楊杰， 李海濤,2,*， 芮成杰， 龍新佳妮， 魏文軍

(1. 中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 北京 100083； 2. 現(xiàn)代農(nóng)裝優(yōu)化設(shè)計北京市重點實驗室， 北京 100083)

環(huán)面蝸桿傳動具有同時接觸齒數(shù)多、蝸桿嚙入端為雙線接觸、齒面誘導(dǎo)法曲率小并且滑動角接近90°等特點，這些特點使得環(huán)面蝸桿與蝸輪嚙合時具有齒面接觸應(yīng)力小以及齒面間彈性流體動壓潤滑條件好等特性[1]。因此,環(huán)面蝸桿傳動的承載能力強，傳動效率高，廣泛應(yīng)用于礦冶、起重運輸和船舶等的傳動裝置[2-3]。組成環(huán)面蝸桿副的蝸輪主要由環(huán)面蝸輪滾刀滾切而成，由于環(huán)面蝸輪滾刀各個刀齒的形狀不同、滾刀基本蝸桿齒面螺旋線上各處的螺旋升角也不相同，導(dǎo)致環(huán)面蝸輪滾刀的制造比較復(fù)雜，特別是環(huán)面蝸輪滾刀前刀面的成形及加工方法，將影響刀齒的切削性能和滾切蝸輪的效率[4-6]。

對于頭數(shù)較少的環(huán)面蝸輪滾刀，為便于加工制造，通常采用直容屑槽[6]。董李揚[7]和柳冠伊[8]建立了直容屑槽環(huán)面蝸輪滾刀前刀面的數(shù)學(xué)模型并對直容屑槽滾刀進行了加工制造。采用直容屑槽時，滾刀刀齒一側(cè)是正前角，另一側(cè)是負前角[9-11]；滾刀頭數(shù)較多時，絕對值較大的負前角一側(cè)引起主切削力增大，導(dǎo)致切削條件惡劣甚至無法加工，因此需要采用螺旋容屑槽前刀面，以降低刀齒負前角的絕對值，并均衡刀齒左右兩側(cè)的切削條件[12-14]。

楊杰等[9-11]研究了由圓柱產(chǎn)形面加工螺旋容屑槽環(huán)面蝸輪滾刀前刀面的方法，但是，此方法采用的圓柱形刀具加工效率較低。Chang[15]采用盤形銑刀加工圓柱滾刀前刀面的方法，提高了加工效率，適用于螺旋容屑槽的粗加工，但是，對于前刀面的精加工，通常需要采用盤形砂輪磨削的方法。采用平面砂輪加工直容屑槽滾刀的前刀面是可行的，但是磨削螺旋容屑槽前刀面時會出現(xiàn)非常明顯的中凸現(xiàn)象，同時易產(chǎn)生砂輪平面與刀齒干涉的問題[16]；為避免上述問題，劉杰華[17]采用修形軸截面的平面砂輪磨削齒輪滾刀的螺旋容屑槽前刀面。對于圓柱滾刀和齒輪滾刀而言，采用唯一的砂輪軸截形即可磨削出螺旋容屑槽前刀面[18]，但是，對于環(huán)面蝸輪滾刀而言，每個刀齒兩側(cè)的刃口曲線及其上每點在滾刀基本蝸桿齒面螺旋線上的螺旋升角都不一樣，加工每個刀齒都需要采用不同軸向截形的成形砂輪，這在實際生產(chǎn)中是很難實現(xiàn)的。

本文首先提出采用雙錐砂輪磨削螺旋容屑槽環(huán)面蝸輪滾刀前刀面的方法，建立由雙錐產(chǎn)形面展成平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪滾刀螺旋容屑槽前刀面的數(shù)學(xué)模型，給出每個刀齒兩側(cè)在分度環(huán)面螺旋線上的前角計算公式。然后，分別計算螺旋容屑槽滾刀和直容屑槽滾刀對應(yīng)的前角，對比分析螺旋容屑槽對前角的改善效果；對環(huán)面蝸輪滾刀螺旋容屑槽進行仿真加工，并且在仿真軟件中對前角進行測量。最后，對比理論計算結(jié)果和仿真結(jié)果，驗證環(huán)面蝸輪滾刀前刀面成形方法的正確性。

1 前刀面的數(shù)學(xué)模型

滾刀的前刀面是在滾刀基本蝸桿螺旋面的基礎(chǔ)上開制容屑槽而得到。以平面Σd為產(chǎn)形面，一次包絡(luò)滾刀基本蝸桿螺旋面Σ1；以雙錐面Σqd為產(chǎn)形面，一次包絡(luò)滾刀前刀面Σ2。

