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(湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán)余家漾校區(qū),浙江 湖州 313000)

1 問題再現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，

圖1

求證：

1)AE=AF；

(2016年山東省淄博市數(shù)學(xué)中考試題第22題)

2 學(xué)生的解題狀況及分析

2．1 解題狀況

此題為中位線一課專題練習(xí)中出現(xiàn)的問題.批閱后筆者對(duì)所任教的兩個(gè)班108位學(xué)生的解答情況作了簡(jiǎn)要統(tǒng)計(jì)，結(jié)果表明：大多學(xué)生能夠解決第1)小題，但第2)小題僅有24人做對(duì)(其中選擇倍長(zhǎng)BE至點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG的有12人；選擇作AB的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GM的有7人；有2人選擇了作CG∥BE，交EM延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；另外3人想出了其他方法).做錯(cuò)的學(xué)生中，過點(diǎn)C作EM平行線的共有22人，不得法的有5人.還有57人空題未作答.

2．2 錯(cuò)因分析

中位線的概念雖然與三角形有關(guān)，但教材之所以未將之放入三角形的相關(guān)章節(jié)，是因?yàn)槠涠ɡ碜C明涉及平行四邊形的性質(zhì)和判定，于是將之安排到平行四邊形一章的章末.

此題出現(xiàn)在中位線專題練習(xí)“與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法”中.一方面，由于初學(xué)中位線定義，許多學(xué)生對(duì)于中位線定理的運(yùn)用尚處于給圖才能識(shí)別的階段，主動(dòng)構(gòu)造中位線來解題的經(jīng)驗(yàn)尚淺；另一方面，在三角形全等的相關(guān)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過“倍長(zhǎng)中線”的方法，但由于學(xué)習(xí)時(shí)間久遠(yuǎn)，基本功不扎實(shí)的學(xué)生難免遺忘.這都是造成學(xué)生空題的原因.

值得注意的是：有22人選擇了過點(diǎn)C作CG∥EM，并直接認(rèn)為EM是△BCG的中位線.但由于八年級(jí)學(xué)生并未學(xué)習(xí)過平行截割定理，因此，本題在目前階段，利用這樣的方式來添加輔助線并進(jìn)行證明就有解法超前之嫌.事后筆者追問原因后得知：一小部分學(xué)生承認(rèn)是通過課外輔導(dǎo)或查詢網(wǎng)絡(luò)的，其余大部分則是因?yàn)橹饔^臆斷了“中位線判定定理”(即過一邊中點(diǎn)作另一邊的平行線段，交第三邊于一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)的線段就是該三角形的中位線)存在而造成的.下面我們著重分析第2)小題的證法以及它們是怎樣被想到的.

3 證法探究

由中點(diǎn)聯(lián)想中位線，構(gòu)造中位線，利用中位線定理解決問題是較容易想到的方法.

證法1如圖2，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G，使BE=EG，聯(lián)結(jié)GC，則EM是△BCG的中位線，從而

EM∥CG.

由第1)小題知

∠AEF=∠AFE，

從而

∠G=∠ACG，

即

AG=AC，

圖2 圖3

證法2如圖3，延長(zhǎng)CF至點(diǎn)G，使CF=FG，聯(lián)結(jié)GB，則FM是△BCG的中位線，故EM∥BG，從而

∠G=∠AFE， ∠GBA=∠E.

由第1)小題知

∠E=∠AFE，

即

∠G=∠GBA，

從而

AG=AB，

證法3如圖4，取AB的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GM，則GM是△BAC的中位線，GM從而

∠GME=∠AFE.

由第1)小題知

∠E=∠GME，

從而

GM=GE，

故

圖4 圖5

證法4如圖5，取AC的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MG，則MG是△BAC的中位線，GM從而

∠E=∠GMF.

由第1)小題知

∠GFM=∠GMF，

從而

GM=GF.

設(shè)GM=x，AF=y，則

CG=AG=x+y，AB=2GM=2x，AE=x，

于是

BE=AB+AE=2x+y，

AB+AC=2x+x+y+x+y=4x+2y=2(2x+y)，

即

由中點(diǎn)不僅可以聯(lián)想中位線定理，還可以用“倍長(zhǎng)中線”法來構(gòu)造全等三角形.

