☉山東省沂南縣第四中學(xué) 李樹臣

☉山東省榮成第二實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”，十大“核心概念”是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成因素.統(tǒng)計(jì)與概率方面的內(nèi)容主要承載著形成與發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識等“核心概念”的任務(wù)，這對于培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的作用.

解答統(tǒng)計(jì)與概率方面的問題，首先就是通過閱讀題目，獲取盡可能多的信息，然后利用這些信息進(jìn)行解答.學(xué)生獲取數(shù)據(jù)信息的能力是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率方面的知識、解答與之相關(guān)問題的重要基礎(chǔ).

在各地的中考試卷中，有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的考題都占有一定的比例，各種題型都有，給出信息的方式眾多.仔細(xì)閱讀、分析2018年各地關(guān)于統(tǒng)計(jì)與概率部分的中考題發(fā)現(xiàn)，考題中給出信息的方式主要有以下八種類型，我們結(jié)合具體題目加以分析（所選題目均為2018年各地中考數(shù)學(xué)試題）：

一、用文字語言給出

案例1：（湖南婁底）從2018年高中一年級學(xué)生開始，湖南省全面啟動高考綜合改革，學(xué)生學(xué)習(xí)完必修課程后，可以根據(jù)高校相關(guān)專業(yè)的選課要求和自身興趣、志向、優(yōu)勢，從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中，自主選擇3個(gè)科目參加等級考試.學(xué)生A已選物理，還從思想政治、歷史、地理3個(gè)文科科目中選1科，再從化學(xué)、生物2個(gè)理科科目中選1科.若他選思想政治、歷史、地理的可能性相等，選化學(xué)、生物的可能性相等，則選修地理和生物的概率為______.

解：畫樹狀圖，如圖1所示：

由圖1可知，學(xué)生A從政治、歷史、地理中先選1科，再從化學(xué)、生物中選1科，共有6種等可能的結(jié)果，其中選修地理和生物的只有1種結(jié)果，所以選修地理和生物的概率為

點(diǎn)評：本題以學(xué)生選課為背景，與學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)密切相關(guān)，主要考查學(xué)生用列表或畫樹狀圖的方法求概率的能力，解答的關(guān)鍵是閱讀題目，理解題意，正確找出先“從政治、歷史、地理中選1科”，再“從化學(xué)、生物中選1科”的所有可能情況，并找出選修地理和生物學(xué)科的情況數(shù).用列表法或畫樹狀圖法求概率適合于兩步完成的事件.解答的關(guān)鍵是，首先通過列表或畫樹狀圖不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，找到總數(shù)量及欲求情況的數(shù)量，然后根據(jù)概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求出答案.

圖2

二、用平面圖形給出

案例2：（甘肅白銀）如圖2，在正方形方格中，陰影部分是涂黑3個(gè)小正方形所形成的圖案.

（1）如果將一粒米隨機(jī)地拋在這個(gè)正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？

（2）現(xiàn)從方格內(nèi)空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2個(gè)涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率.

解：（1）觀察圖2，發(fā)現(xiàn)正方形網(wǎng)格被分成9等份，其中陰影部分面積占其中的3份，所以米粒落在陰影部分的概率是

（2）把從A、B、C、D、E、F中任取2個(gè)涂黑的情況列表（如表1）：

表1

由表1可知，共有30種等可能結(jié)果，其中是軸對稱圖形的有10種，故新圖案是軸對稱圖形的概率為

點(diǎn)評：本題是計(jì)算概率的問題，問題中的關(guān)鍵信息“隱含”在平面圖形中.解答（1）的關(guān)鍵是觀察圖形，找出總份數(shù)和陰影部分的份數(shù)；解答（2）的關(guān)鍵是列出“從A、B、C、D、E、F中任取2個(gè)涂黑”的所有情況，再結(jié)合圖形判斷出是軸對稱圖形的情況數(shù).

三、用表格給出

案例3：（臺灣）一個(gè)箱子內(nèi)有4顆相同的球，將4顆球分別標(biāo)示號碼1、2、3、4，今翔翔以每次從箱子內(nèi)取1顆球且取后放回的方式抽取，并預(yù)計(jì)取球10次，現(xiàn)已取了8次，取出的結(jié)果如表2所示：

表2

若每次取球時(shí)，任一顆球被取到的機(jī)會皆相等，且取出的號碼即為得分，請回答下列問題：

（1）請求出第1次至第8次得分的平均數(shù).

