韓靜， 梁力

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模都是左模.關(guān)于Ding投射模的研究源于DING等[1]的工作,稱其為強Gorenstein平坦模.Ding內(nèi)射模的研究源于MAO等[2]的工作,稱其為Gorenstein FP-內(nèi)射模.GILLESPIE[3]進一步研究了這兩類模,并分別稱之為Ding投射模和Ding內(nèi)射模.后來,HUANG等[4]介紹并研究了強Ding投射模和強Ding內(nèi)射模.近來,MAO[5]在分次模范疇中研究了Ding投射對象和Ding內(nèi)射對象(分別稱之為Ding分次投射模和Ding分次內(nèi)射模).受以上工作的啟發(fā),本文研究分次模范疇中的強Ding投射對象和強Ding內(nèi)射對象(分別稱之為強Ding分次投射模和強Ding分次內(nèi)射模),并研究了其與Ding分次投射模和Ding分次內(nèi)射模之間的關(guān)系.同時,也給出了強Ding分次投射(內(nèi)射)模與非分次的強Ding投射(內(nèi)射)模之間的關(guān)系.

下面列出本文需要的一些概念.

設(shè)R是環(huán),G是乘法群.若R=⊕σ∈GRσ,其中Rσ是R的加法子群,對任意σ,τ∈G滿足RσRτ?Rστ,則稱R是G-分次環(huán)(簡稱分次環(huán)).設(shè)M是R-模，若M=⊕σ∈GMσ,其中Mσ是M的加法子群,對任意σ,τ∈G滿足RσMτ?Mστ,則稱M是G-分次R-模(簡稱分次R-模).

設(shè)M,N是分次R-模.記

HomR-gr(M,N)={f∈HomR(M,N) |

f(Mσ)?Nσ,σ∈G},

即HomR-gr(M,N)是分次R-模范疇中M到N的所有態(tài)射構(gòu)成的集合.

1 Ding分次投射模和Ding分次內(nèi)射模

定義1(文獻[5]定義3.1、定義4.1) 設(shè)R是分次環(huán).

(1) 如果存在一個分次投射R-模的正合列

使得M?Ker(P0→P1),且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持其正合，則稱分次R-模M是Ding分次投射的.

(2) 如果存在一個分次內(nèi)射R-模的正合列

使得M?Ker(I0→I1),且對任意分次FP-內(nèi)射R-模E,HomR-gr(E,-)保持其正合，則稱分次R-模M是Ding分次內(nèi)射的.

引理1設(shè)R是分次環(huán),0→M′→M→M″→0是分次R-模的正合列. 若M′,M″是Ding分次投射的,則M是Ding分次投射的.

證明類比文獻[6]引理3.1的證明可知，結(jié)論成立.

引理2設(shè)R是分次環(huán).當且僅當存在正合列0→M→P→N→0使得P是分次投射的且N是Ding分次投射的，則分次R-模M是Ding分次投射的.

證明“必要性”是顯然的,下證“充分性”.

設(shè)有分次R-模的正合列

(1)

(2)

使得對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(2)正合.粘接序列(1)和(2),得到分次投射R-模的正合列

(3)

且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(3)正合.另一方面,取M的分次投射分解

(4)

(5)

使得M?Ker(βα),且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(5)正合.故M是Ding分次投射的.

如果χ包含所有的分次投射模且對任意分次模的正合列0→M′→M→M″→0滿足M″∈χ,則稱分次模類χ是投射可解的,當且僅當M′∈χ時M∈χ.對偶地,可定義內(nèi)射可解的分次模類.

文獻[5]命題3.4和命題4.5證明了在分次凝聚環(huán)上Ding分次投射模類是投射可解的, Ding分次內(nèi)射模類是內(nèi)射可解的.下面證明該結(jié)果在任意分次環(huán)上均成立.

定理1設(shè)R是分次環(huán)，則Ding分次投射R-模類是投射可解的,Ding分次內(nèi)射R-模類是內(nèi)射可解的.

證明顯然Ding分次投射模類包含所有的分次投射模.考慮分次R-模的正合列0→M′→M→M″→0,其中M″是Ding分次投射的.如果M′是Ding分次投射的,那么由引理1知，M是Ding分次投射的.如果M是Ding分次投射的,那么由引理2知，存在正合列0→M→P→N→0,其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.考慮以下推出圖：

由正合列0→M″→A→N→0和引理1知,A是Ding分次投射的.考慮上圖中的第2行,由引理2知，M′是Ding分次投射的.這就證明了Ding分次投射模類是投射可解的.對偶地，可證明Ding分次內(nèi)射模類是內(nèi)射可解的.

