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(安吉縣高級中學(xué),浙江 安吉 313300)

反思高三的復(fù)習(xí)過程，大量的課堂時(shí)間被用于教師的“教”和“灌”，學(xué)生一味地進(jìn)行大量的機(jī)械式的重復(fù)訓(xùn)練，缺少對問題本質(zhì)的理解，缺少對問題特征的思考與總結(jié)，至于知識間的相互遷移自然更捉襟見肘.通過對問題合理的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生形成相關(guān)的概念圖，對于高三學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升大有裨益.日前，筆者接到開設(shè)一堂高三公開課的任務(wù)，課題是解三角形的章節(jié)復(fù)習(xí)課“解三角形綜合復(fù)習(xí)”.作為一堂綜合性的復(fù)習(xí)課，筆者認(rèn)為，從構(gòu)建解三角形概念圖的角度來設(shè)計(jì)非常合適.下面記錄本次設(shè)計(jì)的過程及帶來的一些思考供大家探討.

1 構(gòu)思設(shè)計(jì)

1.1 理論基礎(chǔ)

概念圖最早是由美國康奈爾大學(xué)諾瓦克教授等人于20世紀(jì)60年代提出，它是一種幫助學(xué)習(xí)者建立整合、結(jié)構(gòu)化的知識的教學(xué)工具.概念圖是一種頗有效的學(xué)習(xí)策略，因?yàn)樗軌驅(qū)W(xué)生頭腦中現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以一種可視化的形式清晰地呈現(xiàn)出來，教師可以借此了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，從而調(diào)整自己的教學(xué)內(nèi)容使學(xué)生建構(gòu)學(xué)科完整的知識網(wǎng)絡(luò)[1].

1.2 總體思路

基于對學(xué)情的考慮，本節(jié)課筆者首先思考的是如何構(gòu)建解三角形的概念圖.考慮到這一章節(jié)本身的基本概念很少，最重要的問題就是如何使用正余弦定理解三角形.因此，概念圖的構(gòu)建不應(yīng)該僅僅停留在知識層面，更多的應(yīng)該放在思維層面上，體會解三角形問題的基本思想，注重和高中其他知識間的相互聯(lián)系，從而形成解三角形的宏觀邏輯結(jié)構(gòu).

解三角形是通過給出的邊角關(guān)系，確定剩余邊角元素的過程.而正余弦定理最基本的作用就是將邊角間的關(guān)系數(shù)量化，從而構(gòu)建起一系列的方程組.這樣，接下來要做的實(shí)際上就轉(zhuǎn)變成解方程組的問題.因此方程思想是解三角形的關(guān)鍵思想，如何構(gòu)建起可解的方程組是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中面臨的核心問題.如果已知的方程個(gè)數(shù)比未知的邊角元素個(gè)數(shù)少，這樣就變成了不確定的三角形.

如果三角形不確定，那么我們常常研究最值范圍問題，其中函數(shù)、不等式等知識就發(fā)揮重要的作用了.另一方面，三角形本身作為一個(gè)幾何圖形，有時(shí)從平面幾何的角度考慮也是一個(gè)重要途徑，數(shù)形結(jié)合的思想就顯得非常重要.除此之外，高中階段平面向量作為研究平面幾何的一個(gè)重要工具，坐標(biāo)法作為解析幾何的一個(gè)基本方法，有時(shí)也為解三角形問題另辟蹊徑.

圖1

綜上所述，筆者從思維層面構(gòu)建了如圖1所示的概念圖.如何構(gòu)建起這幅圖，成為本節(jié)課設(shè)計(jì)的核心.考慮到一節(jié)課時(shí)間有限，筆者希望以一道題目作為背景，通過條件的變更，逐步滲透涉及到的思想方法.

