夏長峰， 蔡遠(yuǎn)文， 任元， 王衛(wèi)杰， 樊亞洪， 尹增愿

(1. 航天工程大學(xué)研究生院, 北京 101416； 2. 航天工程大學(xué)宇航科學(xué)與技術(shù)系, 北京 101416； 3. 北京控制工程研究所, 北京 100190)

磁懸浮控制敏感陀螺(Magnetically Suspended Control and Sensing Gyroscope, MSCSG)是一種新概念陀螺[1-2]，其融合了磁懸浮控制力矩陀螺(Magnetically Suspended Control Momentum Gyroscope, MSCMG)對載體輸出控制力矩[3-4]以及轉(zhuǎn)子式速率陀螺儀對載體進(jìn)行姿態(tài)測量[5-6]的功能，將航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)與敏感器合二為一，不僅繼承了MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無接觸、無摩擦、壽命長、精度高[7]的優(yōu)點(diǎn)，還明顯降低了航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的體積、質(zhì)量、功耗和成本。MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用五自由度全主動(dòng)控制，具有一定小角度的微框架效應(yīng)，能夠瞬間輸出較大的陀螺力矩，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制；載體姿態(tài)變化時(shí)，磁軸承對轉(zhuǎn)子沿徑向施加二自由度控制力矩，通過測量偏轉(zhuǎn)磁軸承的控制力矩間接實(shí)現(xiàn)姿態(tài)敏感。然而，受轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不平衡因素的影響，磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生的擾動(dòng)力矩傳遞到載體上，影響力矩輸出精度和姿態(tài)測量精度。因此，對MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行不平衡振動(dòng)控制是實(shí)現(xiàn)其測控一體化的必然要求，而對不平衡振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析及動(dòng)力學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)不平衡振動(dòng)控制的前提條件。

轉(zhuǎn)子不平衡是磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)的最主要因素[8]。目前，國內(nèi)外學(xué)者對各類磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的原理及建模研究取得了一系列成果。文獻(xiàn)[9-12]分析了質(zhì)量分布不平衡條件下桿狀磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)機(jī)理，并在此基礎(chǔ)上建立了磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[13-14]基于模態(tài)平衡理論分析了撓性轉(zhuǎn)速下桿狀磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性，推導(dǎo)了柔性轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)模型；文獻(xiàn)[15-17]針對基于磁阻力磁軸承支承的MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在不平衡擾動(dòng)以及轉(zhuǎn)子檢測軸與旋轉(zhuǎn)軸不重合2種不同角度，分別建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[18-20]分析了基于混合磁軸承支承的MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動(dòng)機(jī)理，針對混合磁軸承對轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)自由度不存在主動(dòng)可控電流的特殊性，在分析主被動(dòng)通道磁力非線性的基礎(chǔ)上，建立了混合磁軸承支承的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[21-22]在建立包含動(dòng)不平衡的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，分析了模型中不平衡量對轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)的影響。

由于MSCSG是一種新概念陀螺，采用雙球形轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，通過具有線性特性的洛倫茲力磁軸承(Lorentz Force Magnetic Bearing，LFMB)支承，其支承原理與上述磁懸浮電機(jī)、MSCMG有較大區(qū)別，因此上述不平衡振動(dòng)分析方法無法直接應(yīng)用于MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。而對這類新型陀螺轉(zhuǎn)子的不平衡振動(dòng)機(jī)理尚未開展系統(tǒng)的理論研究，關(guān)于其擾動(dòng)量能觀性的解析性分析也未見報(bào)道。因此，本文在對MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作機(jī)理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，對轉(zhuǎn)子不平衡問題進(jìn)行了幾何描述，推導(dǎo)了高速轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的擾動(dòng)力矩?cái)?shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對擾動(dòng)量的可觀測性進(jìn)行了解析性分析；建立了不平衡振動(dòng)條件下磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)模型，分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)不平衡振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理，并對不平衡振動(dòng)的響應(yīng)特性進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所建立模型的正確性；根據(jù)不平衡振動(dòng)的特點(diǎn)提出了對其進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制的要求。

1 MSCSG工作原理

MSCSG結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由陀螺房、陀螺轉(zhuǎn)子、軸向磁軸承、力矩器、徑向磁軸承、旋轉(zhuǎn)電機(jī)、位移傳感器構(gòu)成。其中，旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子繞軸向高速旋轉(zhuǎn)，力矩器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子繞徑向偏轉(zhuǎn)，徑向磁軸承驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子沿徑向平動(dòng)，軸向磁軸承驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子沿軸向平動(dòng)。

