安徽蕪湖市教育科學(xué)研究所（241000）

安徽省蕪湖市利民路小學(xué)汪宏執(zhí)教的“多邊形的內(nèi)角和”一課，榮獲了全國小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會第十三屆課堂教學(xué)觀摩評比一等獎。這節(jié)課就是憑借學(xué)生在課堂中“真思考”、“真探究”，贏得了全場教師、專家評委的贊譽(yù)。下面就對這節(jié)課進(jìn)行深入剖析。

一、以“問題”為基點(diǎn)，激發(fā)探究的欲望

“問題”的設(shè)置直接影響學(xué)生思考的方向。以“問題”為牽引的教學(xué)，能順利地激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

“多邊形的內(nèi)角和”導(dǎo)入環(huán)節(jié)：

師（出示一組三角形（如圖1））：這組三角形有什么不同點(diǎn)？又有什么相同點(diǎn)？

（學(xué)生暢所欲言）

圖1

師（提煉學(xué)生感受）：每個三角形的內(nèi)角大小不一樣，但每個三角形的內(nèi)角和都是180°，變中有不變，圖形真奇妙。

師（出示一組四邊形（如圖2））：這組圖中存在‘變中有不變’的現(xiàn)象嗎？（直接揭示四邊形各內(nèi)角與內(nèi)角和的關(guān)系）

圖2

（學(xué)生幾乎都能感受到：雖然這組四邊形各內(nèi)角不相等，但每個四邊形的內(nèi)角和都是一樣的——360°）

師：這兩組圖形都存在“變中有不變”的現(xiàn)象，對此你有怎樣大膽的猜測呢？

（學(xué)生自然會猜想“五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和是否是個定值，如果是定值，又是多少？”從而燃起探究的欲望）

汪老師設(shè)置的三個問題，以學(xué)生的認(rèn)知為基礎(chǔ)，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生在體會“變中有不變”數(shù)學(xué)思想的同時，產(chǎn)生了探究多邊形內(nèi)角和的強(qiáng)烈欲望。

二、以“嘗試”為基點(diǎn)，體驗(yàn)探究的歷程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）有關(guān)“目標(biāo)”的描述特別強(qiáng)調(diào)過程性行為動詞“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”，這三個行為動詞，都是在探究活動中發(fā)生的，為的是讓學(xué)生在活動中獲得不同層次的認(rèn)識。

“多邊形的內(nèi)角和”這一課中設(shè)計(jì)了讓學(xué)生獨(dú)立完成探究五邊形內(nèi)角和這一環(huán)節(jié)，這是建立在學(xué)生已經(jīng)獲得了探究三角形和四邊形內(nèi)角和經(jīng)驗(yàn)之上的。學(xué)生已有的研究方法是測量、剪拼、分割，因此，他們在探究五邊形內(nèi)角和時能準(zhǔn)確地選擇分割法，而且呈現(xiàn)的方法是多樣的。

學(xué)生研究的結(jié)果（如圖3）：

圖3

在課堂教學(xué)中，只有充分相信學(xué)生，給學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立嘗試的時間和空間，教師不“越位”，學(xué)生才能“到位”，才能充分開動腦筋，充分經(jīng)歷探究的過程。

三、以“分類”為基點(diǎn)，尋求探究的目標(biāo)

“分類”的數(shù)學(xué)思想就是把研究對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，從而解決問題，其實(shí)質(zhì)是把問題分而治之，各個擊破，綜合歸納。因此，分類討論是培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考的良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一種重要而有效的方法。

“多邊形的內(nèi)角和”這一課設(shè)計(jì)了“分類”這一環(huán)節(jié)，即把研究五邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法進(jìn)行分類，標(biāo)準(zhǔn)不同分類結(jié)果也不同（如圖4）：只有三角形一種圖形的為一類，不僅僅含有三角形的為一類。

