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(三門(mén)第二高級(jí)中學(xué),浙江 三門(mén) 317100)

“動(dòng)態(tài)”充滿(mǎn)著神奇，孕育著創(chuàng)造．動(dòng)態(tài)問(wèn)題滲透著運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，是立體幾何的一大難點(diǎn)，又是高考的一大亮點(diǎn)；這類(lèi)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋廣面，滲透著主要的數(shù)學(xué)思想方法，能全方位地考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)撃艿龋畬W(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，總存在著一定的心理困惑或思維障礙.解決好立體幾何的“動(dòng)態(tài)”題型，不僅可以提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，而且可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和綜合解題能力.

所謂“動(dòng)態(tài)”立體幾何題,是指在點(diǎn)、線(xiàn)、面運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形中，探尋點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)角與距離的計(jì)算.由于這類(lèi)題情景新穎、解法靈活、極富有思考性和挑戰(zhàn)性，能更好地考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力,因此成了高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.我們知道,動(dòng)與靜是矛盾的兩個(gè)方面,動(dòng)中有靜,靜中有動(dòng).

立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題就變化起因而言大致可分為兩類(lèi)：一是平移；二是旋轉(zhuǎn).就所求變量而言可分為3類(lèi)：一是相關(guān)線(xiàn)、面、體的測(cè)度；二是角度；三是距離.立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解決需要較高的空間想象能力與化歸處理能力，在各省市的高考選擇題與填空題中也時(shí)有出現(xiàn).在解“動(dòng)態(tài)”立體幾何題時(shí),如果我們能努力探尋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中“靜”的一面，動(dòng)中求靜，往往能以靜制動(dòng)、克難致勝.下面是筆者對(duì)破解立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的一些思考，以期拋磚引玉.

1 去掉枝蔓見(jiàn)本質(zhì)——大道至簡(jiǎn)

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，需從復(fù)雜的圖形中分化出最簡(jiǎn)單的具有實(shí)質(zhì)性意義的點(diǎn)、線(xiàn)、面，讓幾何圖形的實(shí)質(zhì)“形銷(xiāo)骨立”，即從混沌中找出秩序，是解決“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題的關(guān)鍵.

圖1

例1如圖1，直線(xiàn)l⊥平面α，垂足為O.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.點(diǎn)A是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B1在平面α內(nèi)，則點(diǎn)O到線(xiàn)段CD1中點(diǎn)P的距離的最大值為_(kāi)_____.

分析從圖形分化出4個(gè)點(diǎn)O，A，B1，P，其中△AOB1為直角三角形，固定AOB1，點(diǎn)P的軌跡是在與AB1垂直的平面上且以AB1的中點(diǎn)Q為圓心的圓，從而

當(dāng)且僅當(dāng)OQ⊥AB1，且點(diǎn)O，Q，P共線(xiàn)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)直線(xiàn)AB1與平面α成45°角.

2 極端位置巧分析——窮妙極巧

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，對(duì)于移動(dòng)問(wèn)題，由圖形變化的連續(xù)性，窮盡極端特殊之要害，往往能直取答案.

例2在正四面體A-BCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)，則面AEF與面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是______.

分析本例可用極端位置法來(lái)加以分析.

先尋找垂直：記O為△ACD的中心，G為OC的中點(diǎn)，則BO⊥面ACD，EG⊥面ACD.如圖2，過(guò)點(diǎn)A，E，G的平面交直線(xiàn)BD于點(diǎn)F.此時(shí)，面AEF與面ACD所成二面角的正弦值為1.

圖2 圖3

3 用法向量定平面——定海神針

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，有關(guān)角度計(jì)算問(wèn)題，用法向量定平面，可將線(xiàn)面角或面面角轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)角.

圖4

4 鎖定垂面破翻折——獨(dú)擋一面

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，對(duì)于翻折或投影問(wèn)題，若能抓住相關(guān)線(xiàn)或面的垂面，化空間為平面，則容易找到問(wèn)題的核心.

例4如圖5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，D為線(xiàn)段BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于兩端點(diǎn))，△ABD沿AD翻折至B1D⊥DC，點(diǎn)A在面B1CD上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是

( )

A.線(xiàn)段NO為定長(zhǎng)

C.∠AMO+∠B1DA>180°

D.點(diǎn)O的軌跡是圓弧

圖5 圖6

∠B1DB2<180°-∠B1DA，

得

∠B1DK>∠B1DA，

于是

∠AMO+∠B1DA<180°.

故選C.

5 覓得定值明軌跡——?jiǎng)又杏徐o

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，探尋變化過(guò)程中的不變關(guān)系，是解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的常用手段.

例5如圖7，已知線(xiàn)段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓

C.拋物線(xiàn) D.不是平面圖形

圖7 圖8

分析如圖8，設(shè)⊙O的半徑為r，取BC的中點(diǎn)M，則

OM⊥BC，MH=MC.

因?yàn)锳B⊥面BCD，所以BC是AC在面BCD上的射影，從而OM⊥面ABC，得OM⊥MH，于是

OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2，

即OH=r，亦即動(dòng)點(diǎn)H在以O(shè)為球心、r為半徑的球面上.又因?yàn)锽H⊥AD，B為定點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)H又在過(guò)點(diǎn)B且垂直于直線(xiàn)AD的定平面上,故點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓.

6 構(gòu)建函數(shù)求最值——以數(shù)解形

在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題時(shí)，對(duì)于一些很難把握運(yùn)動(dòng)模型(規(guī)律)的求值問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)建某個(gè)變量的函數(shù)，以數(shù)解形.

圖9

例6如圖9，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外一點(diǎn)P和線(xiàn)段AC上一點(diǎn)D，滿(mǎn)足PD=DA，PB=BA，則四面體P-BCD的體積的最大值是______.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析設(shè)M，N分別為AC，AP的中點(diǎn)，因?yàn)锽A=BP=BC，PD=DA,所以點(diǎn)B在平面PAC上的射影為△PAC的外心O，且點(diǎn)O在直線(xiàn)ND上.又因?yàn)锳B=BC=2，∠ABC=120°，所以

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)取到等號(hào).因此，四面體P-BCD的體積為

此時(shí)點(diǎn)O，M，D重合,即點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且平面PBD與平面ABC垂直相交于BD.

總之，解立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，是創(chuàng)新的過(guò)程．方程、函數(shù)和圖形變換是基礎(chǔ)，因此夯實(shí)基礎(chǔ)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．化整為零的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想等是解決立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的最佳策略．真正破解動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題，需要整體把握動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，更需要深厚的空間想象之內(nèi)功．如果說(shuō)招式是術(shù)，那么內(nèi)功就是修行，即不斷積累知識(shí)與技巧、經(jīng)驗(yàn)與經(jīng)歷．所謂模式就是在特定環(huán)境下人們解決某類(lèi)重復(fù)出現(xiàn)問(wèn)題的一套成功或有效的解決方案．在平時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生作適當(dāng)?shù)淖兓屯卣褂?xùn)練，開(kāi)闊視野，培養(yǎng)動(dòng)態(tài)思維，鍛煉數(shù)學(xué)思想，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高應(yīng)變能力，創(chuàng)造性地使用所學(xué)知識(shí)，如此才能從容應(yīng)對(duì)新的動(dòng)態(tài)問(wèn)題．