江蘇邳州市鄒莊鎮(zhèn)中心小學(xué) 翟新偉

當(dāng)下，小學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向?！昂诵乃仞B(yǎng)”是什么？仁者見仁，智者見智，但也漸漸達(dá)成了一些共識(shí)。北京師范大學(xué)心理學(xué)教授林崇德教授認(rèn)為，核心素養(yǎng)是一種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力?！督逃芯俊冯s志主編袁振國(guó)則深刻地指出，“知識(shí)的問題關(guān)鍵不是多少的問題，而是結(jié)構(gòu)的問題，不是教多少的問題，而是怎么教的問題?！睂?duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力更深刻地表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)化思維能力上。什么是“結(jié)構(gòu)化思維”？結(jié)構(gòu)化思維就是一種層析性、系統(tǒng)性、本質(zhì)性、遷移性的思維。那么，如何形成學(xué)生的“結(jié)構(gòu)化思維”呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

一、整體呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生“系統(tǒng)性思維”

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)整體，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。某種意義上，數(shù)學(xué)教材將數(shù)學(xué)知識(shí)分門別類只是為了教學(xué)的需要。教學(xué)中，教師要立足知識(shí)整體，從知識(shí)整體上把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。教師要有瞻前顧后、左顧右盼的解讀教材的眼光，洞察每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的源與流，把握知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈。對(duì)某些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，教師可以整體呈現(xiàn)，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，讓學(xué)生“見樹木，更見森林”。引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)能動(dòng)地納入學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。

例如：教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》這一單元，對(duì)于“分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題”的教學(xué)，許多教師還在進(jìn)行特征分析——“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”。由于學(xué)生在 “分?jǐn)?shù)乘法”單元已經(jīng)學(xué)習(xí)了“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”內(nèi)容，因此這種歸納無(wú)疑增加了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解難度，學(xué)生在解決問題時(shí)經(jīng)常將這兩類問題混淆。筆者在教學(xué)中，整體呈現(xiàn)問題，如（1）果園里有果樹600棵，其中桃樹占總果樹棵數(shù)的，桃樹有多少棵？（2）果園里有桃樹360棵，占總果樹棵數(shù)的，果樹一共有多少棵？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，得到良好的教學(xué)效果。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)，兩道題最本質(zhì)的地方相同，即 “桃樹占總果樹棵數(shù)的”，所不同的是：第一道題單位“1”的量是已知的，第二道題的單位“1”的量是未知的；第一道題的已知量在第二道題中是未知量，第一道題的未知量在第二道題中是已知量。因此，學(xué)生認(rèn)為，這兩道題的基本數(shù)量關(guān)系是相同的，解題思路也是相同的。盡管第二道題單位 “1”的量未知，但我們完全可以設(shè)未知數(shù)，借助列方程解應(yīng)用題來(lái)解決。這樣的教學(xué)，將分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的內(nèi)容與分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的內(nèi)容有效對(duì)接，真正實(shí)現(xiàn)了知識(shí)整合。在解決問題的過(guò)程中，學(xué)生的思維變得活躍了。

整體性呈現(xiàn)問題，將問題置于比較情境之中，有助于培養(yǎng)學(xué)生串式思考、網(wǎng)狀思維能力，有助于培育學(xué)生“舉一反三”“觸類旁通”的學(xué)習(xí)遷移能力。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題主動(dòng)辨析、比較中，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知獲得質(zhì)的提升，思維深度得到真正開掘。

二、過(guò)程探究，培育學(xué)生“層次性思維”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性探究，從條件入手，對(duì)照問題展開深入分析，從而由因?qū)Ч?gòu)解決問題的方案；或者從問題入手，層層分析解決問題所必需的條件，執(zhí)果索因，建構(gòu)解決問題的方案。在解決問題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生有序、有理、有向思維，厘清要解決怎樣的問題，需要怎樣的條件等，避免出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”的解決問題現(xiàn)象。