2 過程實(shí)錄

2.1 理解定理

問題引入在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知下列條件，分別求解三角形：

6)A=75°,B=45°，C=60°,這個(gè)三角形能確定嗎？

設(shè)計(jì)意圖通過簡單的幾個(gè)解三角形小題，與初中所學(xué)的全等三角形聯(lián)系起來，起點(diǎn)低，方便學(xué)生入手，而且揭示出兩個(gè)定理的重要作用：將三角形中定性的結(jié)果轉(zhuǎn)化成定量的關(guān)系.同時(shí)也為接下來方程思想的體現(xiàn)作好準(zhǔn)備.

2.2 應(yīng)用深化

師：當(dāng)條件中邊角混合時(shí)，我們的基本思路就是利用正弦、余弦定理將邊角統(tǒng)一.

生1：不確定，有兩個(gè).根據(jù)余弦定理可以得到

c2=a2+b2-2abcosC，

或者

圖2

生(齊)：橢圓.

設(shè)計(jì)意圖通過一個(gè)問題再次讓學(xué)生體會解三角形中的數(shù)形結(jié)合思想.

問題2在問題1的條件下，求S△ABC.

問題3在問題1的條件下，求邊AB上的高h(yuǎn).

問題4如圖3，在問題1的條件下，求邊AB上的中線CD的長.

生4：剛才已經(jīng)求出了a，b，只要再解出cosA，就可以在△ABC中解出CD，但是我還沒算好.

師：這位同學(xué)的思路很好，還是想通過解方程(組)的想法來求解，但這種辦法計(jì)算量有點(diǎn)大.有沒有更簡單一點(diǎn)的算法？三角形的中線在向量中有一種比較簡潔的表示方法是怎樣的？

生5：因?yàn)?/p>

所以

師：該解法的計(jì)算簡便了許多，同時(shí)我們要注意平面向量是研究平面幾何的重要工具.

設(shè)計(jì)意圖通過方程法和向量法的比較,讓學(xué)生體會到平面向量這一工具在平面幾何問題中的威力，構(gòu)建預(yù)先設(shè)計(jì)的概念圖.

圖3 圖4

生6：設(shè)AC=x，CD=BD=y，在△ABC和△ADC中分別使用余弦定理得到

設(shè)計(jì)意圖問題2～5均為“定三角形”的問題，基本思想是方程思想.設(shè)計(jì)時(shí)有意回避了解三角形過程中復(fù)雜的三角恒等變換，主要是考慮不要讓運(yùn)算沖淡了概念圖的邏輯構(gòu)建.

生7：由之前得到的c2=a2+b2-2abcosC可以發(fā)現(xiàn)a，b的解不唯一了，因此三角形不能確定.

師：還能從幾何的角度解釋一下嗎？大家可以先思考一下，若將點(diǎn)A，B固定，則點(diǎn)C的軌跡是什么？

圖5

問題7在問題6的條件下，求S△ABC的最大值.

生9：顯然當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到AB的中垂線上時(shí)，S△ABC最大，容易求出

設(shè)計(jì)意圖再次讓學(xué)生體會解三角形中的數(shù)形結(jié)合思想,并且通過減少一個(gè)條件，問題向“動(dòng)三角形”轉(zhuǎn)變.

問題8在問題6的條件下，求△ABC周長的最大值.

生10：我是利用基本不等式做的，由

可得a+b≤6,故周長的最大值為9.

師：很好！還有沒有別的思路？

師：剛才兩位同學(xué)分別從不等式、函數(shù)這兩個(gè)角度作答，這是我們處理最值問題的常用思路.不過生10的解法更簡潔一些.

問題9在問題6的條件下，求2a-b的取值范圍.

生12：類似于生11的思路，可知

故2a-b的取值范圍是(-3,6).

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步完善概念圖的構(gòu)建，“動(dòng)三角形”問題中最常見的就是最值、范圍問題.通過比較讓學(xué)生體會不等式和函數(shù)各自的優(yōu)勢所在：不等式運(yùn)算相對簡潔，但函數(shù)的適用范圍更廣，且處理范圍問題時(shí)更加精確.

