趙明浩 牟文君

摘要：伴隨著素質(zhì)教育的不斷推進(jìn)，高考題目的靈活性更強(qiáng)，其涉及的知識面更為廣泛，將不同數(shù)學(xué)思想予以融合已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)考試的趨勢，其中，合理利用導(dǎo)數(shù)思想解答不等式問題較為關(guān)鍵，各地高考數(shù)學(xué)中都會出現(xiàn)不等式的題目，這就需要教師對具體教學(xué)流程予以分析，給予學(xué)生更加有效的教學(xué)指導(dǎo)。本文簡要分析了不等式高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)，并對具體的應(yīng)用路徑展開討論，僅供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)思想；不等式

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式考點(diǎn)分析十分關(guān)鍵，借助導(dǎo)數(shù)思想對具體問題進(jìn)行分析的過程中，要從多角度建立相應(yīng)的分析框架，保證知識點(diǎn)分析效果較好。

一、 不等式高考考點(diǎn)分析

在高考數(shù)學(xué)試卷中，不等式一直就是較為重要的考點(diǎn)，學(xué)生只有充分掌握不等式的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，才能有效梳理題目解答的過程，從根本上提高高考數(shù)學(xué)的成績。

近幾年，高考數(shù)學(xué)中關(guān)于不等式的題目主要分為四類，第一類，性質(zhì)判斷類題目和具體應(yīng)用。第二類，不等式求解。第三類，不等式證明。第四類，不等式應(yīng)用，都需要將不等式內(nèi)容的基礎(chǔ)和理論依據(jù)作為解題關(guān)鍵。尤其是在不等式證明中，利用導(dǎo)數(shù)思想進(jìn)行題目求解較為關(guān)鍵，基于此，教師要引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)作為研究工具，結(jié)合不等式基本性質(zhì)完成題目。

二、 高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想研究不等式的基本流程

在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生要掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方式，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)解題工具的優(yōu)勢，合理證明相關(guān)題目，并且構(gòu)建完整的函數(shù)關(guān)系，有效研究函數(shù)的單調(diào)性，從而快速解決不等式的問題。

第一，要建構(gòu)新的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合題目中相關(guān)數(shù)據(jù)信息，完善題目解答思路，并且構(gòu)造F（x）函數(shù)。

第二，學(xué)生要借助導(dǎo)數(shù)對其單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分析，合理判定函數(shù)的關(guān)系，從而將單調(diào)性基本性質(zhì)應(yīng)用在題目解答中，不僅能提高題目解答的效率，也能一定程度上提高解答準(zhǔn)確性，確保后續(xù)討論過程能滿足實(shí)際關(guān)系。也就是說，學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)F（x）后，就要對函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間予以判定。

第三，要對定義域予以分析，合理判定F（x）和0之間的關(guān)系，確保能有序開展不等式證明，完善數(shù)據(jù)分析效果和判定結(jié)構(gòu)，確保能在優(yōu)化定義域的基礎(chǔ)上得出最終的答案。

三、 高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想研究不等式的具體應(yīng)用

在掌握了基礎(chǔ)性解答流程后，在實(shí)際計(jì)算過程中，就要結(jié)合題目的基本信息和要點(diǎn)，按照標(biāo)準(zhǔn)化要求對題目中的關(guān)系進(jìn)行梳理，確保能第一時(shí)間找到解題要點(diǎn)，從而形成良好的解題思路，確保答案的準(zhǔn)確性。

【例1】已知f（x）=alnxx+1+bx，在點(diǎn)（1，f（1））外的切線方程為x+2y-3=0，

（1）求a和b的值；

（2）對任意x>0，且x≠1，則f（x）>lnxx-1+kx恒成立，解實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：本文主要講解導(dǎo)數(shù)思想下研究不等式，故a和b求解不過于贅述，a、b均為1。將a、b代入到函數(shù)中得出f（x）=lnxx+1+1x，因此，對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變可得出f（x）-lnxx-1+kx=11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x，假設(shè)函數(shù)h（x）為2lnx+（k-1）（x2-1）x，其中x大于零，則能判定出h′（x）=（k-1）（x2+1）+2xx2就能對k的具體數(shù)值進(jìn)行分類討論。