圖1中，MSCSG的轉(zhuǎn)子組件為雙球形包絡(luò)面結(jié)構(gòu)，由位于轉(zhuǎn)子軸向和徑向的2個(gè)共球心球缺組成，其中軸向球缺構(gòu)成軸向磁軸承的轉(zhuǎn)子部分，徑向球缺構(gòu)成徑向磁軸承的轉(zhuǎn)子部分。由于徑向磁軸承及軸向磁軸承的磁極都呈球狀，球面磁極產(chǎn)生的電磁力始終經(jīng)過磁極球心，無論轉(zhuǎn)子在磁間隙內(nèi)處于什么位置，都不會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)力矩，從而實(shí)現(xiàn)了平動(dòng)自由度對徑向轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的解耦。因此，轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)只受力矩器控制。

MSCSG采用LFMB為力矩器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)，LFMB產(chǎn)生的電磁力依據(jù)安培力定律，即磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中沿與磁場垂直方向放置長度為L的線圈，當(dāng)流經(jīng)線圈中電流為I時(shí)，線圈將受到大小為BIL的安培力作用。LFMB組件結(jié)構(gòu)如圖2所示。轉(zhuǎn)子外沿一周的狹長內(nèi)壁上放置著上、下2層磁鋼，2層磁鋼的內(nèi)、外磁鋼間充磁方向相反，因此形成了如圖2中虛線所示的閉合磁場。LFMB的定子部分由4組匝數(shù)相同的線圈構(gòu)成，位于內(nèi)、外磁鋼間的狹縫中，沿LFMB周向均勻分布，4組線圈成對使用，正對的2組線圈為一對，用于實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的二自由度偏轉(zhuǎn)控制。

以LFMB幾何中心O為原點(diǎn)定義定子坐標(biāo)系O-XYZ，其中X軸與Y軸分別與相對方向2組線圈中心線重合，Z軸方向根據(jù)右手定則確定。當(dāng)與磁場垂直方向放置的線圈通入電流時(shí)，線圈的上下兩部分將分別產(chǎn)生垂直于線圈及磁場方向的安培力，合力大小為

圖1 MSCSG結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of MSCSG

F=2nBIL

(1)

式中：n為線圈匝數(shù)。

根據(jù)如圖2所示的LFMB工作原理圖，LFMB提供的X、Y方向偏轉(zhuǎn)力矩分別為

(2)

式中：iX+、iX-分別為X軸正、負(fù)方向上的線圈驅(qū)動(dòng)電流；iY+、iY-分別為Y軸正、負(fù)方向上線圈驅(qū)動(dòng)電流；lm為LFMB定子半徑。令iY+=iα，iX-=iβ，當(dāng)相對方向線圈通入大小相等、方向相同的電流時(shí)，線圈將產(chǎn)生大小相等、方向相反的安培力，形成力偶驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)，此時(shí)，根據(jù)式(2)可知偏轉(zhuǎn)力矩pX、pY表達(dá)式分別為

(3)

圖2 LFMB工作原理Fig.2 Working principle of LFMB

2 MSCSG轉(zhuǎn)子不平衡問題幾何分析

MSCSG轉(zhuǎn)子除軸向旋轉(zhuǎn)自由度由電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制，其余5個(gè)由磁軸承懸浮的自由度均需通過傳感器來獲得轉(zhuǎn)子位置信息。該位置信息既提供給閉環(huán)控制器進(jìn)行反饋控制，也作為轉(zhuǎn)子懸浮工作狀態(tài)的判定依據(jù)。轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)自由度為LFMB控制的自由度，需要位移傳感器測量轉(zhuǎn)子的位置信息來實(shí)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)通道的偏轉(zhuǎn)角信息反饋。MSCSG偏轉(zhuǎn)通道4個(gè)位移傳感器安裝在上陀螺房的傳感器支架上，配置方式如圖3(a)所示，4個(gè)傳感器在同一平面上，過定子坐標(biāo)系原點(diǎn)O對檢測面投影，如圖3(b)中黑色虛線所示。