例如：教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》這一課時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生分多個(gè)層次展開探索，有的學(xué)生采用“測(cè)量法”，探索出三角形的內(nèi)角和為180°左右；有的學(xué)生采用“撕角法”，將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，探索出三角形的內(nèi)角和是180°；還有的學(xué)生運(yùn)用“折角法”，將三角形的三個(gè)內(nèi)角折到一起，探索出三角形的內(nèi)角和是180°。這時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為三角形的內(nèi)角和是180°，但也有部分學(xué)生表示懷疑，認(rèn)為三角形的內(nèi)角和在180°左右。為此，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生展開層次性探索，一是探索特殊的三角形——直角三角形的內(nèi)角和；二是探索銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。在探索直角三角形的內(nèi)角和時(shí)，筆者出示了一個(gè)長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生思考長(zhǎng)方形和直角三角形之間的關(guān)系。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)完全相同的直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形；有的學(xué)生認(rèn)為，任意一個(gè)長(zhǎng)方形都可以沿著對(duì)角線分成兩個(gè)完全相同的直角三角形。學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)，任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°。為了深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷爬坡、深化，筆者出示了一個(gè)銳角三角形、一個(gè)鈍角三角形，借助輔助線將銳角三角形和鈍角三角形沿著高分成了兩個(gè)直角三角形。學(xué)生運(yùn)用直角三角形的內(nèi)角和是180°展開嚴(yán)密的推理發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)三角形（含任意一個(gè)銳角三角形和任意一個(gè)鈍角三角形），都可以分成兩個(gè)直角三角形，每一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180°。因此,銳角三角形和鈍角三角形分成的兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360°。用這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和減去高所在的兩個(gè)直角和也就是180°，就能得到三角形的內(nèi)角和是180°。學(xué)生從特殊到一般，有理有序有據(jù)，層層歸納出三角形的內(nèi)角和。在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，歸納與演繹圓融，實(shí)驗(yàn)與思想對(duì)接，思維與創(chuàng)造共生。

教師引導(dǎo)學(xué)生從自己的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，借助操作實(shí)驗(yàn)，展開自主探究，形成準(zhǔn)科學(xué)結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助演繹推理推出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。最后運(yùn)用完全歸納法形成結(jié)論——三角形的內(nèi)角和是180°。在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步深入。

三、反思追問，培養(yǎng)學(xué)生“本質(zhì)性思維”

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅要遵循數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯，而且要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開反省性追問，追問數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的源與流，在追問中引導(dǎo)學(xué)生刨根問底，培養(yǎng)學(xué)生的本質(zhì)性思維。只有通過(guò)不斷反思、追問，學(xué)生才能洞察數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能對(duì)知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)位置、知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系有深刻的把握，才能對(duì)知識(shí)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)發(fā)生、發(fā)展和融合有所領(lǐng)悟，才能舉一反三、融會(huì)貫通。

例如：“平行四邊形的面積”是小學(xué)階段平面圖形面積教學(xué)的重要內(nèi)容，它承上（長(zhǎng)方形面積）啟下（三角形、梯形的面積），從轉(zhuǎn)化思想的滲透來(lái)看，這是圖形面積轉(zhuǎn)化的第一堂課，具有“種子課”的意義和價(jià)值。教學(xué)中，在學(xué)生運(yùn)用“割補(bǔ)法”推導(dǎo)出平行四邊形的面積后，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開適度追問，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將感性的操作提煉成理性的數(shù)學(xué)思想和方法。

追問1：為什么要將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？（用數(shù)方格的方法比較麻煩，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形就可以運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算）

追問2：為什么要沿著高將平行四邊形分成直角梯形、直角三角形或者兩個(gè)直角梯形？（只有沿著高剪開，才能產(chǎn)生直角，進(jìn)而將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形）

追問3：在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，什么發(fā)生了變化？（形狀、周長(zhǎng)等）什么沒有發(fā)生變化？（面積）

本次提升面積為3 770 m2。該節(jié)點(diǎn)在設(shè)計(jì)上考慮將文化內(nèi)涵融入活字雕刻雕塑中，雕塑周圍以書本的異形小品圍繞，同時(shí)設(shè)置綠池和特色鋪裝營(yíng)造整體景觀效果，為居民提供一個(gè)具有教育文化意義的活動(dòng)、交流小空間。在植物搭配上采用宿根花卉、花灌木、常青樹和喬木等，形成從低到高的植物景觀空間層次，同時(shí)在季相上也有所變化。圖4為城府南街與佳木路節(jié)點(diǎn)效果圖。

追問4：轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和轉(zhuǎn)化前的平行四邊形之間有著怎樣的關(guān)系？（對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和底、寬和高相等）