反思：結(jié)合本題目能對相關(guān)數(shù)據(jù)和信息進(jìn)行分析判定，在構(gòu)建新函數(shù)的過程中，要結(jié)合題目中的具體要求，并且巧妙應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算過程和基本運(yùn)算法則，在及時(shí)觀察的基礎(chǔ)上，構(gòu)造更加貼合題目要求的函數(shù)關(guān)系，確保能直觀判定出函數(shù)的單調(diào)性，為不等式證明過程的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

【例2】定義在區(qū)間x∈0，π2上的函數(shù)f（x）使不等式f′（x）cosx+f（x）sinx>0恒成立，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)。求證：f（0）<2f-π4。

解析：這是一道較為典型的證明題，結(jié)合相關(guān)信息證明不等式。

首先，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）任意x滿足x∈0，π2且符合f′（x）cosx+f（x）sinx>0，所以，可以假設(shè)為f′（x）cosx+f（x）sinx=f′（x）cosx-f（x）（cosx）′，就能構(gòu)造出符合題目要求的函數(shù)為g（x）=f（x）cosx，且函數(shù)滿足x∈0，π2，能得出g′（x）=f′（x）cosx+f（x）sinxcos2x>0，需要注意的是，此時(shí)的g（x）=f（x）cosx在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增情況，則能判定出g（x）=f（x）cosx為偶函數(shù)，將數(shù)值代入后就能得出：g-π4=gπ4=2fπ4=2f-π4>g（0）=f（0），則能證明題目中要求的f（0）<2f-π4。

反思：結(jié)合題目不難發(fā)現(xiàn)，要想合理解答導(dǎo)數(shù)證明不等式的題目，就要對新函數(shù)構(gòu)造過程予以分析，確保相應(yīng)數(shù)據(jù)判定過程的有效性，能夠結(jié)合具體數(shù)值對區(qū)間內(nèi)單調(diào)性予以判定，合理分析基礎(chǔ)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，最終對相關(guān)不等式進(jìn)行集中證明和分析。另外，教師要想引導(dǎo)學(xué)生順利解答相應(yīng)的證明題目，不僅僅要引導(dǎo)學(xué)生建立思維關(guān)系，也要確保學(xué)生能在很多數(shù)據(jù)和信息中搜索出更加具有導(dǎo)數(shù)普適性的關(guān)鍵點(diǎn)，以保證解題效果符合要求。

【例3】已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），其中，b>a>0，若y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)s、t，s

解析：在對函數(shù)不等式進(jìn)行分析和判定的過程中，要將求解的方程或者是不等式設(shè)定為新函數(shù)，從而完成一階導(dǎo)數(shù)分析。對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解后發(fā)現(xiàn)，f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，若是導(dǎo)數(shù)上取得極值，則證明f′（x）在x=s，x=t上均存在零點(diǎn)，若是f′（s）=f′（t）=0，且f′（0）=ab>0則意味著整個(gè)函數(shù)在（-∞，0）區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的情況，而在（b，∞）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，那么就有一點(diǎn)使得f′（x）=0，加之f′（a）<0，f′（b）>0則在a，b區(qū)間內(nèi)存在f′（x）=0，且拋物線就存在兩個(gè)根，可證明0

反思：本題對于單調(diào)性的應(yīng)用較多，要在構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)上對單調(diào)性予以分析和判定，需要教師結(jié)合題目對學(xué)生應(yīng)用知識的能力予以判定，合理性優(yōu)化相關(guān)參數(shù)結(jié)構(gòu)后，對目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行梳理，從而證明題目中的關(guān)系。

四、 結(jié)束語

總而言之，在對高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想進(jìn)行分析和講解的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，有效落實(shí)系統(tǒng)化教學(xué)結(jié)構(gòu)和教學(xué)機(jī)制，保證學(xué)生和教師之間能形成有效的互動，指導(dǎo)學(xué)生更好地完成不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能靈活應(yīng)用相關(guān)知識。教師要結(jié)合高考中的相關(guān)考試要點(diǎn)，開展模塊化復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高學(xué)生對知識內(nèi)容的內(nèi)化能力，解決具體問題的基礎(chǔ)上，順利迎接高考并且取得好成績。

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作者簡介：

趙明浩，牟文君，重慶市，重慶市楊家坪中學(xué)。