圖4

學(xué)生喜歡這種分類的原因是研究后兩個的五邊形只用畫一條輔助線，簡單。

汪老師及時給出另一組圖形（如圖5)讓學(xué)生討論。

圖5

學(xué)生在討論中得出，之前所想的分類方法不是解決多邊形內(nèi)角和的一般方法，于是找到了探究的目標(biāo)——找到解決多邊形內(nèi)角和通用的方法，自然回歸到第一種方法：只有一種簡單的基本圖形——三角形這一類值得研究?！暗谝活惖姆椒ㄖ幸灿卸喾N情況，哪種情況才是一般方法呢？”汪老師話鋒一轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的變化，自然過渡到下一個環(huán)節(jié)的教學(xué)。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在經(jīng)歷分類探索活動的過程中，以分類為“基點(diǎn)”，體會“分類”的數(shù)學(xué)思想，明確探究目標(biāo)：找出求多邊形內(nèi)角和的一般方法。

四、以“觀察”為基點(diǎn)，化歸探究的結(jié)果

觀察是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺活動。培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，旨在讓學(xué)生通過觀察，分析事物之間的關(guān)系，提高學(xué)生的分析、思考、概括、歸納能力。

“多邊形的內(nèi)角和”這一課設(shè)計(jì)了幾何圖形“動點(diǎn)”的移動這一環(huán)節(jié)（如圖6）。

圖6

隨著“動點(diǎn)”的移動，“動點(diǎn)”的位置發(fā)生變化，圖形也發(fā)生變化。

第一次移動，“動點(diǎn)”在五邊形內(nèi)任意移動（如圖7）。汪老師問：“這時怎樣求五邊形的內(nèi)角和？”學(xué)生觀察后回答：“用5個三角形的內(nèi)角和減去1個周角?！?/p>

圖7

圖8

圖9

第二次移動，“動點(diǎn)”移至五邊形的邊上（如圖8）。汪老師問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生回答：“動點(diǎn)移至邊上，五邊形的內(nèi)角和是4個三角形的內(nèi)角和減去1個平角。”汪老師接著問：“你還想把動點(diǎn)移到哪里？又發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生聽了都躍躍欲試，都想把“動點(diǎn)”移至五邊形的各頂點(diǎn)處（如圖9），這樣五邊形的內(nèi)角和就是3個三角形的內(nèi)角和了。

通過移動“動點(diǎn)”，讓學(xué)生在觀察中思考，在思考中歸納，得出：“動點(diǎn)”位置越特殊，解決問題的方法越簡單。學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想下，欣賞著圖形變化之美的同時順利找出解決問題的一般方法。

五、以“推理”為基點(diǎn)，建立探究的模型

圖10

“歸納推理”是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。

“多邊形的內(nèi)角和”這一課采用了不完全歸納法（如圖10）。

在填寫表格的過程中，學(xué)生找出了多邊形的邊數(shù)與含有三角形個數(shù)之間的關(guān)系，合情推理出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算模型為（n-2)×180°。

推理思想、模型思想在當(dāng)今信息化、數(shù)字化和大數(shù)據(jù)時代得到了進(jìn)一步的重視。本課以“推理”為基點(diǎn)，探究多邊形內(nèi)角和的一般公式“（n-2)×180°”，從而建立數(shù)學(xué)模型。這一把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程就是一個從直觀到抽象的過程。

六、以“聯(lián)想”為基點(diǎn)，延續(xù)探究的激情

“聯(lián)想”屬于想象的一種，由一個事物想到另一個事物，聯(lián)想依附于橫向思維、縱向思維和發(fā)散性思維。

“多邊形的內(nèi)角和”的結(jié)課階段，汪老師出示五邊形（如圖11）。

圖11

王老師問：“你認(rèn)為凹五邊形的內(nèi)角和與凸五邊形的內(nèi)角和一樣嗎？怎樣探究？”再出示凹十二邊形（如圖12），“凹多形的內(nèi)角和是否與凸多邊形的內(nèi)角和一樣呢？”

圖12

探究了凸多邊形的內(nèi)角和后，再出示凹多邊形的兩幅圖，很容易使學(xué)生從凸多邊形的內(nèi)角和探究的過程和結(jié)果聯(lián)想到凹多邊形的內(nèi)角和探究的過程和結(jié)果，甚至聯(lián)想到凸多邊形和凹多邊形外角和的情況。學(xué)生通過知識的正向遷移，產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，延續(xù)了探究的激情，拓展了思維。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)自主探索的學(xué)習(xí)方式，需要以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，只有抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)生長點(diǎn)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能讓學(xué)生真思考、真探究。