以定子坐標(biāo)系原點(diǎn)O為原點(diǎn)定義幾何坐標(biāo)系O-xyz，其中x軸與y軸分別與相對方向2組線圈中心線重合，z軸方向根據(jù)右手定則確定。由于線圈對向中心線與幾何坐標(biāo)系的x軸、y軸重合，因此定子坐標(biāo)系與幾何坐標(biāo)系重合。hy+、hy-、hx+、hx-分別為投影在y軸正、負(fù)方向以及x軸正、負(fù)方向上的軸向傳感器測得的轉(zhuǎn)子軸向位移。轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角可以通過同一條直線上2個(gè)傳感器位置差獲得。以轉(zhuǎn)子繞x軸偏轉(zhuǎn)的α通道為例，如圖4所示，轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)角可以通過轉(zhuǎn)子在該通道兩端的位置差與對應(yīng)傳感器間跨距比值獲取。計(jì)算公式為

圖3 傳感器探頭配置及檢測面示意圖Fig.3 Schematic diagram of sensor probe configuration and detection surface

(4)

同理，轉(zhuǎn)子繞y軸偏轉(zhuǎn)的β通道偏轉(zhuǎn)角計(jì)算公式為

(5)

定義轉(zhuǎn)子慣性軸為高速轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)自由度所對應(yīng)的慣性主軸。轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布均勻的情況下，慣性軸與幾何軸相一致。然而，轉(zhuǎn)子材料不均勻和加工、裝配等誤差會使轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不平衡，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的慣性軸與幾何軸不再一致，從而使轉(zhuǎn)子慣性軸相對于幾何軸產(chǎn)生如圖5(a)所示的偏轉(zhuǎn)。質(zhì)量分布不平衡條件下，MSCSG轉(zhuǎn)子慣性軸與幾何軸的角位置關(guān)系如圖5(b)所示，(αg,βg)為幾何軸的角坐標(biāo)，(αi,βi)為慣性軸的角坐標(biāo)，g(ξ,ζ)為與轉(zhuǎn)子固連的旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)子慣性主軸在g(ξ,ζ)中的幅值和相位分別為δ和φ。

圖4 偏轉(zhuǎn)角檢測原理Fig.4 Testing principle of deflection angle

圖5 轉(zhuǎn)子慣性軸與幾何軸位置關(guān)系Fig.5 Position relation between inertial axis and geometric axis of rotor

由圖5中的轉(zhuǎn)子慣性軸與幾何軸間關(guān)系可知，慣性坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角信息αi、βi表達(dá)式為

(6)

式中，α、β分別由式(4)和式(5)得到；Ω為轉(zhuǎn)子軸向轉(zhuǎn)速；Δα、Δβ分別為徑向兩偏轉(zhuǎn)角在慣性坐標(biāo)系與幾何坐標(biāo)系下的偏差。

3 磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)不平衡振動(dòng)建模

3.1 不平衡擾動(dòng)項(xiàng)能觀性分析

根據(jù)歐拉定理寫出陀螺技術(shù)方程[23]：

(7)

式中：Jx、Jy分別為轉(zhuǎn)子在x、y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且Jx、Jy數(shù)值上與轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jr相等；Jz為轉(zhuǎn)子在z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由于控制系統(tǒng)中各測量值都是在幾何坐標(biāo)系中獲取，而陀螺技術(shù)方程是在慣性坐標(biāo)系下定義。因此，將式(6)中轉(zhuǎn)子慣性坐標(biāo)系與幾何坐標(biāo)系間的關(guān)系表達(dá)式代入式(7)，得到慣性坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子信息表達(dá)式為

(8)

根據(jù)式(8)可知，不平衡擾動(dòng)力矩表達(dá)式分別為

(9)

式中：

(10)

根據(jù)以上分析可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻時(shí)，轉(zhuǎn)子的幾何軸與慣性軸不再一致，此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將產(chǎn)生不平衡擾動(dòng)力矩，作用于與定子固連的基座，引起載體航天器的振動(dòng)。

將式(3)、式(9)代入式(8)，得

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

d=[pdx/(4nBLlm)pdy/(4nBLlm)]T

(15)

對擾動(dòng)項(xiàng)d列寫狀態(tài)方程，取狀態(tài)變量T=[TxTy]T，則擾動(dòng)項(xiàng)pd=[pdxpdy]T可用如下模型表述：

(16)

對于式(16)表述的擾動(dòng)模型，其能觀性矩陣N表達(dá)式為

N=[VVW]T

(17)

從式(17)表達(dá)式可知，轉(zhuǎn)速Ω不等于0時(shí)，能觀性矩陣的秩rank(N)=2，式(16)能觀，因此系統(tǒng)的不平衡擾動(dòng)可測。

