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(南京市第二十九中學(xué),江蘇 南京 210036)

0 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)的最大亮點(diǎn)就是以學(xué)科核心素養(yǎng)為主要抓手.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等.如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為當(dāng)今高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的熱點(diǎn).如何讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的先進(jìn)理念從學(xué)術(shù)領(lǐng)域走向課堂實踐，筆者通過余弦定理的教學(xué)案例做了部分教學(xué)實錄，以饗讀者.

1 內(nèi)容解讀與目標(biāo)設(shè)置

余弦定理位于蘇教版《數(shù)學(xué)(必修5)》第1.2節(jié)，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、正弦定理等相關(guān)知識，這為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容起到了很好的鋪墊作用.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程和公式的推導(dǎo)，教學(xué)難點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明.

2 學(xué)情分析與教學(xué)策略

本課之前，學(xué)生已經(jīng)熟悉了三角函數(shù)、平面向量和正弦定理等內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上利用幾何法、向量法、解析法等探求余弦定理，學(xué)生已有一定的基礎(chǔ).由于學(xué)生的創(chuàng)造意識不強(qiáng)，分析問題不夠深入，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度.另外，從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)、應(yīng)用方程思想建構(gòu)一般化數(shù)學(xué)模型以及解決數(shù)學(xué)形式化問題是學(xué)生的難點(diǎn).突破的主要策略是：通過合理創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，通過師生間交流、學(xué)生間相互合作，力求讓學(xué)生自主探究出余弦定理的公式.學(xué)生經(jīng)歷定理產(chǎn)生的過程，認(rèn)識到新舊知識之間的聯(lián)系，在探究過程中不斷感受解決數(shù)學(xué)新問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)新知識的方法，從而切實增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)情境設(shè)計與思考

3.1 知識回顧，溫故知新

師：1)正弦定理是三角形的邊與角的等量關(guān)系，正弦定理的內(nèi)容是什么？你能用文字語言、數(shù)學(xué)語言敘述嗎？你能用哪些方法證明呢？

生1：正弦定理：在一個三角形中各邊和它的對邊的正弦比相等，即

其中2R為三角形外接圓的直徑.

師：2)運(yùn)用正弦定理可以解決哪些解三角形問題呢？

生2：可以解決兩類問題：一類是已知兩角及其一邊解三角形；另一類是已知兩邊及其一邊的對角解三角形.

設(shè)計意圖問題的呈現(xiàn)基于舊知識的復(fù)習(xí)，也強(qiáng)化數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用，具有可操作性.在數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)中，注重整體認(rèn)知，在知識的發(fā)生過程中，找到新知識的“生長點(diǎn)”,構(gòu)建起解三角形的整體框架，從而有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和遷移能力等方面的核心素養(yǎng).

3.2 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

圖1

例1某鐵路工程隊路線規(guī)劃要經(jīng)過一座小山丘，就需要挖隧道．挖隧道就涉及到一個問題，就是要測量出山腳的長度．而兩山腳之間的距離是沒有辦法直接測量的，那要怎樣才能知道山腳的長度呢？工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B,C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳B,C的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC．若測得AB=3 km,AC=4 km，張角A=60°，則BC=______.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣，通過背景材料的解讀，引入探索性的思考.

師：能否把這個問題抽象成一個數(shù)學(xué)問題？

生3：問題轉(zhuǎn)化為“在△ABC中，已知AB=3 km，AC=4 km，∠A=60°，求邊長BC．”這其實是一個已知三角形的兩邊與夾角，求第三邊的問題．

師：本題能否用最近所學(xué)的“正弦定理”求解？

設(shè)計意圖合理創(chuàng)設(shè)問題情境:激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，自然聯(lián)系，產(chǎn)生新知，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

又B+C=120°,可得

即

分析知cosB≠0，從而

進(jìn)一步可求出

點(diǎn)評本例利用正弦定理及三角函數(shù)方程能順利求解,但此法往往在日常教學(xué)中會被師生輕易否定，尋求其他方法，可能是畏難，亦或是不利于推出余弦定理的形式.

《新課標(biāo)》指出：“高中階段至少應(yīng)安排一次較為完善的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模活動.”課堂教學(xué)要突出效率，而科學(xué)探究是一個長期的、艱難的、反復(fù)的探索過程.如果要在一節(jié)課的時間里經(jīng)歷整個過程，反而探而不究，或者探究比較膚淺，流于形式，那么學(xué)生能力得不到真正提高.在探究體驗過程中，教師要擺正自己的位置，把自身角色定位于學(xué)生的合作者、鼓勵者、引導(dǎo)者,從特殊到一般，從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)，有助于學(xué)生把所接觸的問題逐步上升到理性的過程[1].

師：幾何問題可以用幾何解法嗎？

設(shè)計意圖合理創(chuàng)設(shè)問題情境：用“幾何法”解決幾何問題天經(jīng)地義，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

生6：可以構(gòu)造直角三角形，借助“幾何法”中的勾股定理求解.

圖2 圖3

生7：如圖3，若作BD⊥AC，D為垂足，則可仿生6同樣求解，過程略.

圖4

生8：如圖4，若作AD⊥BC，D為垂足，雖然會遇到一些麻煩，但是經(jīng)過一番思考運(yùn)算仍可求解.為表述方便，不妨令A(yù)B=c,AC=b,BC=a,∠BAD=∠1，∠CAD=∠2,則

a2=(BD+CD)2=BD2+CD2+2BD·CD=

c2-AD2+b2-AD2+2bcsin∠1·sin∠2=

b2+c2-2bccos∠1·cos∠2+2bcsin∠1·sin∠2=

b2+c2-2bccos(∠1+∠2)=b2+c2-2bccosA,

代入已知數(shù)據(jù)即可得到例1的解答.

