梁嘉寧 譚霽宬 孫天夫 王 崢

(中國科學院深圳先進技術研究院 深圳 518055)

1 引 言

當今世界能源極度耗損、環(huán)境污染嚴重及交通問題日益惡化[1]。電動汽車作為一種新型節(jié)能、零污染排放的交通工具，逐漸受到了世界各國的重視[2]。電動汽車是電動源、電機和整車三大技術的結合體，其中電動源是電動汽車的核心部件[3]。鋰離子電池是迄今為止最適合在電動汽車上廣泛應用的新型電源。由此可以看出，動力電池不僅是制約電動汽車規(guī)模發(fā)展的瓶頸技術，而且是電動汽車價格居高不下的關鍵因素，其成本占整車成本的 30%～50%[4]。因此，這也促進了電動汽車電池管理系統(tǒng)(Battery Management System，BMS)的發(fā)展。在當前的電池技術基礎上提高電池管理水平，建立完善、可靠的電動汽車電池管理系統(tǒng)，對電動汽車使用成本、節(jié)能和安全性至關重要。

電池管理系統(tǒng)最主要的功能和研究方向就是估算動力電池的荷電狀態(tài)(State of Charge，SOC)，即電池剩余電量[5]。若能準確估計動力電池 SOC，那么在運行電池管理系統(tǒng)其他功能時就可以避免對動力電池造成損害，合理利用動力電池提供的電能，最終達到延長電池使用壽命的目的[6]。目前，作為處理非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的卡爾曼濾波形式的算法已成為學者們對動力電池SOC 估計的研究熱點，而卡爾曼濾波算法適用于線性系統(tǒng)，對于實際電池的非線性特性，建立精確的電池模型比較困難。針對原有卡爾曼濾波算法的不足，從近似線性函數(shù)的概率密度分布函數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)模型的角度出發(fā)，研究人員提出無跡卡爾曼濾波(UKF)算法[7]、擴展卡爾曼粒子濾波(EKPF)算法[8]等新算法，并取得了不錯效果。其中，UKF 的濾波精度和適用范圍優(yōu)于擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)算法[9]，但對參數(shù)選擇有一定依賴性，而 EKPF 計算量巨大難以滿足 SOC 估計的實時性要求[10]。為了克服上述問題，本文采用卡爾曼濾波器結構的高斯濾波算法估計動力鋰電池 SOC，該法具有更好的非線性逼近功能、數(shù)值精度及濾波穩(wěn)定性，并且比擴展卡爾曼粒子濾波算法的實時性高[11]。

2 動力鋰電池模型

2.1 二階電阻-電容等效電路

由于鋰電池內部化學反應機理復雜，難以直接描述電池化學特性，故只能通過電池外在表現(xiàn)的電氣特性建立等效電路間接描述電池內部的反應機理。常見的鋰電池電路模型有內阻等效模型[12]、新一代汽車伙伴計劃模型[13]、戴維南模型[14]和二階電阻-電容(Resistor-Capacitance，RC)模型[15]。由于二階 RC 等效電路模型相比其他模型能更有效地反映電池的動態(tài)特性，估算精度也更高，所以本文采用二階 RC 等效電路模型作為鋰電池的等效電路模型，如圖 1 所示。

圖1 二階 RC 等效電路模型Fig. 1 Two order RC equivalent circuit model

在圖 1 電池模型中，Voc為開路電壓；i為電池電流；R0為歐姆電阻；R1、R2為極化電阻；C1、C2為極化電容；V1、V2分別為C1、C2端電壓；U為電池的端電壓。等效電路模型的方程組如下：

其中，t為時間。

對電池進行混合動力脈沖能力特性(HPPC)實驗[16]，電池電壓變化曲線如圖 2 所示。同時，采用最小二乘法對模型各參數(shù)進行參數(shù)辨識[17]獲得等效電路的歐姆電阻與零輸入、零狀態(tài)響應方程。

圖2 HPPC 工況下電壓變化曲線Fig. 2 Voltage variation curve under HPPC condition

根據(jù)公式(1)離散化寫成矩陣形式可得二階RC 等效模型離散狀態(tài)空間方程為：

其中，SOC表示剩余電荷量；k表示迭代的時刻，k－1 表示k時刻的前一刻；表示庫侖效率；CN表示電池的容量；w、v表示噪聲變量；V1和V2分別表示R1、R2的電壓；表示相應的采樣時間；Voc表示開路電壓(Open-Circuit Voltage，OCV)。