3.2 含振動(dòng)源的磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

轉(zhuǎn)子不平衡條件下，MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)如圖6所示?？刂仆ǖ乐饕▊鞲衅?、抗混疊濾波器、控制器和功率放大器構(gòu)成。閉合回路中，傳感器檢測到轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)信息并通過抗混疊濾波器進(jìn)行降噪處理，控制器根據(jù)偏轉(zhuǎn)信息確定偏轉(zhuǎn)指令，隨后功率放大器將偏轉(zhuǎn)指令轉(zhuǎn)化為控制電流，驅(qū)動(dòng)LFMB產(chǎn)生控制力矩，使轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)至指定參考位置。

圖6 轉(zhuǎn)子不平衡條件下MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)控制 系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)Fig.6 Closed-loop structure of rotor tilt control system in MSCSG considering rotor imbalance

由式(7)可知，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)通道間存在耦合，因此為抑制陀螺耦合效應(yīng)，控制器采用基于交叉濾波的PID控制算法，其中的PID控制器和交叉濾波器傳遞函數(shù)表達(dá)式分別為

(18)

(19)

式中：kp、ki、kd分別為比例、積分、微分系數(shù)；ωD為不完全微分系數(shù)；kl和kh分別為低通和高通濾波器增益；a1l、a2l為低通濾波器系數(shù)；a1h、a2h為高通濾波器系數(shù)。

由如圖4所示的控制系統(tǒng)框圖可知，根據(jù)轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角可確定控制電流為

(20)

將式(3)、式(6)、式(20)代入式(7)，得到MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程組：

(21)

將式(21)進(jìn)行拉普拉斯變換得

(22)

對式(22)進(jìn)行化簡，得到

(23)

式(23)的等效閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖7所示，αr、βr為偏轉(zhuǎn)指令信號。對圖7中的轉(zhuǎn)子不平衡條件下MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型進(jìn)行分析可知，轉(zhuǎn)子不平衡量經(jīng)過磁軸承控制器和功率放大器進(jìn)入閉環(huán)控制系統(tǒng)，通過LFMB產(chǎn)生電流剛度力矩，引起轉(zhuǎn)子產(chǎn)生不平衡振動(dòng)。

圖7 磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)框圖Fig.7 Block diagram of magnetic bearing-rotor control system

4 仿真分析

根據(jù)本文所建立的MSCSG磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)不平衡振動(dòng)模型，對慣性軸與幾何軸不一致條件下磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)產(chǎn)生的不平衡振動(dòng)力矩進(jìn)行仿真分析。仿真參數(shù)如表1所示，其中，轉(zhuǎn)子參數(shù)根據(jù)MSCSG設(shè)計(jì)指標(biāo)確定，控制器相關(guān)參數(shù)依照文獻(xiàn)[23]設(shè)定。表1中：ka為功率放大器增益；ωa為功率放大器截止頻率；ωf為抗混疊濾波器截止頻率。

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速由0升至6 000 r/min時(shí)，不平衡振動(dòng)力矩的響應(yīng)仿真結(jié)果如圖8所示?？芍?，瀑布圖中包含了明顯的轉(zhuǎn)速同頻成分，不平衡振動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速升高而增加，不平衡振動(dòng)幅值與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速呈遞增的趨勢。因此，不平衡振動(dòng)仿真結(jié)果與動(dòng)力學(xué)模型所描述不平衡因素的頻率特性相一致，驗(yàn)證了本文所建立模型的正確性。根據(jù)以上分析可知，要想實(shí)現(xiàn)MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主動(dòng)振動(dòng)控制，必須對轉(zhuǎn)子不平衡引起的轉(zhuǎn)速同頻擾動(dòng)量進(jìn)行抑制。

表1 MSCSG系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of MSCSG system

圖8 不平衡振動(dòng)響應(yīng)仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of unbalance vibration response

5 結(jié) 論

1) MSCSG轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不平衡條件下，轉(zhuǎn)子慣性主軸與幾何主軸不一致，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生不平衡振動(dòng)力矩。

2) MSCSG轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不為零的條件下，轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不平衡產(chǎn)生的振動(dòng)力矩可觀測。

3) MSCSG轉(zhuǎn)子不平衡量經(jīng)過磁軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)產(chǎn)生電流剛度力矩，引起的振動(dòng)與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻，為實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的主動(dòng)振動(dòng)控制，必須對轉(zhuǎn)速同頻擾動(dòng)量進(jìn)行抑制。