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模型思想在教學(xué)中該如何滲透。

先來(lái)看A老師的第一次試上。

課堂實(shí)錄一 因數(shù)與倍數(shù)定義的建模

郭老師首先出示了自主探究活動(dòng)一

用12個(gè)正方形拼成長(zhǎng)方形，每排擺了幾個(gè)，擺了幾排？用乘法算式把各種擺法表示出來(lái)。

生1：我把12個(gè)正方形擺成一排組成一個(gè)長(zhǎng)方形，算式是：1×12=12。

生2：我把12個(gè)正方形每排擺了6個(gè)，擺了2排，算式是：2×6=12。

生3：我把12個(gè)正方形每排擺了3個(gè)，擺了4排，算式是：3×4=12。

師：還有沒(méi)有其他不同的擺法了？

生：(齊答)沒(méi)有了。

師：(指著3×4=12這個(gè)算式)因?yàn)?×4=12，我們可以說(shuō)3是12的因數(shù)，4也是12的因數(shù)；12是3的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)。合成一句話：3、4都是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，聽(tīng)明白了嗎？

生：(齊答)聽(tīng)明白了。

師：(指著另外兩道算式)誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這兩道算式中誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)？

生1：1是12的因數(shù)，12也是12的因數(shù)；12是1的倍數(shù)，12也是12的倍數(shù)。

生2：2是12的因數(shù)，6也是12的因數(shù)；12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)。

學(xué)生一邊說(shuō)，老師一邊板書。

師：那么這道算式12÷4=3呢？

生3：4是12的因數(shù)，3是12的因數(shù)；12是3的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)。

師：說(shuō)得真好！

師：請(qǐng)同學(xué)們看這兩道判斷題：(1)3是因數(shù)，(2)12是倍數(shù)。

生4：對(duì)的！

生5：我不同意你的說(shuō)法，我認(rèn)為第一道題是錯(cuò)的，因?yàn)樗麤](méi)有說(shuō)3是誰(shuí)的因數(shù)。

(學(xué)生鼓掌)

生6：第二道題也是錯(cuò)的，沒(méi)有說(shuō)清楚12是誰(shuí)的倍數(shù)。

師：同學(xué)們說(shuō)得真棒！因數(shù)與倍數(shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，是互相依存的，不能單獨(dú)說(shuō)一個(gè)數(shù)。明白嗎?

生：(齊答)明白了。

……

A老師是一位剛剛工作滿一年的新教師，從這一環(huán)節(jié)的課堂表現(xiàn)來(lái)看，他只是教會(huì)學(xué)生說(shuō)請(qǐng)兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，并沒(méi)有做到我們?cè)谡n前研討時(shí)所提出的由直觀到抽象，幫助學(xué)生提煉、歸納因數(shù)與倍數(shù)的定義，滲透建模思想，建構(gòu)因數(shù)與倍數(shù)的模型。

如何在因數(shù)與倍數(shù)定義這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中向?qū)W生滲透“模型思想”、“符號(hào)化思想”，成為了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，成為了一個(gè)突破口。學(xué)完這一環(huán)節(jié)后，學(xué)生腦海中能否建立因數(shù)與倍數(shù)的模型，建立一個(gè)什么樣的模型？這是我們老師上課前一定要想清楚的。筆者認(rèn)為幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)從以下兩個(gè)方面入手：

一、從具體情境出發(fā)，讓學(xué)生感知模型

要想滲透模型思想，首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生朦朧中初步感知模型。因?yàn)榫唧w的情境有助于激發(fā)學(xué)生的好奇心和動(dòng)手解決問(wèn)題的欲望，且易調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和舊知，讓學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中感受隱含的數(shù)學(xué)思想，從而促使學(xué)生將具體問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)學(xué)模型的存在，這也是符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的。比如，A老師開(kāi)始上課時(shí)讓學(xué)生探究的：用12個(gè)正方形拼成長(zhǎng)方形，每排擺了幾個(gè)，擺了幾排？用乘法算式把各種擺法表示出來(lái)。這一探究活動(dòng)通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作獲得了教學(xué)需要的三道算式，教師順勢(shì)告訴學(xué)生誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，幫助學(xué)生初步感知模型，讓學(xué)生體會(huì)到談到因數(shù)與倍數(shù)說(shuō)的是兩個(gè)數(shù)。當(dāng)然學(xué)生對(duì)因數(shù)與倍數(shù)的認(rèn)識(shí)，還達(dá)不到它們都是表示兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系這一層次，但這也很好地完成了感知模型這一任務(wù)。