1.1 加工前刀面的坐標系及相對運動關(guān)系

建立如圖1所示的右旋直角坐標系，取靜坐標系σqo1(Oqo1；iqo1，jqo1，kqo1)與機架固連，動坐標系σq1(Oq1；iq1，jq1，kq1)與滾刀基本蝸桿固連，Oq1為坐標原點，Oqo1和Oq1重合，kqo1=kq1與滾刀基本蝸桿回轉(zhuǎn)軸線重合,雙錐砂輪的自身坐標系為σa(O;ia;ja;ka)。

圖1 加工前刀面的坐標系Fig.1 Coordinate systems of rake face machining

由雙錐產(chǎn)形面Σqd展成螺旋槽前刀面Σ2時，刀座繞回轉(zhuǎn)軸kqod的轉(zhuǎn)速為ωqd，轉(zhuǎn)角為φqd，滾刀基本蝸桿繞回轉(zhuǎn)軸kqo1的轉(zhuǎn)速為ωq1，轉(zhuǎn)角為φq1。φq1與φqd成正比，即

φq1=iqd1φqd

(1)

式中：iqd1為滾刀基本蝸桿與刀座的速比。當(dāng)φq1=0時，即速比iqd1=0，加工出直容屑槽滾刀，形成直槽滾刀的前刀面；當(dāng)φq1≠0時，雙錐產(chǎn)形面以一定的速比iqd1加工出圓弧槽底的螺旋槽，形成螺旋槽滾刀的前刀面。

1.2 坐標變換

采用回轉(zhuǎn)矩陣法變換坐標[1]，例如由坐標系σa變換到σqd，表示為σa→σqd。加工滾刀前刀面時，用到坐標變換回轉(zhuǎn)矩陣如下：

σa→σqd:R[iqd,-(90°-βa)]=

σqd→σqod:R[kqod,φqd]=

σqo1→σq1:R[kq1,-φq1]=

式中：βa為產(chǎn)形錐面繞iqd軸逆時針旋轉(zhuǎn)的角度。

1.3 滾刀基本蝸桿與刀座速比iqd1的求解

滾刀基本蝸桿齒面螺旋線喉部分度圓導(dǎo)程角為γm，前刀面螺旋線喉部分度圓導(dǎo)程角為γq，為減小每個刀齒的側(cè)前角，保證前刀面螺旋線和齒面螺旋線在喉部分度圓處垂直，其導(dǎo)程角需滿足

(2)

滾刀基本蝸桿齒面螺旋線喉部分度圓導(dǎo)程角γm(螺旋面右旋時為正)由式(3)求得

(3)

式中：i1d為蝸桿毛坯和刀座的速比，其值等于蝸桿副的速比i12；r1為滾刀基本蝸桿喉部分度圓半徑；r2為滾刀分度圓弧半徑。

滾刀前刀面螺旋線喉部分度圓導(dǎo)程角γq由式(4)求得

(4)

將式(3)和式(4)代入式(2)求得

(5)

1.4 滾刀基本蝸桿螺旋面的矢量表達式

加工滾刀基本蝸桿時，其毛坯與σq1固連，式(6)為滾刀基本蝸桿螺旋面在σq1中的方程[1-2]：

(6)

展開即為

滾刀基本蝸桿螺旋面上任一點處的法矢量在σq1中的表達式為[1-2]

(7)

式中：u和v為產(chǎn)形平面Σd的參數(shù)；rb為蝸輪主基圓的半徑；β為產(chǎn)形平面軸線傾角；φd為刀座的瞬時轉(zhuǎn)角，與蝸桿毛坯的瞬時轉(zhuǎn)角φ1成正比，即φ1=i1dφd。

1.5 雙錐產(chǎn)形面的矢量表達式

如圖2所示，展成滾刀前刀面的雙錐產(chǎn)形面Σqd在砂輪中間平面的右側(cè)。取坐標系σa(O；ia，ja，ka)與砂輪固連；ka與砂輪軸線重合，ia和ja在砂輪中間平面上。

利用圓矢量函數(shù)和球矢量函數(shù)，右邊產(chǎn)形錐面Σqd在坐標系σa中的矢量表達式為

圖2 雙錐產(chǎn)形面Fig.2 Double-cone grinding surface

(ra)a=Rdea(θ)+0.5saka-udna(θ,αd)

(8)

式中：sa為雙錐砂輪頂寬；αd為雙錐砂輪齒形角；ud和θ為Σqd的參數(shù);ea()為圓矢量函數(shù)；Rd為雙錐砂輪半徑。

右邊產(chǎn)形錐面Σqd上任一點Q處的單位法矢量為

(n)a=ma(θ,αd)

(9)