電池的 SOC 值與 OCV 有直接關系[16]。電池設定一段時間后的終端電壓等于電池的 OCV。為了獲得 OCV 與 SOC 之間的關系，對鋰離子電池進行恒流放電試驗。每放電 10% SOC，然后靜置 60 min。待電池電壓穩(wěn)定后，測得路端電壓可作為開路電壓，一直測試到放電結束并采集10 組不同 SOC 下的開路電壓。根據(jù)公式(6)利用多項式擬合法[18]得到多項式系數(shù)并作出 OCV 與SOC 的關系曲線，如圖 3 所示。

圖3 放電狀態(tài)下 SOC-OCV 曲線Fig. 3 SOC-OCV curve under discharging

2.2 模型驗證

將二階 RC 模型在 Matlab/Simulink 中建模，并使用代碼生成技術，將模型代碼嵌入數(shù)字信號處理器(Digital Signal Processor，DSP)芯片中已編完整的充放電程序，與外接電源、電子負載形成了一個充放電測試實驗平臺。其中，該平臺能夠實時地在線分析和采集模型電流、電壓的輸入輸出數(shù)據(jù)[19]。

首先，將充滿電的 3 400 mAh 的 18650 鋰電池靜置 12 h，以保證電池各項性能狀態(tài)達到穩(wěn)定。然后，通過基于 DSP 的充放電測試平臺用 1 C 的電流對電池進行放電，通過放電記錄電池兩端真實輸出電壓。最后，將實驗測試結果與DSP 芯片計算出的模型輸出估計電壓進行對比，以驗證模型是否有效。

驗證結果如圖 4 和 5 所示，可以看出在整個放電過程中，鋰電池二階 RC 模型輸出的估計電壓與電池兩端的真實電壓相差不大。通過模型電壓輸出誤差圖(圖 5)可以分析得到，最大電壓誤差為 0.05 V，而整個驗證過程中模型電壓誤差大部分維持在 0.01～0.02 V。模型在電池放電的前 500 個采樣點和 2 500 個采樣點以后產生較大的誤差，恰好對應 SOC 為 0～20% 和80%～100%；而電池放電平臺區(qū)對應 SOC 為20%～80% 時，模型輸出誤差較小。由此可以得知，電池前期放電和末期放電時，電池電壓都是急劇變化，而急劇變化的電壓對模型輸出有較大影響，這也是對二階 RC 等效模型設計的考驗；而放電平臺區(qū)電壓變化相對平緩，所以模型輸出相對穩(wěn)定、準確。但從總體上來看，本文使用的二階 RC 等效模型能夠有效地模擬鋰電池的各項動態(tài)特性。

圖4 模型電壓輸出Fig. 4 Model voltage output

圖5 模型電壓輸出誤差Fig. 5 Model voltage output error

3 容積卡爾曼濾波算法

3.1 算法原理

容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filtering，CKF)是近幾年提出的一種新型非線性高斯濾波方法[20]，其具有嚴格的數(shù)學證明，通過三階容積法則的數(shù)值積分方法來近似高斯加權積分，充分利用了容積積分近似計算多維函數(shù)積分具有的高效率特點[21]。經過證明，其對隨機變量非線性變換后概率分布具有良好的逼近精度[22]。

鋰電池 SOC 估計問題由以下狀態(tài)方程和觀測方程數(shù)學模型描述[23]。

其中，X、Z分別為系統(tǒng)的狀態(tài)量和觀測量；F、H代表非線性函數(shù)；w、v分別代表過程噪聲與觀測噪聲。

設Q、R分別為過程噪聲與觀測噪聲的協(xié)方差矩陣，則 CKF 算法步驟如下：

(1)狀態(tài)預測

①根據(jù)k－1 時刻的狀態(tài)估計值和誤差協(xié)方差生成容積點

②計算容積點的傳播。

③計算狀態(tài)變量和狀態(tài)協(xié)方差的一步預測。

(2)測量更新

①根據(jù)一步預測值生成容積點。

②生成測量容積點。

③生成測量的一步預測和協(xié)方差的一步預測。

④計算濾波增益。

(3)狀態(tài)更新

3.2 方法流程圖

容積卡爾曼濾波鋰電池 SOC 估算流程如圖 6所示。

圖6 SOC 估算流程圖Fig. 6 SOC estimation flow chart

4 實驗設計與結果

將 3 400 mAh 的 18650 鋰電池充滿電，放置12 h，使電池各項性能達到穩(wěn)定。在室溫下，使用基于 DSP 芯片的充放電測試平臺對鋰電池進行放電并在線同時對鋰電池 SOC 進行估計(圖 7)。將二階 RC 等效模型的離散狀態(tài)空間方程代入到相應的容積卡爾曼濾波算法的狀態(tài)方程和觀測方程數(shù)學模型中進行運算。

圖7 在線估算 SOC 實驗平臺系統(tǒng)框圖Fig. 7 Block diagram of on-line estimation of SOC experimental platform system

