王丕光， 趙 密， 杜修力

(1.北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.清華大學(xué) 土木工程系，北京 100084)

隨著世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，各國(guó)均投入巨資興建跨越江海的大跨度深水橋梁工程，我國(guó)已經(jīng)修建的大規(guī)模的跨江跨海工程長(zhǎng)大橋梁中許多橋梁處于深水之中[1]。這些橋梁工程多數(shù)位于地震區(qū)，在地震作用下橋墩與周圍水體的動(dòng)力相互作用會(huì)對(duì)橋墩產(chǎn)生動(dòng)水壓力，研究表明該動(dòng)水壓力會(huì)對(duì)深水墩柱結(jié)構(gòu)和橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)產(chǎn)生較大影響[2-6]。橋梁作為生命線工程，一旦遭受地震破壞將會(huì)產(chǎn)生無(wú)法估量的后果。因此充分認(rèn)識(shí)地震作用下橋墩與周圍水體的動(dòng)力相互作用，對(duì)于新建深水高墩橋梁抗震設(shè)計(jì)和已建橋梁抗震安全評(píng)估具有重要的意義。

實(shí)際工程中，存在各種截面形式的墩柱結(jié)構(gòu)，如圓形、矩形、橢圓形和圓端形等。針對(duì)圓形橋墩，Tanaka等[7]利用解析法分析了水平地震作用下齊水面彈性圓柱體單位長(zhǎng)度上動(dòng)水壓力的附加質(zhì)量系數(shù)和阻尼系數(shù)；賴偉等[8]提出了一種圓形橋墩上地震動(dòng)水壓力的半解析半數(shù)值方法；Li等[9]提出了圓形空心橋墩上地震動(dòng)水壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式；黃信等[10-11]討論了自由表面波、水體壓縮性和水底吸收邊界對(duì)圓形橋墩地震動(dòng)水壓力的影響；杜修力等[12-13]提出了可壓縮水體條件下圓形橋墩地震動(dòng)水壓力的時(shí)域算法和時(shí)域簡(jiǎn)化公式。另外，劉振宇等[14-15]提出了矩形空心橋墩地震動(dòng)水壓力的計(jì)算公式。上述情況表明，目前對(duì)于地震作用下圓形和矩形橋墩地震與周圍水體的動(dòng)力相互作用問(wèn)題已經(jīng)取得了可供實(shí)際應(yīng)用的研究成果，但還缺乏對(duì)橢圓形和圓端形等光滑截面形式橋墩地震動(dòng)水壓力的研究。

本文針對(duì)地震作用任意光滑截面形式橋墩與周圍水體的動(dòng)力相互作用問(wèn)題，基于輻射波浪理論，根據(jù)水體控制方程和邊界條件，通過(guò)分離變量和傅里葉級(jí)數(shù)展開的方法，推導(dǎo)了任意光滑截面橋墩地震動(dòng)水壓力的解析解。

1 控制方程及邊界條件

地震作用下任意光滑截面橋墩與水體動(dòng)力相互作用的分析模型如圖1所示。假定地基為剛性，水體為無(wú)旋、無(wú)黏、可壓縮的小擾動(dòng)流體。柱坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)于墩底并以x軸正方向?yàn)棣?0°方向，橋墩表面方程為r=a(θ)，橋墩高度為H，水深為h。地面運(yùn)動(dòng)沿x方向的位移為ug，橋墩的彈性位移為us，橋墩的絕對(duì)位移為u=ug+us。柱坐標(biāo)系下，以動(dòng)水壓力p作為未知量的水體控制方程為

(1)

式中:c為聲波在水中的傳播速度，不可壓縮水體條件下1/c=0。初始時(shí)刻，水體靜止。

圖1 水中任意光滑截面橋墩分析模型Fig.1 Definition of the problem

水體底部、靜水表面、無(wú)窮遠(yuǎn)以及水體與結(jié)構(gòu)交界面邊界條件為

(2)

p=0z=h

(3)

p=0r→∞

(4)

(5)

式中:n為柱體表面任意點(diǎn)的單位外法線向量;α為n與x軸方向的夾角，則

(6)

2 動(dòng)水壓力的頻域解

地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)水體的動(dòng)水壓力和橋墩的絕對(duì)位移可以表示為

p(r,θ,z,t)=P(r,θ,z)eiωt

(7)

u(z,t)=Ueiωt=(Us+Ug)eiωt

(8)

式中:ω為結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率;Us和Ug分別為頻域下結(jié)構(gòu)的彈性位移和剛體位移。柱坐標(biāo)系下，P(r,θ,z)可分離變量為

P=R(r)Θ(θ)Z(z)

(9)

將式(7)代入控制方程式(1)，可得到三個(gè)解耦的方程

Θ″+n2Θ=0

(10)

Z″+λ2Z=0

(11)

(12)

式中:n和λ為待定系數(shù)。根據(jù)邊界條件式(2)～式(4)，可得到橋墩動(dòng)水壓力P的表達(dá)式為

(13)

將式(13)代入邊界條件式(5)并整理得

(14)

其中,

(15)

(16)

(17)

將式(14)等式兩邊同時(shí)乘以cosλz，并在區(qū)間[0,h]積分，利用特征函數(shù)cosλz的正交性可得

(18)

其中,

(19)

基于本文橋墩表面連續(xù)光滑的假定，可將函數(shù)e(θ),qjn(θ)和gjn(θ)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式。e(θ),qjn(θ)和gjn(θ)傅里葉級(jí)數(shù)展開式分別為

(20)

(21)

(22)

將式(20)～式(22)代入式(18)整理得

?