砂輪在刀座上處于圖3所示的位置時，即產(chǎn)形錐面繞iqd軸逆時針旋轉(zhuǎn)βa，將式(8)依次進行σa→σqd、σqd→σqod、σqod→σqo1及σqo1→σq1的坐標變換，得到產(chǎn)形錐面Σqd在動坐標系σq1中的矢量表達式為

(rqd)q1=rqd(ud,θ,φqd)=R[kq1,-φq1]{R[iqo1,

90°]R[kqod,φqd][-a0iqd+R[iqd,-(90°-

βa)](ra)a]+aiqo1}=

[Aud+D,Bud+E,Cud+F]T

(10)

式中：

將式(9)進行σa→σqd、σqd→σqod、σqod→σqo1及σqo1→σq1的坐標變換，得到右邊產(chǎn)形錐面Σqd上任一點Q在動坐標系σq1中的單位法矢量為

(nqd)q1=R[kq1,-φq1]R[iqo1,90°]R[kqod,

φqd]R[iqd,-(90°-βa)]ma(θ,αd)=

[nxqd,nyqd,nzqd]T

(11)

式中：

圖3 砂輪在刀座靜坐標系中的位置Fig.3 Position of grinding wheel in tool holder’s static coordinate system

本文中?。?/p>

1.6 在σq1中滾刀前刀面的方程

在σqod坐標系中，雙錐產(chǎn)形面與前刀面的相對速度為(vqd1)qod，由齒輪嚙合原理[19-21]得到雙錐產(chǎn)形面與前刀面共軛條件函數(shù)為

Φqod=(vqd1)qod·(nq1)qod

(12)

由Фqod=0得到雙錐產(chǎn)形面的一次包絡(luò)共軛條件方程為

ud=H(θ，φqd)/G(θ，φqd)

(13)

式中：

H(θ，φqd)=(Fny-Enz)sinφqd+(Dnz-

Fnx)cosφqd+(Dny-Enx)/i1d+nza

(14)

G(θ，φqd)=(Bnz-Cny)sinφqd+(Cnx-

Anz)cosφqd+(Any-Bnx)/i1d

(15)

聯(lián)立式(10)和式(13)可得滾刀前刀面Σ2在σq1中的方程為

(16)

1.7 前角Vq的表達式

將滾刀基本蝸桿螺旋面Σ1的方程式(6)和前刀面Σ2的方程式(16)聯(lián)立組成方程組，即可求得滾刀刀齒的刃口線。

在σq1坐標系中，由刃口線上任一點在前刀面上的法向量(nqd)q1和在螺旋面上的法向量(nd)q1求得該點處的前角Vq表達式為[10-11,22]

Vq=arccos[(nqd)q1·(nd)q1]-90°

(17)

式中：arccos[(nqd)q1·(nd)q1]為該點處的夾角Wq。

2 算例及結(jié)果分析

滾刀基本蝸桿左側(cè)螺旋面和前刀面的交線為左側(cè)刃口線，左側(cè)刃口線上任一點處的前角為左側(cè)前角，同理，右側(cè)刃口線上任一點處的前角為右側(cè)前角，刃口線上任一點處的前角對應(yīng)滾刀的軸向位置為Zi。本文針對表1中提供的算例[6]，通過改變雙錐砂輪各個參數(shù)的取值來計算對應(yīng)的前角，選取了一組較為合理的雙錐砂輪參數(shù)。選取雙錐砂輪的參數(shù)分別為：雙錐砂輪半徑Rd=50 mm，雙錐砂輪頂寬sa=6 mm，雙錐砂輪齒形角αd=15°，雙錐砂輪軸線傾角βa=116.5°，分別求解直槽和螺旋槽滾刀的前角。令式(1)中φq1=0，即速比iqd1=0，求得對應(yīng)的直槽滾刀在分度環(huán)面上從出口到入口的前角大小如表2所示；由式(5)求得速比iqd1=-1.54時，對應(yīng)的螺旋槽滾刀在分度環(huán)面上從出口到入口的前角大小如表3所示。

根據(jù)表2和表3的數(shù)據(jù)，繪制直槽滾刀和螺旋槽滾刀對應(yīng)的前角變化規(guī)律，如圖4所示。

由表2可知，環(huán)面蝸輪滾刀的容屑槽為直槽時，刀齒分度環(huán)面上左右兩側(cè)前角近似在±20°之間。左側(cè)為負前角，右側(cè)為正前角。由圖4可知，左側(cè)刀齒從出口(Zi=-0.5Lw處)到入口(Zi=0.5Lw處)前角的絕對值先增大后減小，喉部齒位置(3號齒)前角的絕對值最大；右側(cè)刀齒從入口(Zi=-0.5Lw處)到出口(Zi=0.5Lw處)前角的絕對值先增大后減小，喉部齒位置(3號齒)前角的絕對值最大。較大的負前角會導(dǎo)致刀齒切削條件惡劣，甚至無法正常滾切蝸輪。刀齒左右兩側(cè)前角一正一負且相差較大，會造成兩側(cè)刀齒切削力不均衡，引起更大的刀齒磨損。