圖8為實驗平臺實物圖，設定好各參數(shù)初值：SOC＝1，電容量CN＝3 400，采樣時間噪聲采用高斯白噪聲，使用 1 C 電流進行恒電流工況放電。將目前流行的擴展卡爾曼濾波(EKF)算法和本文容積卡爾曼濾波(CKF)算法的估算結果分別與實際鋰電池 SOC 情況進行對比，結果如圖 9 所示。

圖9 SOC 估計曲線Fig. 9 SOC estimation curve

圖10 SOC 估計誤差曲線Fig. 10 SOC estimation error curve

圖8 在線估算鋰電池 SOC 實驗平臺實物圖Fig. 8 On-line estimation of the physical map of lithium battery SOC experimental platform

由圖 9 可知， CKF 算法估算結果比 EKF 算法估算效果好。由圖 10 和表 1 可以更直觀地發(fā)現(xiàn)，EKF 估算的 SOC 平均絕對誤差為 1.79%，最大絕對誤差達到了 3.17%；而 CKF 估算的SOC 平均絕對誤差保持在 0.98% 左右，最大絕對誤差僅 1.69%。從整個實驗過程來看，EKF 估算誤差不是很大，但 CKF 估算性能更加精確，提高了一倍。該結果充分說明了容積卡爾曼濾波具有更加良好的非線性逼近功能、數(shù)值精度及濾波穩(wěn)定性。

表1 SOC 估計誤差表Table 1 SOC estimation error table

為了驗證算法的穩(wěn)定性和適應性，使用間隔放電的變電流工況進行實驗。每間隔 1 min 用1 C 電流放電一次，并持續(xù) 1 min，反復進行直至實驗結束。依然將擴展卡爾曼濾波(EKF)算法和本文容積卡爾曼濾波(CKF)算法的估算結果分別與實際鋰電池 SOC 情況進行對比。

圖11 SOC 估計曲線Fig. 11 SOC estimation curve

圖11為兩種方法的 SOC 估計曲線。由圖11 可知，相對于 EKF 算法，CKF 算法在變流工況下估算的誤差都有所增加。由圖 12 和表 2 可知，EKF 估算的 SOC 平均絕對誤差為 3.04%，最大絕對誤差達到了 6.5%；而 CKF 估算的 SOC平均絕對誤差為 1.84% 左右，最大絕對誤差為4.5%。與恒流放電相比，間隔放電存在電壓突變的情況，電池電壓會急劇不穩(wěn)定，估算難度比恒流情況下更加困難。但 CKF 估算的 SOC 平均誤差低于 2%，實驗過程中大部分時間只在 2% 內波動；而 EKF 估算 SOC 平均誤差超過了 3%，且在整個過程中波動較大，嚴重偏離了真實值。從而驗證了 CKF 估算鋰電池 SOC 方法具有較強的穩(wěn)定性和適應性。

圖12 SOC 估計誤差曲線Fig. 12 SOC estimation error curve

表2 SOC 估計誤差表Table 2 SOC estimation error table

5 相似研究的對比分析

韓忠華等[24]使用擴展卡爾曼濾波算法并采用神經網絡擬合法降低模型參數(shù)擬合誤差，SOC 估計誤差小于 3%。本文使用 CKF 算法估計鋰電池SOC 誤差小于 2%，較前者估計精度有所進步。

擴展卡爾曼濾波是基于泰勒級數(shù)展開的非線性函數(shù)近似，可以解決非線性系統(tǒng)的問題。但擴展卡爾曼濾波忽略了泰勒展開的高階項，系統(tǒng)誤差較大。相比擴展卡爾曼濾波算法估計鋰電池 SOC，容積卡爾曼濾波器具有更好的穩(wěn)定性和非線性系統(tǒng)計算方法。同時，在容積卡爾曼濾波方法中，容積點對稱性出現(xiàn)在具有較低維度的子空間中，并且其權重是相同的，不需要對參數(shù)提前進行設置，操作更簡單[25]。但由于實驗的局限性，不能很好地證明并推廣到所有一般鋰電池 SOC 估計。相比各研究者對 EKF、UKF 估計SOC 積累的經驗做出的改進能夠應用在各種型號鋰電池，CKF 算法在估計 SOC 研究中還需要進行不斷改進才能更好地調高適應性與準確性。

6 結 論

本文通過建立二階 RC 等效電路模型對鋰電池的剩余電荷進行研究。首先，采用最小二乘法辨識了模型參數(shù)，并使用多項式擬合求得開路電壓與 SOC 曲線關系；然后，應用容積卡爾曼濾波算法估計鋰電池 SOC，并將容積卡爾曼濾波算法與擴展卡爾曼濾波算法進行對比實驗。結果顯示，容積卡爾曼濾波算法估算鋰電池 SOC 是有效的，誤差小于 2%，并且具有良好的穩(wěn)定性。