張彩紅，韓廣國(guó)，陳麗虹，張惠玲

(杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)研究所， 浙江 杭州 310018)

0 引 言

設(shè)P為由v個(gè)元素組成的有限集(其中的元素稱為點(diǎn))，B為由P的k元子集組成的集合(其元素稱為區(qū))，2-(v,k,1) 設(shè)計(jì)D=(P,B) 是由P和B構(gòu)成的二元系，滿足P中任意2元子集恰好包含在唯一的區(qū)內(nèi).k滿足2≤k

bk=vr，

bk(k-1)=v(v-1)，

且Fisher不等式b≥v[1]成立.

假設(shè)π是點(diǎn)集P的一個(gè)置換，若將D的區(qū)仍變?yōu)镈的區(qū)，則稱π是設(shè)計(jì)D的一個(gè)自同構(gòu). 記Aut(D)為D的全體自同構(gòu)組成的群. 設(shè)G≤Aut(D)，若G作用在D的區(qū)集(點(diǎn)集)上是傳遞的，則稱G是區(qū)傳遞(點(diǎn)傳遞)的. 若G作用在D的區(qū)集(點(diǎn)集)上是本原的，則稱G是區(qū)本原(點(diǎn)本原)的. 稱點(diǎn)區(qū)對(duì)(α,B) (α∈B)為設(shè)計(jì)D的旗. 若G在D的旗集合上傳遞，則稱G是旗傳遞的. 已知結(jié)果： 若G是區(qū)傳遞的，則G也是點(diǎn)傳遞的[2]; 若G是旗傳遞的，則G是點(diǎn)本原的.

在研究具有良好傳遞性的2-(v,k,1)設(shè)計(jì)時(shí)，一個(gè)很重要的問(wèn)題就是區(qū)傳遞2-(v,k,1)設(shè)計(jì)的分類.

目前，旗傳遞2-(v,k,1)設(shè)計(jì)的分類問(wèn)題已基本解決. 對(duì)于可解的區(qū)傳遞2-(v,k,1)設(shè)計(jì)，已成功實(shí)現(xiàn)對(duì)3≤k≤9的分類[3-8]，針對(duì)自同構(gòu)群為非可解群的情形，LI[9]對(duì)2-(v,4,1)設(shè)計(jì)進(jìn)行了分類，HAN等[10]對(duì)2-(v,5,1)設(shè)計(jì)進(jìn)行了成功分類. 經(jīng)國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷努力，區(qū)傳遞2-(v,k,1)設(shè)計(jì)的分類問(wèn)題取得了豐富成果[3-19].

本文討論非可解的區(qū)傳遞2-(v,6,1)設(shè)計(jì)，得到：

定理設(shè)D為2-(v,6,1)設(shè)計(jì)，其自同構(gòu)群G≤Aut(D)是區(qū)傳遞、點(diǎn)本原但非旗傳遞的. 若v為奇數(shù)，則G的基柱Soc(G)不是有限域GF(q)上的典型單群PSpn(q).

1 預(yù)備知識(shí)

本文中的典型單群是指辛群PSpn(q). 記V為定義在有限域GF(q)上的n維向量空間，這里q=pf，p為素?cái)?shù). 因?yàn)镻Sp2(q)=PSL2(q)，該單群放在PSLn(q)中處理，故約定n≥4. 本文采用文獻(xiàn)[20]的術(shù)語(yǔ)和符號(hào).

引理1[17]設(shè)D是2-(v,k,1)設(shè)計(jì)，且G≤Aut(D)為區(qū)傳遞的. 若k|v，則G是旗傳遞的.

引理2[10]設(shè)G是點(diǎn)集P上的傳遞置換群，T≤G≤Aut(T)，記Γ為G的次軌道，則Γ為T的某些等長(zhǎng)的次軌道的并.

引理4[14]設(shè)D為區(qū)傳遞的2-(v,k,1)設(shè)計(jì)，D的自同構(gòu)群G是幾乎單群，且G的基柱T為李型單群，若T∩Gα為T的拋物子群，則G是旗傳遞的.

2 定理的證明

設(shè)D,G滿足定理?xiàng)l件，以下用反證法證明定理. 設(shè)G的基柱Soc(G)為典型單群PSpn(q). 方-李參數(shù)的定義[16]如下：

kv=(k,v)，kr=(k,r)=(k,v-1)，

bv=(b,v)，br=(b,r)=(b,v-1).

文獻(xiàn)[16]證明了以下不等式：

k=kvkr，b=bvbr，v=kvbv，r=krbr.