圖6 圖7

證法5如圖6，倍長(zhǎng)EM至點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG，則

△BME≌△CMG(SAS)，

于是

∠E=∠G=∠CFG，

從而

CF=CG，

證法6如圖7，倍長(zhǎng)FM至點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)BG，則

△BMG≌△CMF(SAS)，

從而

BGCF，

于是

∠G=∠AFE=∠E，

故

BE=BG，

因此

遺憾的是上述6種證法，大多數(shù)學(xué)生只想到了證法1和證法3，值得驚喜的是個(gè)別學(xué)生還想到了以下獨(dú)到的證法.

圖8

證法7如圖8，分別取AB,AC的中點(diǎn)G,H，聯(lián)結(jié)MG,MH，則MH，MG都是△ABC的中位線，易證

從而

評(píng)注此法充分利用了三角形的中位線定理，較之證法3和證法4，證法7看上去更為直觀、易懂.但要想到它就不太容易，必須在平時(shí)的練習(xí)中做到精練多思.

證法8如圖6，延長(zhǎng)EM，以C為圓心、CF的長(zhǎng)為半徑畫弧，交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則結(jié)合第1)小題不難得知∠G=∠E，從而

△BME≌△CMG(AAS)，

因此CG=BE，以下同證法5.

評(píng)注此法與證法5同圖，但構(gòu)造輔助線的方式大不相同，究其實(shí)質(zhì)，也是在構(gòu)造兩個(gè)全等三角形.經(jīng)過討論，課后又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖6還可以解釋為構(gòu)造BE的平行線CG，同樣可同證法5，可謂是“一圖多法”了.若用同樣的眼光去看待圖7，那么證法6亦可衍生出類似于上述的兩種方法，本文略.

由上可見，本題證法五花八門，梳理之后，我們發(fā)現(xiàn)這些證法之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.區(qū)別：其一，在于構(gòu)造輔助線的外在表現(xiàn)形式(不同的輔助線添加方式)的差異；其二，構(gòu)造輔助線的內(nèi)在方法(即利用中位線、倍長(zhǎng)中線、作平行線、等腰三角形作圖等)的差異.但對(duì)于學(xué)生而言，更重要的是去思考如何發(fā)現(xiàn)這些證法之間的聯(lián)系？不難發(fā)現(xiàn)在證法1～4和證法7中，點(diǎn)M是某一三角形中位線的一個(gè)端點(diǎn)；在證法5,6,8中，點(diǎn)M是某一對(duì)Z字型全等三角形的公共頂點(diǎn).可見，無論哪種證法都是在圍繞BC的中點(diǎn)M去構(gòu)造輔助線的，可以說，這些輔助線方法的共同特征就是：它們都是由中點(diǎn)M所派生出來的圖形.在解題中，學(xué)生若能抓住這一共同特性，那么上述各法就有可能接踵而來.

4 教學(xué)反思

4．1 在注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的同時(shí)加強(qiáng)邏輯推理的嚴(yán)密性

從解題的主要錯(cuò)誤來看，誤用中位線判定定理的學(xué)生占到81%.筆者注意到中位線一課的教學(xué)是從定義引入到定理證明最后到應(yīng)用，在此過程中，筆者將主要精力投入到了定理證明的輔助線作法之中，而忽視了對(duì)于定義邏輯性基礎(chǔ)的強(qiáng)調(diào).與此同時(shí)，前期所學(xué)內(nèi)容“定理與逆定理”、等腰三角形三線合一定理中的“知二推一”等的負(fù)遷移因素，也是造成學(xué)生誤用“中位線判定定理”的一大誘因.可見，在平時(shí)的幾何教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)在注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的同時(shí)，要強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)密性.對(duì)于一些存在逆定理的定理，如“30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”和“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等，應(yīng)當(dāng)在平時(shí)的教學(xué)中給出詳細(xì)的逆定理的敘述和證明，切不可為了趕進(jìn)度而“一語(yǔ)帶過”.另一方面，在進(jìn)行基本圖形的教學(xué)過程中，亦應(yīng)同時(shí)強(qiáng)調(diào)其邏輯性基礎(chǔ)與使用前提，否則，學(xué)生可能出現(xiàn)張冠李戴的錯(cuò)誤.

4．2 輔助線的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)呈“螺旋上升”之勢(shì)

對(duì)基本技能的遺忘使更多學(xué)生選擇了放棄，其中有部分學(xué)生未能想到輔助線的添法，但通過生生互動(dòng)和講解，大多數(shù)學(xué)生又恍然大悟，大有“為什么我沒想到”之嘆，輔助線對(duì)于他們來說，好比魔術(shù)師帽子里突然冒出的兔子一樣不可思議.由此可見，“輔助線作法怎么教”成了幾何教學(xué)的一大困擾.