推論1設(shè)R是分次環(huán)，則Ding分次投射R-模類和Ding分次內(nèi)射R-模類對直和因子封閉.

證明根據(jù)文獻[5]注記3.2(2)和注記4.2(2),Ding分次投射R-模類對于直和封閉, Ding分次內(nèi)射R-模類對于直積封閉,故由定理1以及Eilenberg’s swindle定理(見文獻[7]命題1.4)知，Ding分次投射R-模類和Ding分次內(nèi)射R-模類對直和因子封閉.

2 強Ding分次投射模和強Ding分次內(nèi)射模

定義2設(shè)R是分次環(huán).

(1) 如果存在一個分次投射R-模的正合列

使得M?Ker(f),且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持其正合，則稱分次R-模M是強Ding分次投射的.

(2) 如果存在一個分次內(nèi)射R-模的正合列

使得M?Ker(g),且對任意分次FP-內(nèi)射R-模E,HomR-gr(E,-)保持其正合，則稱分次R-模M是強Ding分次內(nèi)射的.

易知,強Ding分次投射R-模是Ding分次投射的,強Ding分次內(nèi)射R-模是Ding分次內(nèi)射的.

命題1設(shè)R是分次環(huán)，則以下結(jié)論成立：

(1)M是強Ding分次投射R-模當且僅當存在分次R-模的正合列

0→M→P→M→0,

(2)M是強Ding分次內(nèi)射R-模當且僅當存在分次R-模的正合列

0→M→E→M→0,

證明(1) 先證“必要性”.因為M是強Ding分次投射的,所以存在分次R-模的正合列

其中P是分次投射的,且對任意分次平坦R-模F,有HomR-gr(-,F)保持其正合,即有正合列

和

進而有正合列

是正合的.因此,M是強Ding分次投射的.

(2) 可對偶地證明.

命題2設(shè)R是分次環(huán)，則分次投射R-模是強Ding分次投射的;分次內(nèi)射R-模是強Ding分次內(nèi)射的.

證明設(shè)P是分次投射R-模.定義映射

f：P⊕P→P⊕Pviaf(x,y)=(0,x).

則f∈HomR-gr(P⊕P,P⊕P),且Ker(f)?Im(f)?P.故有分次R-模的正合列

對任意分次平坦R-模F，證明HomR-gr(-,F)保持其正合,即證明下述復(fù)形正合：

設(shè)k∈Ker(f*),則f*(k)=kf=0.故對任意y∈P，k(0,y)=kf(y,0)=0,定義映射

β：P⊕P→Fviaβ(x,y)=k(y,0),

則β∈HomR-gr(P⊕P,F).對任意x,y∈P,有

(k-βf)(x,y)=k(x,y)-βf(x,y)=

k(x,0)+k(0,y)-β(0,x)=

k(x,0)-k(x,0)=0.

故k=βf=f*(β)∈Im(f*). 說明Ker(f*)?Im(f*),即上述復(fù)形正合.從而P是強Ding分次投射的.對偶地,可證明分次內(nèi)射R-模是強Ding分次內(nèi)射的.

命題3設(shè)R是分次環(huán)，則強Ding分次投射R-模類對直和封閉,強Ding分次內(nèi)射R-模類對直積封閉.

證明設(shè)Mi是強Ding分次投射R-模，則有分次投射R-模的正合列

使得Mi?Ker(fi),且對任意分次平坦R-模F,有復(fù)形HomR-gr(Pi,F)是正合的.注意到

是分次投射模的正合列,使得⊕Mi?Ker(⊕fi),且

HomR-gr(⊕Pi,F)?∏HomR-gr(Pi,F)，

故HomR-gr(⊕Pi,F)是正合的.說明⊕Mi是強Ding分次投射的,即強Ding分次投射R-模類對直和封閉.

對偶地,可證明強Ding分次內(nèi)射R-模類對直積封閉.

以下定理給出了強Ding分次投射(內(nèi)射)模和Ding分次投射(內(nèi)射)模之間的關(guān)系.

定理2設(shè)R是分次環(huán),M是分次R-模，則以下結(jié)論成立：

(1)M是Ding分次投射的當且僅當它是強Ding分次投射R-模的直和項.

(2)M是Ding分次內(nèi)射的當且僅當它是強Ding分次內(nèi)射R-模的直和項.

證明(1) 因為強Ding分次投射R-模是Ding分次投射的,所以由推論1可證明“充分性”.下證“必要性”.