接下來(lái)證明設(shè)計(jì)D的一些性質(zhì)，該性質(zhì)在下文的證明中將起到至關(guān)重要的作用.

命題1設(shè)D,G滿足定理?xiàng)l件，且Tα=T∩Gα(α∈P)，則以下性質(zhì)成立：

性質(zhì)1v=1+30br或v=1+10br；

性質(zhì)5若(v-1,q)=1，則Tα具有非平凡軌道Γ，其長(zhǎng)度y滿足y||Tα|P′.

k(k-1)b=v(v-1)，

再利用方-李參數(shù)，可得

kr(k-1)br=v-1，

所以有

v=1+kr(k-1)br.

因?yàn)镚是非旗傳遞的，根據(jù)Camina-Gagen定理[17]可得6|/v，故kv=1或2或3. 又因?yàn)?kr,kv)=1且k=krkv，所以kr分別為6或3或2.

當(dāng)kv=1時(shí)，v=1+30br，v為奇數(shù)；當(dāng)kv=2時(shí)，v為偶數(shù)，與定理?xiàng)l件不符；當(dāng)kv=3時(shí)，代入可得v=1+10br，v為奇數(shù).

綜上，v=1+30br或v=1+10br.

性質(zhì)2的證明假設(shè)Γ1是T的任意一個(gè)非平凡次軌道，Γ是G的包含Γ1的次軌道，x與λ分別表示Γ1和Γ的長(zhǎng)度，由引理2可知λ≤x|GG∶T|，又由文獻(xiàn)[9]引理2.1可得br|λ，所以br≤λ≤x|G∶T|.

當(dāng)v=1+30br時(shí)，若br>1，有

若br=1，因?yàn)棣?是T的非平凡次軌道，所以有br<λ≤x|G∶T|，從而有

其余類似證明.

性質(zhì)3的證明設(shè)Δ1和Δ2是T的任意2個(gè)非平凡次軌道，Γ1和Γ2為G的2個(gè)非平凡次軌道，且Δ1?Γ1(α∈P)，令x，y，λ1和λ2分別表示Δ1，Δ2，Γ1和Γ2的長(zhǎng)度，則由引理 2可知

λ1=t1x，λ2=t2y，

這里t1，t2是|G∶T|的因子.

性質(zhì)4的證明設(shè)B={1,2,…,6}為D的一個(gè)區(qū)，則子群GB的結(jié)構(gòu)、群G的秩和次軌道的以下2種情形不成立：

GB的結(jié)構(gòu)G的秩 次軌道

或

GB的結(jié)構(gòu)G的秩 次軌道

否則，由文獻(xiàn)[4]的結(jié)果可得G的階為奇數(shù)(因GB的階為奇數(shù))，故G的最長(zhǎng)次軌道的長(zhǎng)度λ≥2br. 由引理 2可知性質(zhì)4成立.

性質(zhì)5的證明由文獻(xiàn)[10]的結(jié)果可知性質(zhì)5成立.

因?yàn)镚為點(diǎn)本原，而且v=1+30br或v=1+10br為奇數(shù)，故G為奇數(shù)次本原群. 由奇數(shù)次本原群分類定理[21]得G的基柱H=Gα(α∈P)為下列情形之一：

(1) 若q為偶數(shù)，則H∩T是T的拋物子群.

若q為奇數(shù)，則下列(2)～(4)之一成立：

(3)H為V的非奇異子空間的穩(wěn)定化子.

(4)T∩H為V的直和分解V=⊕Vi的穩(wěn)定化子，其中Vi相互等距，且dim(Vi)是一常數(shù).

接下來(lái)，將情形(1)～(4)一一排除.

命題1情形(1)不成立.

證明若H∩T為T的拋物子群，則Gα∩T也是T的拋物子群，由引理 4知G是旗傳遞的，與已知條件矛盾.

命題2情形(2)不成立.

與性質(zhì)4矛盾.

命題3情形(3)不成立.

證明設(shè)H為V的任意非奇異子空間的穩(wěn)定化子，T=PSpn(q).

其穩(wěn)定化子分別為Tα和Tβ，故

這里A1∈Spm-2(q),A2,A3∈Sp2(q),A4∈Spn-m-2(q),從而v和x(x為β所在Tα的軌道長(zhǎng)度)分別為

故

(1)

命題4情形(4)不成立.

當(dāng)m=2k≥4時(shí)，設(shè)Vi的一組基為{ei1,fi1; …;eik,fik}(i=1,2,…,t)，取

由命題1～命題4，定理證畢.