在小學(xué)階段，大多數(shù)幾何定理都無法給出證明，如“三角形內(nèi)角和定理”只是通過剪、拼、湊的實(shí)驗(yàn)方式向?qū)W生解釋其正確性.這種實(shí)驗(yàn)式的操作活動(dòng)為初中階段對(duì)這個(gè)定理的輔助線證明埋下了種子.為此，教師應(yīng)當(dāng)在課堂上將學(xué)生的思維引導(dǎo)到如何借助小學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法去發(fā)現(xiàn)這條輔助線上來，這樣，思維的種子就有了發(fā)芽的可能性，輔助線的添加就水到渠成，這為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)如何添加輔助線提供了一個(gè)重要范式.毫不夸張地說，許多學(xué)生正是從這一節(jié)課開始，對(duì)于輔助線添加的方法產(chǎn)生了濃厚且持久的興趣，踏入到一座真正的幾何花園中.

由此可見，對(duì)輔助線添法的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是層層深入和螺旋式上升的，要經(jīng)歷一段漫長(zhǎng)、深入的過程.初一學(xué)生接觸線段的中點(diǎn)時(shí)就要經(jīng)歷從形到數(shù)或從數(shù)到形的表征與認(rèn)識(shí)，這時(shí)，教師需要注重學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系(倍半等)的幾何表述與理解.當(dāng)學(xué)到角平分線內(nèi)容時(shí)，這種數(shù)量關(guān)系的表征形式會(huì)自動(dòng)從中點(diǎn)數(shù)量關(guān)系的表征形式中遷移過來，只不過對(duì)象從點(diǎn)變成了射線、線段變成了角，筆者認(rèn)為這是“由點(diǎn)生形”的第一階段.到了初二階段學(xué)習(xí)了三角形的中線、全等三角形、等腰三角形等內(nèi)容，開始學(xué)習(xí)“倍長(zhǎng)中線”“三線合一”等技巧，此時(shí)，前一階段關(guān)于線段的中點(diǎn)的表征內(nèi)容又成為現(xiàn)階段研究對(duì)象的常識(shí)，這是“由點(diǎn)生形”的第二階段.學(xué)到中位線定理時(shí)，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)開始明白前一階段所學(xué)到的輔助線作法(倍長(zhǎng)中線、見中點(diǎn)連中線等)都是在圍繞中點(diǎn)開展的，初步具備了利用已知條件中的中點(diǎn)嘗試作出輔助線的能力，這時(shí)，過去的倍長(zhǎng)中線、見中點(diǎn)連中線等作輔助線的方法自然應(yīng)成為現(xiàn)階段學(xué)習(xí)內(nèi)容中的常識(shí)(遺憾的是，那些空題的學(xué)生大多沒有形成這一常識(shí))，如此學(xué)生自然會(huì)去思考如“見中點(diǎn)構(gòu)中位線”的輔助線方法是否可行？這就是“由點(diǎn)生形”的第三階段了.可以預(yù)想，到九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，“由點(diǎn)生形”的點(diǎn)又可以拓展為非中點(diǎn)的情形，此時(shí)從第三階段學(xué)來的那些思想方法又成為這一階段的常識(shí).筆者以為，“由點(diǎn)生形”的輔助線學(xué)習(xí)就是這樣螺旋上升的.

反思學(xué)生解答的行為不難發(fā)現(xiàn)，空題的學(xué)生的主要問題出在“由點(diǎn)生形”的中級(jí)階段.學(xué)習(xí)層次上出現(xiàn)脫節(jié)現(xiàn)象，就不難解釋他們的束手無策了.弗賴登塔爾認(rèn)為：常識(shí)要成為數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過提煉和組織，而凝聚成一定的法則.這些法則在高一層次里又成為常識(shí)，再一次被提煉組織凝聚成新法則，如此不斷螺旋上升.數(shù)學(xué)的發(fā)展過程就顯出層次性，構(gòu)成許多等級(jí).一個(gè)人在數(shù)學(xué)上達(dá)到怎樣的層次因人而異，決定于他的先天和后天，但一個(gè)為多數(shù)人都能達(dá)到的層次必然存在.教師的任務(wù)就是去幫助多數(shù)人達(dá)到這一層次，并努力提高[1].