（2）承（1），翔翔打算依計(jì)劃繼續(xù)從箱子里取球2次，請判斷是否可能發(fā)生“這10次得分的平均數(shù)不小于2.2，且不大于2.4”的情形.若有可能，請計(jì)算出發(fā)生此情形的機(jī)率，并完整寫出你的解題過程；若不可能，請完整說明你的理由.

（2）因?yàn)檫@10次得分的平均數(shù)不小于2.2，且不大于2.4，所以這10次得分之和不小于22，且不大于24，而前8次的得分之和為20，所以后兩次的得分之和應(yīng)不小于2，且不大于4.后兩次摸球得分的情況如表3所示：

表3

可見一共有16種情況，其中得分之和“不小于2，且不大于4”的有6種結(jié)果，所以后兩次的得分“不小于2，且不大于4”的機(jī)率為

點(diǎn)評：本題第（1）問根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義列式計(jì)算可得；第（2）問需要先根據(jù)這10次得分的平均數(shù)不小于2.2，且不大于2.4，得出后兩次得分的范圍，然后用列表法表示出所有等可能的結(jié)果，并從中找出“不小于2，且不大于4”的結(jié)果數(shù)，最后利用概率公式計(jì)算可得答案.

解答時(shí)根據(jù)“這10次得分的平均數(shù)不小于2.2，且不大于2.4”推出“這10次得分之和不小于22，且不大于24”，結(jié)合前8次的得分之和為20，得到“后兩次的得分之和應(yīng)不小于2，且不大于4”是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要正確理解“不小于、不大于”的含義.

四、用折線統(tǒng)計(jì)圖和表格給出

案例4：（山東菏澤）為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某中學(xué)利用“陽光大課間”，組織學(xué)生積極參加豐富多彩的課外活動，學(xué)校成立了舞蹈隊(duì)、足球隊(duì)、籃球隊(duì)、毽子隊(duì)、射擊隊(duì)等，其中射擊隊(duì)在某次訓(xùn)練中，甲、乙兩名隊(duì)員各射擊10發(fā)子彈，成績用如圖3所示的折線統(tǒng)計(jì)圖表示：（甲為實(shí)線，乙為虛線）

圖3

（1）依據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，得到表4：

表4

其中a=______，b=______；

（2）甲成績的眾數(shù)是______環(huán)，乙成績的中位數(shù)是______環(huán)；

（3）請運(yùn)用方差的知識，判斷甲、乙兩人誰的成績更穩(wěn)定；

（4）該校射擊隊(duì)要參加市組織的射擊比賽，已預(yù)選出2名男同學(xué)和2名女同學(xué)，現(xiàn)要從這4名同學(xué)中任意選取2名同學(xué)參加比賽，請用列表或畫樹狀圖法，求出恰好選到1男1女的概率.

解：（1）觀察折線統(tǒng)計(jì)圖，可知a=8，b=7.

（2）甲射擊10次的成績中次數(shù)最多的是8環(huán)，所以甲成績的眾數(shù)是8環(huán)；乙射擊10次的成績重新排列為：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10，則乙成績的中位數(shù)為所以甲成績的方差為6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2］=1.2（環(huán)），乙成績的平均數(shù)為（環(huán)），所以乙成績的方差為［（6-8）2+4×（7-8）2+（8-8）2+2×（9-8）2+2×（10-8）2］=1.8（環(huán)），可見，甲的成績更穩(wěn)定.

（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，從4名學(xué)生中選派2名的情況如表5所示：

表5

顯然共有12種等可能的結(jié)果，其中一男一女的有8種，所以所求概率

點(diǎn)評：本題以甲、乙兩名隊(duì)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練為背景，把兩名隊(duì)員各射擊10發(fā)子彈的成績用折線圖和表格的形式給出.第（1）題要求學(xué)生直接寫出表格中a、b的值，這兩個(gè)值隱含在折線圖中，觀察可得.第（2）題求甲10次射擊成績的眾數(shù)，只要找出10個(gè)成績中出現(xiàn)最多的一個(gè)數(shù)即可；求乙10次射擊成績的中位數(shù)，需要把這10個(gè)成績按照從小到大的順序排列起來，求中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).第（3）題判斷甲、乙兩人誰的成績更穩(wěn)定，正確計(jì)算出甲、乙兩人10次成績的方差是關(guān)鍵.第（4）題用列表法表示出從2名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出2名同學(xué)的所有情況，并找出1男1女的情況是計(jì)算概率的關(guān)鍵.