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探究，助力自主建構(gòu)模型

相對(duì)于滲透“模型思想”來(lái)說(shuō)，掌握教材中的知識(shí)不是學(xué)生學(xué)習(xí)的終點(diǎn)而應(yīng)成為學(xué)生建模的起點(diǎn)。在完成學(xué)習(xí)任務(wù)后，教師應(yīng)該提出問(wèn)題促使學(xué)生的抽象思維能力的發(fā)展，讓問(wèn)題成為驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的“源動(dòng)力”，引導(dǎo)學(xué)生探究，自主建構(gòu)模型。當(dāng)然提出的問(wèn)題要結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，要有利于更多的學(xué)生參與，可以起點(diǎn)低一些，分層逐步推進(jìn)。如郭老師的課堂實(shí)錄中，學(xué)生已經(jīng)能夠借助具體的算式，說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)和誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，大部分的教師教到此處都會(huì)歸納、抽象出因數(shù)與倍數(shù)的概念，完成教學(xué)任務(wù)。此時(shí)如果提出以下問(wèn)題：(1)、誰(shuí)能說(shuō)一道乘法或除法算式，說(shuō)清因數(shù)與倍數(shù)？(2)、如果不說(shuō)算式，你能說(shuō)說(shuō)什么是因數(shù)、倍數(shù)嗎？(3)、有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的表示方法？從建模的角度來(lái)看，這些有層次的問(wèn)題有助于學(xué)生打開(kāi)思維的枷鎖，讓學(xué)生在課堂上有話可說(shuō)，在辨析中充分理解它們都是表示兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系。通過(guò)學(xué)生的交流將學(xué)習(xí)中獲得的直觀感受和感性認(rèn)識(shí)加以歸納，抽象出因數(shù)與倍數(shù)的概念，從而建模。在A老師的公開(kāi)課上，老師在學(xué)生會(huì)結(jié)合算式說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)之后，依次提出這三個(gè)問(wèn)題，學(xué)生是這樣回答的：

(1)略；

(2)生1：一個(gè)數(shù)乘以另一個(gè)數(shù)所得的積是這兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是積的因數(shù)。

生2：乘數(shù)乘以乘數(shù)等于積，乘數(shù)是積的因數(shù)，積是乘數(shù)的倍數(shù)。

(3)生3：我是這樣表示的□×△=○，□、△是○的因數(shù)，○是□和△的倍數(shù)。

生4：我覺(jué)得用圖形表示同學(xué)們不一定能看懂，五年級(jí)上學(xué)期我們學(xué)習(xí)過(guò)用字母表示數(shù)，在這里也可以用字母的形式表示，我是這樣寫的：ab=c，a、b是c的因數(shù)，c是a、b的倍數(shù)。

從學(xué)生的回答中可以看出學(xué)生在思考中不斷地抽象、歸納，嘗試用符號(hào)來(lái)表示因數(shù)與倍數(shù)的定義。這是學(xué)生的思維由直觀往抽象的發(fā)展，抽象思維的發(fā)展使得學(xué)生逐步觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而因數(shù)與倍數(shù)的模型也在不知不覺(jué)中在學(xué)生的心中建立。

對(duì)于模型思想的滲透，教師在具體實(shí)施過(guò)程中，除了將“模型思想”放在心中外，還應(yīng)將學(xué)生置于具體的情境中，確立他們的主體地位，用直指數(shù)學(xué)本質(zhì)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去思考，促使學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行抽象歸納、主動(dòng)建模。