思路1易知

c2=a2+b2-2abcosC=b2-3b+9,

(1)

(2)

將式(1)代入式(2)，得

下同思路1.

圖6 圖7

設(shè)計(jì)意圖此題入手較寬，可以從余弦定理、向量、坐標(biāo)運(yùn)算等多角度切入，但核心思路都是劃歸為某個(gè)變量的函數(shù)處理.本題既強(qiáng)化了處理最值、范圍問題時(shí)的函數(shù)思想，又體現(xiàn)了坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用，至此全部完成預(yù)設(shè)概念圖的構(gòu)建.

2.3 課后探究

師：這個(gè)問題留給大家課后自行探究.

設(shè)計(jì)意圖此題呼應(yīng)問題1，在確定點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)橢圓后，運(yùn)用坐標(biāo)法將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)C坐標(biāo)的函數(shù)問題.此題思維跨度大，對學(xué)生的綜合運(yùn)用能力提出了較高的要求.

2.4 小結(jié)升華

師：最后用幾句話總結(jié)一下本節(jié)課的內(nèi)容——求解三角形問題，數(shù)形結(jié)合好載體；邊角關(guān)系量化計(jì)，正弦余弦兩定理；最值定值常見型，函數(shù)方程不等式；代數(shù)運(yùn)算遇瓶頸，幾何圖形辟蹊徑；平面向量好工具，坐標(biāo)思想莫忘記；上述關(guān)系若清明，解三角形何所懼.

3 課后反思

3.1 構(gòu)建時(shí)機(jī)是關(guān)鍵

概念圖應(yīng)該建立在學(xué)生已獲得相關(guān)概念的前提下，教師所要完成的任務(wù)就是幫助學(xué)生勾畫出概念之間的相互聯(lián)系.如果學(xué)生連基本概念都未建立，那么他們建立概念圖是不符合認(rèn)知規(guī)律的.因此，概念圖教學(xué)用于復(fù)習(xí)課是合適的.

本節(jié)課的定位應(yīng)當(dāng)是在高三學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)完解三角形整章內(nèi)容之后進(jìn)行.首先，他們需要熟悉正弦、余弦定理的基本使用，能解決三角形面積等問題；其次，函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何這些內(nèi)容也都在高一、高二打下了基礎(chǔ)；最后才是本節(jié)課的目標(biāo)：幫助學(xué)生整合解三角形的基本思路，幫助他們在具體情境下實(shí)現(xiàn)合理方法的選取.在這個(gè)時(shí)機(jī)采用概念圖教學(xué)才是契合學(xué)生認(rèn)知水平的.但是在教學(xué)過程中依然暴露出一個(gè)問題，授課面對的學(xué)生程度并非如預(yù)先估計(jì)得那樣好，因此，在需要運(yùn)用平面向量、解析幾何這些與三角形關(guān)聯(lián)不大的知識時(shí)，學(xué)生不能很快地聯(lián)想到.而事先，筆者在自己所任教學(xué)校取得的課堂效果相對較好，這也再次說明，基礎(chǔ)概念的熟悉程度對概念圖教學(xué)的效果還是有較大影響的.

當(dāng)然，除了在章末借助概念圖進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)外，在前面具體每一小節(jié)的復(fù)習(xí)課過程中也可以進(jìn)行.比如，在復(fù)習(xí)正余弦定理時(shí)，可以從正弦、余弦定理為中心發(fā)散：回顧兩個(gè)定理的獲得、證明、應(yīng)用過程；具體在何種邊角數(shù)量關(guān)系情境中使用哪個(gè)定理更合理；涉及到平面幾何的哪些知識，合理借助平面向量工具等等.然后，在解決三角形面積問題時(shí)也作類似的嘗試，再通過本堂課將前面的圖譜聯(lián)系起來，就可以使學(xué)生獲得解三角形這一章更為豐富的概念圖.

