式中，hi為誤差系數(shù)，當(dāng)模型存在誤差時(shí)，可以調(diào)節(jié)hi使輸出達(dá)到設(shè)定值；e為預(yù)測(cè)誤差，可取為

e(k)=y(k)-ym(k)

(6)

為使式(4)能夠取得最小值，令

(7)

式中，μ(k)=[μ1(k),μ2(k),…,μN(yùn)(k)]T。對(duì)式(7)求解，可以得到基函數(shù)的線性組合系數(shù)，從而推導(dǎo)出控制輸入的表達(dá)式。

2 Buck變換器的PFC控制器設(shè)計(jì)

2.1 Buck變換器數(shù)學(xué)模型

Buck變換器采用同步整流的方式，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 同步整流Buck變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖1中，Q1為主開(kāi)關(guān)管；Q2為同步整流管；L為電感；C為輸出電容；R為負(fù)載電阻；vin和vo分別表示輸入電壓和輸出電壓。當(dāng)Q1導(dǎo)通、Q2關(guān)斷時(shí)，由KCL和KVL得到電路方程：

(8)

式中，kTs≤t≤(k+d(k))Ts。

當(dāng)Q1關(guān)斷、Q2導(dǎo)通時(shí)，電路方程為

(9)

式中，(k+d(k))Ts≤t≤(k+1)Ts。

運(yùn)用狀態(tài)空間平均法，將式(8)、(9)聯(lián)立得

(10)

式中，kTs≤t≤(k+1)Ts。

選取電感電流iL(t)和輸出電壓vo(t)構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)向量，即x(t)=[iL(t)vo(t)]T，用歐拉前向差分離散的方法對(duì)式(10)離散化，得

(11)

2.2 PFC控制器設(shè)計(jì)

施加PFC的Buck變換器原理圖如圖2所示，整個(gè)系統(tǒng)可以看成是單輸入單輸出系統(tǒng)，輸入變量即為控制輸入d(k)，輸出變量為輸出電壓vo。對(duì)Buck變換器進(jìn)行控制是為了得到一個(gè)穩(wěn)定的輸出電壓，這相當(dāng)于設(shè)定值固定不變，在此選擇階躍函數(shù)作為基函數(shù)[9]，則控制變量為

d(k+i)=μii=0,1,…,P-1

(12)

遞推得到(k+i)時(shí)刻的模型預(yù)測(cè)值：

(13)

由式(3)—(6)可以推導(dǎo)出

J(k)=‖D(k)-Gk·μ1‖2Q+‖H·μ1‖2R

(14)

式中：

D(k)=[D(k+1),D(k+2),…,D(k+P)]T，

D(k+i)=(1-βi)c(k)+βiy(k)-CAix(k)-hie(k)；

Q=diag (q1,q2,…,qp)；

R=diag (r1,r2,…,rp)；

H(p×1)=[1,1,…,1]T。

由式(7)可得

μ1=MD(k)

(15)

由于PFC采用滾動(dòng)優(yōu)化的控制策略，因此實(shí)際作用于被控對(duì)象的是控制序列的第一個(gè)控制量?？刂戚斎肟筛膶?xiě)為

d(k)=k0c(k)+k1y(k)-K2x(k)-k3e(k)

(16)

式中：

k0=M[1-β，1-β2，…，1-βp]T；

k1=M[β,β2,…,βp]T；

K2=M[CA,CA2,…,CAp]T；

k3=M[h1,h2,…,hp]T。

可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)可用離散狀態(tài)空間方程表示的系統(tǒng)，當(dāng)c(k)、P、β、hi參數(shù)已知時(shí)，k0、k1、K2、k3都是已知量，可通過(guò)離線計(jì)算得出，y(k)、x(k)可通過(guò)對(duì)電路進(jìn)行實(shí)時(shí)采樣得到，因此PFC算法具有在線計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證PFC算法對(duì)Buck變換器控制的有效性，在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下搭建了仿真模型。為了更好地模擬實(shí)際情況，在仿真模型中加入了電感和電容的寄生電阻參數(shù)。Buck變換器具體電路參數(shù)如表1所示。

表1 Buck變換器電路參數(shù)

仿真中，對(duì)電感電流和輸出電壓進(jìn)行采樣，輸入到PFC控制器，由式(16)計(jì)算出占空比d(k)，然后與峰值為1的三角波進(jìn)行比較，產(chǎn)生PWM控制信號(hào)，控制開(kāi)關(guān)管Q1和Q2導(dǎo)通和關(guān)斷。PFC控制器的控制參數(shù)分別為：c(k)=2.5；Tr=1.5×10-5s；p=4；Q=diag(1,1,1,1)；R=0.01 diag (1,1,1,1)；h=[5 4.5 3.5 2.9]T。仿真波形如圖3所示。

(a)輸出電壓vo波形

(b)輸出電流iL波形

(c)占空比d(k)波形

在t=0.8 ms之前，Buck變換器的負(fù)載是1 Ω，輸出電壓穩(wěn)定在給定值2.5 V，電感電流的平均值為2.5 A；在t=0.8 ms時(shí)，變換器的負(fù)載電阻從1 Ω切換到0.5 Ω，負(fù)載突然加大，輸出電壓有輕微下跌，下跌量約為0.18 V，接下去在PFC控制器作用下，輸出電壓快速跟蹤到給定值2.5 V(經(jīng)過(guò)12個(gè)開(kāi)關(guān)周期)；在t=1.6 ms時(shí)，負(fù)載電阻又從0.5 Ω切換到1 Ω，負(fù)載減小，輸出電壓產(chǎn)生0.2 V左右的超調(diào)量，經(jīng)過(guò)12個(gè)開(kāi)關(guān)周期調(diào)節(jié)后恢復(fù)到2.5 V。在跳變負(fù)載時(shí)，占空比變化很大，這有助于快速調(diào)節(jié)輸出電壓到給定值；而在穩(wěn)態(tài)時(shí)，占空比幾乎沒(méi)有波動(dòng)，從而使得輸出電壓非常穩(wěn)定，不會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)。

4 結(jié)論

本文介紹了預(yù)測(cè)函數(shù)控制的基本原理，結(jié)合狀態(tài)空間方程計(jì)算控制輸入，通過(guò)對(duì)Buck變換器進(jìn)行狀態(tài)平均法建模得到預(yù)測(cè)模型，進(jìn)而推導(dǎo)出占空比的表達(dá)式。通過(guò)仿真，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制器能使Buck變換器具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和快速動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)能力。