設(shè)M是Ding分次投射的,即存在分次投射R-模的正合列

其中P= …⊕P1⊕P0⊕P0⊕P1⊕…是分次投射的,f=…⊕f1⊕f0⊕f0⊕f1⊕….注意到C是正合的,且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(C,F)是正合的,故Ker(f)是強Ding分次投射的,而M?Ker(f0)是Ker(f)的直和項.

(2) 可對偶地證明.

最后,給出強Ding分次投射(內(nèi)射)模與非分次強Ding投射(內(nèi)射)模之間的關(guān)系.

設(shè)R是分次環(huán)，即指G-分次環(huán).令R-gr是分次R-模構(gòu)成的范疇,R-Mod是R-模構(gòu)成的范疇.設(shè)U：R-gr→R-Mod是遺忘函子,則U有右伴隨函子F：R-Mod→R-gr,滿足F(M)=⊕σ∈GσM,其中σM={σx：x∈M}是M的拷貝(其R-模結(jié)構(gòu)定義為： 對任意r∈Rσ,r*τx=στ(rx), 其中τx∈τM).如果f：M→N為R-模同態(tài),那么，分次態(tài)射F(f)：F(M)→F(N)定義為：F(f)(σx)=σf(x),其中x∈M,σ∈G.易知U和F是正合函子.當G為有限群時, (F,U)為伴隨對(見文獻[8]定理3.1).

定理3設(shè)R是分次環(huán)(即指G-分次環(huán))，若G是有限群,則以下結(jié)論成立：

(1) 若M是強Ding投射R-模,則F(M)是強Ding分次投射的.

(2) 若M是強Ding內(nèi)射R-模,則F(M)是強Ding分次內(nèi)射的.

(3) 若N是強Ding分次投射R-模,則U(N)是強Ding投射R-模.

(4) 若N是強Ding分次內(nèi)射R-模,則U(N)是強Ding內(nèi)射R-模.

證明(1) 設(shè)M是強Ding投射R-模，則存在R-模的正合列

其中P是投射的,使得M?Ker(f),且對任意平坦R-模Q,有HomR(P,Q)是正合的.因為F(-)是正合函子,所以存在分次R-模的正合列

使得F(M)?Ker(F(f)).因為G是有限群,所以F是U的左伴隨函子(見文獻[8]定理3.1). 故F(P)是分次投射的.對任意分次平坦R-模L,U(L)是平坦R-模，則HomR-gr(F(P),L)?HomR(P,U(L))是正合的,從而F(M)是強Ding分次投射的.

(2)設(shè)M是強Ding內(nèi)射R-模,則存在R-模的正合列

其中I是內(nèi)射的,使得M?Ker(g),且對任意FP-內(nèi)射R-模E,有HomR(E,I)是正合的. 因為F(-)是正合函子,所以存在分次R-模的正合列

使得F(M)?Ker(F(g)).由文獻[9]命題9.5 C.IV知，F(xiàn)(I)是分次內(nèi)射的.因為G是有限群, 由文獻[10]命題3.4知，對任意分次FP-內(nèi)射R-模E′,U(E′)是FP-內(nèi)射R-模.故HomR-gr(E′,F(I))?HomR(U(E′),I)是正合的.因此F(M)是強Ding分次內(nèi)射的.

(3)設(shè)N是強Ding分次投射的,則存在分次投射R-模的正合列

使得N?Ker(α),且對任意分次平坦R-模Q,有HomR-gr(P,Q)是正合的.因為U(-)是正合函子,所以有正合列

使得U(N)?Ker(U(α)),且U(P)是投射R-模.因為G是有限群,所以對任意平坦R-模L,F(L)是分次平坦的,故HomR(U(P),L)?HomR-gr(P,F(L))是正合的.因此U(N)是強Ding投射R-模.

(4) 設(shè)N是強Ding分次內(nèi)射的,則存在分次內(nèi)射R-模的正合列

使得N?Ker(β),且對任意分次FP-內(nèi)射R-模I,有HomR-gr(I,E)是正合的.因為U(-)是正合函子,所以有正合列

使得U(N)?Ker(U(β)),因為G是有限群,由文獻[11]推論2.5.2知，U(E)是內(nèi)射R-模.對任意FP-內(nèi)射R-模I′,由文獻[12]引理2.3知，F(xiàn)(I′)是分次FP-內(nèi)射的.故HomR(I′,U(E))?HomR-gr(F(I′),E)是正合的.因此U(N)是強Ding內(nèi)射R-模.