五、用圖表和條形圖給出

案例5：（湖北潛江）在2018“新技術(shù)支持未來教育”的教師培訓(xùn)活動中，會議就“面向未來的學(xué)校教育、家庭教育及實(shí)踐應(yīng)用演示”等問題進(jìn)行了互動交流，記者隨機(jī)采訪了部分參會教師，對他們發(fā)言的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表（如表6）和條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖4）.

表6

圖4

請你根據(jù)所給的相關(guān)信息，解答下列問題：

（1））本次共隨機(jī)采訪了______名教師，m=______；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）已知受訪的教師中，E組只有2名女教師，F(xiàn)組恰有1名男教師，現(xiàn)要從E組、F組中分別選派1名教師寫總結(jié)報(bào)告，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求所選派的2名教師恰好是1男1女的概率.

解：（1）由圖4知C組共有15名，從表格中可知C組人數(shù)占25%，所以本次共隨機(jī)采訪了15÷25%=60（名），m=100-10-20-25-30-10=5.

（2）D組教師有：60×30%=18（名），F(xiàn)組教師有：60×5%=3（名），補(bǔ)全后的統(tǒng)計(jì)圖如圖5所示：

圖5

（3）E組共6名教師，4男2女，F(xiàn)組有3名教師，1男2女，從E組、F組中分別選派1名教師的情況用樹狀圖表示，如圖6所示：

圖6

顯然共有18種可能，而1男1女的有10種情況，所以所求概率

點(diǎn)評：本題以“教師發(fā)言”次數(shù)為背景，把發(fā)言次數(shù)用不完整的表格和條形統(tǒng)計(jì)圖給出，需要求的一些數(shù)據(jù)隱含在表格和條形統(tǒng)計(jì)圖中，學(xué)生只要認(rèn)真閱讀題目，從表格和條形統(tǒng)計(jì)圖中獲取有關(guān)的信息就能順利解答.解答第（1）題的關(guān)鍵是從圖4中得到C組共有15名教師，從表格中發(fā)現(xiàn)C組人數(shù)占25%；第（2）題補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖的前提是先求出D組和F組的教師數(shù)；解答第（3）題首先要求出E組和F組的教師數(shù)，然后正確畫出樹狀圖.

六、用扇形和條形統(tǒng)計(jì)圖給出

案例6：（天津）某養(yǎng)雞場有2500只雞準(zhǔn)備對外出售.從中隨機(jī)抽取了一部分雞，根據(jù)它們的質(zhì)量（單位：kg），繪制出圖7和圖8.請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

圖7

圖8

（1）圖7中m的值為______；

（2）求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這2500只雞中質(zhì)量為2.0kg的約有多少只.

解：（1）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28.

（2）觀察條形統(tǒng)計(jì)圖.

在這組數(shù)據(jù)中，1.8出現(xiàn)了16次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.8.

將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是1.5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1.5.

（3）因?yàn)樵谒槿〉臉颖局?，質(zhì)量為2.0kg的數(shù)量占8%，所以由樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這2500只雞中質(zhì)量為2.0kg的數(shù)量約占8%，有2500×8%=200（只）.所以這2500只雞中質(zhì)量為2.0kg的約有200只.

點(diǎn)評：用樣本的情況來估計(jì)總體是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的目的之一，最近幾年各地的中考題中經(jīng)常提供一個(gè)與學(xué)習(xí)生活或家庭生活有關(guān)的問題情境，從中抽取一個(gè)樣本，把對樣本的調(diào)查結(jié)果用不完整的表格、條形圖或扇形統(tǒng)計(jì)圖給出，讓學(xué)生們根據(jù)它們提供的部分信息求解有關(guān)的問題.

本題以“養(yǎng)雞”為背景，主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義及利用樣本估計(jì)總體等知識.解答本題的前提是認(rèn)真觀察給定的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，從中獲取有關(guān)的信息.解答（1）時(shí)利用“五類情況的和等于1”計(jì)算；解答（2）時(shí)理解“三數(shù)”的意義是關(guān)鍵；解答（3）的關(guān)鍵是從圖7中找出“質(zhì)量為2.0kg的數(shù)量占8%”.

七、用頻數(shù)分布直方圖和表格給出

案例7：（北京）某年級共有300名學(xué)生.為了解該年級學(xué)生A、B兩門課程的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成績的頻數(shù)分布直方圖如圖9所示（數(shù)據(jù)分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

圖9

b.A課程成績在70≤x＜80這一組的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A、B兩門課程成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表7所示：

表7

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在此次測試中，某學(xué)生的A課程成績?yōu)?6分，B課程成績?yōu)?1分，這名學(xué)生成績排名更靠前的課程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假設(shè)該年級學(xué)生都參加此次測試，估計(jì)A課程成績超過75.8分的人數(shù).