3.2 學(xué)生活動(dòng)是保障

一般來說，概念圖教學(xué)培養(yǎng)的是學(xué)生對概念的分析、比較、理解和相互關(guān)聯(lián)的能力.但是，這些能力的培養(yǎng)不在于對概念圖形本身的死記硬背，而在于構(gòu)圖過程中的思考.只有經(jīng)過思考的概念圖，才是有意義的.

本堂課不是采取一上來就給出概念圖讓學(xué)生通過問題一一體會其中的聯(lián)系，而是借助問題的呈現(xiàn)逐漸在學(xué)生腦中描繪出一幅解三角形的思維圖.因此，在整節(jié)課的教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，把課堂交給學(xué)生，從頭至尾教師預(yù)設(shè)的問題采用“點(diǎn)面結(jié)合”的問答方式，既有全班回答也有個(gè)人展示，教師只在關(guān)鍵處進(jìn)行適當(dāng)小結(jié)及學(xué)生遇到困難時(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥.不過，也正是由于學(xué)生活動(dòng)時(shí)間較多以及學(xué)生程度不及預(yù)期，導(dǎo)致只到問題7便匆匆下課，后面的內(nèi)容未能完成，概念圖的構(gòu)建也不完整.因此，可以根據(jù)學(xué)生程度，考慮從“定三角形”和“動(dòng)三角形”兩個(gè)方面將本節(jié)內(nèi)容拆分為兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行，以保證達(dá)到預(yù)期概念圖的完整構(gòu)建.若是將本課拆分為兩個(gè)課時(shí)，內(nèi)容活動(dòng)設(shè)計(jì)可以再豐富一些，如教師可以在問題鏈的基礎(chǔ)上設(shè)置一些探索性、開放性問題，將學(xué)生分成若干小組合作討論，甚至可以嘗試讓學(xué)生之間相互編題、解答.

3.3 意義學(xué)習(xí)是目的

概念圖是由諾瓦克教授根據(jù)奧蘇貝爾的概念同化理論而開發(fā)的認(rèn)知工具，它是為了解決“在教學(xué)過程中學(xué)生能夠按步驟完成相應(yīng)的任務(wù)，但是不能給出合理的原因”這一問題，從而將機(jī)械學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為有意義學(xué)習(xí)[1].所謂有意義學(xué)習(xí)，是指學(xué)習(xí)者通過將所學(xué)的新知識與頭腦中已有的舊知識之間產(chǎn)生聯(lián)系從而掌握新知識的學(xué)習(xí)方式.

在高三日常的教學(xué)活動(dòng)中，廣大教師想必同筆者一樣，總是會遇到這樣一些情況：平時(shí)對學(xué)生反復(fù)講解的一類問題，在考試中遇到同樣的問題時(shí)學(xué)生還是不知所措；對舊問題稍加改編，學(xué)生就變得一頭霧水……出現(xiàn)這些問題的原因正是因?yàn)閷W(xué)生僅僅停留在了模仿照抄、機(jī)械學(xué)習(xí)的層面上，而缺少新認(rèn)知與已有認(rèn)知間的聯(lián)系.

基于這一點(diǎn)考慮，本堂課設(shè)計(jì)之初考慮盡量簡化題目的背景條件，以避免學(xué)生受到無關(guān)信息的干擾.每個(gè)條件的變化盡量“小步走”，以期減少學(xué)生在不同背景切換中消耗不必要的精力，力求突出方法選擇時(shí)的思考.從“定三角形”問題設(shè)計(jì)(問題2～5)，到“動(dòng)三角形”問題設(shè)計(jì)(問題6～10)，難度螺旋上升，思維從常規(guī)方程思想、函數(shù)思想遷移到平面向量、解析法等其他相關(guān)內(nèi)容，建立新舊知識間的聯(lián)系，最終達(dá)到有意義學(xué)習(xí)的目的.