追問5：三角形、梯形可以轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形嗎？怎樣轉(zhuǎn)化呢？（向未知數(shù)學(xué)領(lǐng)域延伸）

一系列追問，讓學(xué)生深刻地理解了轉(zhuǎn)化的思想、方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知由感性上升到理性。原來(lái)，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化往往是將未知轉(zhuǎn)化成已知，將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單。轉(zhuǎn)化作為一種數(shù)學(xué)思想、方法，必將在不斷地反思和追問中扎根學(xué)生的心靈深處。學(xué)生在追問中思考，在思考中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中真正地獲得。這樣不斷追問的過(guò)程也是學(xué)生立體反思的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維更豐滿，思維品質(zhì)得到了真正提升。

四、活化運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生“遷移性思維”

學(xué)生數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化思維，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的掌握上，而且表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用上，表現(xiàn)為學(xué)生在問題情境中能夠主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，這就是學(xué)生的數(shù)學(xué)“遷移性思維”。遷移性思維是一種主動(dòng)、積極的思維，帶有一種聯(lián)想性質(zhì)。教學(xué)中，教師應(yīng)該立足學(xué)生立場(chǎng)，幫助學(xué)生顯現(xiàn)沉淀的經(jīng)驗(yàn)、連綴散落的經(jīng)驗(yàn)，外化內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)，形成遷移性的數(shù)學(xué)意識(shí)、能力。

例如：教學(xué)《圓柱的體積》，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶，喚醒學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，助推學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)積極遷移，自主推導(dǎo)、建構(gòu)圓柱的體積。

啟發(fā)1：圓的面積是怎樣推導(dǎo)的？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的什么，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的什么？

啟發(fā)2（帶有遷移性質(zhì)）：圓柱的體積可以怎樣推導(dǎo)？長(zhǎng)方體的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱的什么，長(zhǎng)方體的寬相當(dāng)于圓柱的什么，長(zhǎng)方體的底面積相當(dāng)于圓柱的什么，長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于圓柱的什么？

啟發(fā)3：圓柱還可以怎樣擺放？不同的位置擺放，其長(zhǎng)、寬、底面積和高相同嗎？分別相當(dāng)于原來(lái)圓柱的什么？

啟發(fā)4：圓柱的體積公式是什么？比較圓柱的體積公式推導(dǎo)過(guò)程和圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，你獲得了怎樣的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想啟示？

啟發(fā)5：學(xué)習(xí)了圓柱和長(zhǎng)方體、正方體的體積，比較一下，它們有什么相同的地方？

在這個(gè)基礎(chǔ)上，學(xué)生展開剪一剪、拼一拼等動(dòng)手操作活動(dòng)，如研究圖形面積時(shí)可以剪一剪、拼一拼，可以將要研究的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，等等，通過(guò)對(duì)原有學(xué)習(xí)情境的回顧，將學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)正確遷移到新的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。如果缺少了這一環(huán)節(jié)，很多學(xué)生可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)原有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的順利遷移。

如何讓學(xué)生主動(dòng)提取已有經(jīng)驗(yàn)、內(nèi)隱經(jīng)驗(yàn)和散落經(jīng)驗(yàn)？如何讓學(xué)生重組自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？一個(gè)重要的方式就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)遷移。遷移不僅助推學(xué)生原經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化，而且催發(fā)學(xué)生新經(jīng)驗(yàn)的生成。從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)習(xí)遷移的機(jī)制就是學(xué)習(xí)的機(jī)制。當(dāng)學(xué)生將自己原有經(jīng)驗(yàn)提取并遷移到新的問題情境、新的問題研究活動(dòng)中時(shí)，就意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造。這是一種不斷同化與順應(yīng)的過(guò)程，通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生不斷充實(shí)、豐富、完善自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

華東師范大學(xué)教育學(xué)系吳亞萍教授深刻地指出，“教學(xué)策略不同于教學(xué)原則、教學(xué)方法，教學(xué)策略立意的高遠(yuǎn)之處在于：一是樹立整體教學(xué)思想；二是分析內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系；三是對(duì)整體、結(jié)構(gòu)進(jìn)行謀劃……”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以“結(jié)構(gòu)化的教學(xué)”統(tǒng)馭數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化的知識(shí)”，進(jìn)而催生學(xué)生的“結(jié)構(gòu)化思維”，讓數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值最大化。這或許就是結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值旨?xì)w。?