解：（1）共有60個(gè)學(xué)生參加測試，中位數(shù)是第30個(gè)數(shù)和第31個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即=78.75.

（2）該學(xué)生A課程成績?yōu)?6分，小于A課程樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)78.75，說明A課程成績在后30名，而B課程成績?yōu)?2分，大于B課程樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)70，說明B課程成績在前30名.

（3）抽取的60名學(xué)生中，A課程成績超過75.8分的人數(shù)為36，所以×300=180（人）.

答：該年級學(xué)生都參加測試，估計(jì)A課程成績超過75.8分的人數(shù)為180.

點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)有中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體.有關(guān)的信息隱含在頻數(shù)分布直方圖和表格中.認(rèn)真閱讀頻數(shù)分布直方圖，從中獲取數(shù)據(jù)信息是解答本題的關(guān)鍵.對于第（1）題來說，通過觀察直方圖，前三組中已有2+6+12=20（個(gè)）數(shù)據(jù)，這60個(gè)數(shù)據(jù)中的第30個(gè)和31個(gè)都在70≤x＜80組中，分別是78.5和79，這是求m的重要前提.第（2）題只要利用A、B兩課程樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出該學(xué)生A課程成績在中位數(shù)后，而B課程成績在中位數(shù)前即可.解答（3）的關(guān)鍵是通過觀察直方圖，得到A課程成績在80≤x＜90、90≤x≤100的人數(shù)分別是18、8； 借助信息b得到在75.8＜x＜80范圍內(nèi)的人數(shù)為10，從而得到超過75.8分的有36人.

八、用扇形圖和頻數(shù)直方圖給出

案例8：（安徽）“校園詩歌大賽”結(jié)束后，張老師和李老師將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖10）和頻數(shù)直方圖（如圖11）.部分信息如下：

圖10

圖11

（1）本次比賽參賽選手共有______人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“69.5～79.5”這一組人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的百分比為______；

（2）賽前規(guī)定，成績由高到低前60%的參賽選手獲獎，某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，試判斷他能否獲獎，并說明理由；

（3）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為獲獎代表發(fā)言，試求恰好選中1男1女的概率.

解：（1）5÷10%=50，所以本次比賽參賽選手共有50人，“89.5～99.5”這一組人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的百分比為（8+4）÷50×100%=24%，所以“69.5～79.5”這一組人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的百分比為1-10%-36%-24%=30%.

（2）他不能獲獎.理由如下：他的成績位于“69.5～79.5”這一組，而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”兩分?jǐn)?shù)段的百分比為10%+30%=40%，因?yàn)槌煽冇筛叩降颓?0%的參賽選手獲獎，他位于后40%，所以他不能獲獎.

（3）畫樹狀圖（如圖12）：

圖12

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好選中1男1女的概率

點(diǎn)評：本題把“參賽選手的比賽成績”進(jìn)行整理，制成扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)直方圖，要求從扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)直方圖中獲取有關(guān)的信息，解答與比賽成績相關(guān)的三個(gè)問題.求（1）中參賽選手人數(shù)的關(guān)鍵是利用扇形統(tǒng)計(jì)圖中“59.5~69.5”這一組占10%，從直方圖中發(fā)現(xiàn)這一組有5人.求“69.5~79.5”這一組人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的百分比時(shí)首先應(yīng)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)直方圖求出“89.5～99.5”這一組人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的百分比，然后利用四個(gè)組的和為1進(jìn)行計(jì)算.解答第（2）題的關(guān)鍵是判斷成績?yōu)?8分的選手位于后40%.求解第（3）題的關(guān)鍵是正確畫出樹狀圖.

從前面所舉例題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)與概率方面的題目幾乎都有生活背景，涉及我們生活的方方面面，這體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)來源于生活”的真理.事實(shí)上，統(tǒng)計(jì)與概率方面內(nèi)容主要承載著《課標(biāo)（2011年版）》提出的數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識等“核心概念”的形成與發(fā)展.本部分內(nèi)容的教學(xué)中，我們要結(jié)合具體的知識點(diǎn)，加強(qiáng)利用本部分知識解決生活、學(xué)習(xí)中的實(shí)際問題的活動，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生 的應(yīng)用意識，這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程，經(jīng)歷這樣的過程，可不斷培養(yǎng)和提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).