點(diǎn)評3名學(xué)生的解法都很好.生8的解法看似最難求解，但通過一般化的探索能得出整齊優(yōu)美的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即為我們今天要學(xué)習(xí)的“余弦定理”的一般形式，很是難得.探究活動中有很多教師預(yù)想不到的問題出現(xiàn)，課堂的不可控性遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)課堂.新課程之所以提倡積極主動的探究學(xué)習(xí)方式，目的是為了豐富、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生的主動性.在教師指導(dǎo)下逐步提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

師：本題能否用“向量法”求解？

設(shè)計意圖合理創(chuàng)設(shè)問題情境：利用“向量法”解決幾何問題.蘇教版《數(shù)學(xué)(必修4)》在三角函數(shù)、平面向量等章節(jié)已經(jīng)逐漸滲透運(yùn)用向量方法來解決幾何問題，用向量的符號語言描述幾何問題，引入向量的運(yùn)算來解決幾何問題，從實際背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，學(xué)生應(yīng)該有所了解.邏輯推理是從已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律中推出新的規(guī)律，這是數(shù)學(xué)生長和發(fā)展的主要途徑，借此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

b2+c2-2bccosA,

代入已知數(shù)據(jù)很快可得到解答.

即

a2=abcosC-cacos(π-B)，

得

a=bcosC+ccosB，

變形為

a-bcosC=ccosB，

兩邊平方得

a2-2abcosC+b2cos2C=c2cos2B,

即a2-2abcosC+b2(1-sin2C)=c2(1-sin2B),

而由正弦定理得bsinC=csinB，也可得到

a2=b2+c2-2bccosA.

點(diǎn)評殊途同歸，生9通過兩邊平方讓向量問題數(shù)量化能很快求得結(jié)果，而生10的運(yùn)算也是合理的，理應(yīng)得到積極評價與尊重，完成了從射影定理“a=bcosC+ccosB”到與余弦定理的跨越，展示了高超的運(yùn)算水平，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的探究過程并非一帆風(fēng)順.另外,注意到生8～10得到了同樣優(yōu)美的代數(shù)形式，余弦定理的一般化形式呼之欲出.

師：本題能否用“解析法”求解？

設(shè)計意圖合理創(chuàng)設(shè)問題情境：幾何問題代數(shù)化.在坐標(biāo)系下用“解析法”處理幾何問題是重要而且有效的途徑，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.通過數(shù)學(xué)建模對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，最終解決實際問題.

圖5

生11：建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，A(0,0),C(4,0),B(3cos 60°,3sin 60°),D(3cos 60°,0),在Rt△BCD中，由a2=BD2+CD2很快就可以算得結(jié)果.

點(diǎn)評以上問題情境的創(chuàng)設(shè)，都是貼近學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，依托學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出來的.教師做好宏觀調(diào)控，讓學(xué)生的探究有明確的目標(biāo)和方向，探究過程有親切感和獲得感，對于余弦定理公式的推導(dǎo)和發(fā)現(xiàn)也是水到渠成、順理成章.但如果將課堂全部交給學(xué)生自由發(fā)揮，或者直接由教師代替學(xué)生選擇某種方案，即很快推出余弦定理，這樣的課堂可能會無序或單調(diào)，學(xué)生有活動無體驗，有經(jīng)歷無感悟，達(dá)不到探究的效果.通過這樣多方位、多角度的探究活動，讓學(xué)生的認(rèn)知水平、運(yùn)算能力得以落實，將所學(xué)知識融會貫通，遷移能力不斷提高，在探究活動過程中學(xué)生也會體驗到從數(shù)學(xué)規(guī)律中發(fā)現(xiàn)的愉悅和成就，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的若干方面自然得以培養(yǎng)和發(fā)展.

3.3 建構(gòu)數(shù)學(xué)，歸納概括

一般化在△ABC中，已知AB=c，AC=b,求∠A,a(即BC).

師：如何把例1一般化與形式化？

生12：從上面例1的解決方案中，利用幾何法、向量法及坐標(biāo)法均可由特殊到一般地將本問題解決好，立即得到

a2=b2+c2-2bccosA，

此為“余弦定理”的形式之一.其中幾何法中要討論三角形的形狀，考慮銳角、直角、鈍角在作輔助線垂線時對圖形的影響.

點(diǎn)評要讓學(xué)生在對“引例求解”體驗的建構(gòu)中生成真正屬于自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展不能僅僅通過教師的“教”而獲得，它更離不開學(xué)生的親自體驗.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，不斷拓展解題思路，最后得出數(shù)學(xué)的重要結(jié)論.

4 評價與反思

教師的“教”不僅要讓學(xué)生“學(xué)會”，更重要的是要讓學(xué)生“會學(xué)”.在本節(jié)課的教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，充分調(diào)動學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從已知不斷探求新知”的過程，讓學(xué)生充分參與進(jìn)來，主動探索，發(fā)現(xiàn)新的知識，感悟新知識的形成過程，從而進(jìn)一步完善自身的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)教學(xué)提倡深度學(xué)習(xí)，教師通過了解學(xué)生、依據(jù)學(xué)情、創(chuàng)設(shè)問題情境，原創(chuàng)性地設(shè)計教學(xué)，在課堂上引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行更多地思考與探索，提高師生互動、生生互動的質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生的理解、創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面在學(xué)生深度參與后才能有效構(gòu)建[3].