(23)

式(23)可重寫為如下矩陣的形式

NC=J

(24)

其中,

J={a0,b0,a1,b1,…}T

(25)

(26)

(27)

C=N-1J

(28)

3 動(dòng)水力及運(yùn)動(dòng)方程

地震作用下橋墩表面沿單位高度上的水平動(dòng)水力為

(29)

將式(13)代入式(29)整理得

F(z)=Fg+Fs

(30)

(31)

(32)

(33)

式中:Fg和Fs分別為地震作用下橋墩剛體運(yùn)動(dòng)和彈性運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)水力。

假定橋墩為彎曲懸臂梁，將橋墩的彈性位移Us按無(wú)水振型展開為

(34)

式中:Xi(z)為橋墩的第i階振型；Yi(ω)為第i階振型坐標(biāo)，地震作用下可按如下方程求解

-ω2MiYi(ω)+iωCiYi(ω)+KiYi(ω)=ω2UgDi+Fi

(35)

其中,

(36)

(37)

Ci=2ζiωiMi

(38)

(39)

(40)

式中:A為截面面積;ρs為橋墩質(zhì)量密度；ωi為第i振型對(duì)應(yīng)的自振頻率;ζi為相應(yīng)的阻尼比。

將式(31)和式(32)代入式(40)整理得

(41)

(42)

(43)

將式(37)、式(38)和式(41)代入式(35)整理得

(44)

將式(44)代入式(34)，通過(guò)傅里葉反變換可得到時(shí)域下橋墩的彈性位移為

(45)

4 數(shù)值算例

算例1旨在通過(guò)對(duì)剛性橋墩動(dòng)水壓力的分析以驗(yàn)證本文提出的任意光滑截面橋墩動(dòng)水壓力計(jì)算方法的精度。分別通過(guò)本文方法和ABAQUS聲固耦合方法計(jì)算單位脈沖運(yùn)動(dòng)作用下剛性橢圓形和圓端形橋墩的動(dòng)水力；對(duì)式(31)進(jìn)行傅里葉反變換可得到剛性橋墩動(dòng)水力的時(shí)域解。圖2是結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動(dòng)位移，脈沖持時(shí)0.2 s，頻譜覆蓋了地震作用頻段；圖3為算例中橋墩的截面尺寸，圖中L1和L2的值分別取為20 m和30 m；水深取為80 m，水體聲速和密度分別為1 438 m/s2和1 000 kg/m3。

(a)時(shí)程

(b)傅里葉譜幅值圖2 剛性橋墩位移時(shí)程和傅氏譜Fig.2 The time history of displacement of rigid pier and its Fourier spectrum

圖3 橋墩模型截面尺寸Fig.3 Cross-section of the piers

圖4為橋墩截面函數(shù)e(θ)的傅里葉級(jí)數(shù)展開解與精確解的比較；由圖中可以看出，精確解與傅里葉展開解吻合很好。可見，橋墩表面連續(xù)光滑函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開具有很高的精度。圖5為沿橋墩高度積分的總動(dòng)水力的本文方法與ABAQUS聲固耦合方法的比較；由圖中可以看出，兩種方法計(jì)算得到的結(jié)果一致；可見，本文方法具有很高的精度，并且避免了求解復(fù)雜的流體動(dòng)力問(wèn)題。

(a)模型1

(b)模型2

(c)模型3

(d)模型4圖4 函數(shù)e(θ)的傅里葉級(jí)數(shù)展開Fig.4 Fourier expansion of the function e(θ)

(a)模型1

(b)模型2

(c)模型3

(d)模型4圖5 橋墩總動(dòng)水力時(shí)程Fig.5 The time history of total hydrodynamic force on piers

(a)

(b)圖6 El-Centro地震波加速度時(shí)程和傅氏譜Fig.6 The time history of acceleration of El-Centro wave and its Fourier spectrum

(b) 模型4圖7 動(dòng)水力振型系數(shù)和Fig.7 The mode correlation coefficients and for the hydrodynamic force on the pier

5 結(jié) 論

本文基于流體輻射波浪理論，通過(guò)分離變量和將光滑連續(xù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的方法，推導(dǎo)了一種任意光滑截面橋墩地震動(dòng)水壓力的解析公式，并基于彎曲懸臂梁模型給出了任意光滑截面橋墩動(dòng)力反應(yīng)的求解方法。剛性橋墩的結(jié)果表明，采用本文解析公式計(jì)算的橋墩地震動(dòng)水壓力與聲固耦合數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果吻合很好，證明了任意光滑截面橋墩地震動(dòng)水壓力解析公式的正確性。彈性橋墩的結(jié)果表明，地震動(dòng)水壓力增大了橋墩的動(dòng)力反應(yīng)，并且水深與橋墩高度的比值是決定動(dòng)水壓力影響大小的一個(gè)主要因素；當(dāng)比值較大時(shí)動(dòng)水壓力對(duì)橋墩地震反應(yīng)影響較大，不可忽略，這一點(diǎn)在深水橋梁的設(shè)計(jì)中必須注意。

(a) 模型2

(b) 模型4圖8 墩頂位移時(shí)程Fig.8 The time history of displacement on top of the pier

(a) 模型2

(b) 模型4圖9 墩身峰值位移Fig.9 Peak displacement along the vertical direction