表1 平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪滾刀及 雙錐砂輪的基本參數(shù)[6]Table 1 Basic parameters of planar double enveloping hourglass worm gear hob and double-cone grinding wheel[6]

表2 直槽前刀面對應(yīng)分度環(huán)面上各刀齒左右 兩側(cè)的前角Table 2 Rake angles of both sides of each tooth on indexing torus corresponding to rake face of hob with straight flutes

表3 螺旋槽前刀面對應(yīng)分度環(huán)面上各刀齒 左右兩側(cè)的前角Table 3 Rake angles of both sides of each tooth on indexing torus corresponding to rake face of hob with spiral flutes

圖4 不同容屑槽兩側(cè)前角變化規(guī)律Fig.4 Change law of rake angles on both sides of different spiral flutes

由表3可知，環(huán)面蝸輪滾刀的容屑槽為螺旋槽時，刀齒分度環(huán)面上左右兩側(cè)前角近似在±8.1°之間。左側(cè)為正前角，右側(cè)為絕對值較小的負前角。由圖4可知，喉部齒位置(3號齒)前角較為均衡，左側(cè)前角為7.252 2°，右側(cè)前角為6.204 3°；2個邊齒(1號齒和5號齒)左右兩側(cè)的前角絕對值相差較大。原因是由于滾刀基本蝸桿螺旋線的導(dǎo)程角從出口到入口都是變化的，本文以喉部螺旋線的導(dǎo)程角為依據(jù)計算的速比iqd1。但是，相較于直槽滾刀，刀齒兩側(cè)前角絕對值有明顯下降，降幅約為60%。左側(cè)負前角的一側(cè)切削條件能夠得到改善，而且有利于均衡刀齒左右兩側(cè)的切削條件。

3 VERICUT加工滾刀螺旋槽

以表1中的4頭滾刀為例，在VERICUT軟件中建立具有B軸和C軸聯(lián)動的環(huán)面蝸桿專用數(shù)控機床[23-24]，進行滾刀基本蝸桿螺旋面以及滾刀螺旋容屑槽的仿真加工。仿真加工滾刀基本蝸桿螺旋面和螺旋容屑槽的過程如圖5所示。

螺旋容屑槽滾刀仿真加工完成后，測量分度環(huán)面上刀齒兩側(cè)的夾角Wq，如圖6所示。

由Vq=Wq-90°，計算出刀齒兩側(cè)的前角Vq，如表4所示。

將表4測量結(jié)果和表3中理論計算結(jié)果對比可知，測量結(jié)果是有誤差的，最大誤差出現(xiàn)在4號齒的右側(cè)前角，為0.569 9°；最小誤差出現(xiàn)在4號齒的左側(cè)前角，為0.011 4°；測量誤差主要是由測量點選取位置的誤差造成的。

圖5 仿真加工滾刀過程Fig.5 Simulation of processing hob process

圖6 測量分度環(huán)面上刀齒兩側(cè)的夾角Fig.6 Measured angle between sides of the teeth on indexing tours

齒 號左 側(cè)右 側(cè)前角/(°)軸向位置/mm前角/(°)軸向位置/mm1號5.6286-37.6659-5.3759-30.61112號6.3011-21.21302.5098-13.32343號7.1336-4.18545.63983.99414號1.609413.35260.177121.42505號-1.038531.1470-8.315638.3567

4 結(jié) 論

1) 針對直槽滾刀負前角絕對值較大、刀齒左右兩側(cè)切削條件不均衡的問題，提出了采用雙錐砂輪磨削加工環(huán)面蝸輪滾刀螺旋槽前刀面的方法。

2) 通過建立磨削加工坐標系，推導(dǎo)由雙錐產(chǎn)形面展成平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪滾刀螺旋容屑槽前刀面的數(shù)學(xué)模型，完成每個刀齒在分度環(huán)面螺旋線上的前角數(shù)值的計算。計算結(jié)果表明，相較于直容屑槽滾刀，螺旋容屑槽滾刀對應(yīng)的前角下降了60%，有效減小了負前角的絕對值，有利于均衡刀齒兩側(cè)的切削條件。

3) 對滾刀的螺旋容屑槽進行仿真加工并且在仿真軟件中對前角進行測量，測量結(jié)果與理論計算誤差小于0.6°，驗證了本文方法的正確性。

致謝感謝中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室對VERICUT軟件提供的技術(shù)支持。