吳志花

[摘 要]“植樹問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，也是數(shù)學(xué)“盈虧持平”思想的雛形。但是，“植樹問題”中有一個教學(xué)難點就是間隔數(shù)，學(xué)生很難理解其中的排列規(guī)律，于是“間隔排列”作為一個單獨的學(xué)科章節(jié)應(yīng)運而生。

[關(guān)鍵詞]觀察；辨析；間隔排列；規(guī)律

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）33-0033-01

“間隔排列”的教學(xué)旨在使學(xué)生能夠聯(lián)系實際生活，借助生活經(jīng)驗，掌握不同物體間隔排列的規(guī)律，并能運用規(guī)律解決問題，提升和發(fā)展學(xué)生的觀察能力、對比能力、歸納能力。那么，數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握間隔排列的規(guī)律呢？

一、理解本質(zhì)，描述特征

首先，讓學(xué)生畫圖體驗間隔。課上，教師通過課件出示△○△○△○，讓學(xué)生猜測下一個出現(xiàn)的圖標(biāo)，學(xué)生很容易猜出下一個圖標(biāo)是三角形。隨即，課件動畫呈現(xiàn)△，教師接著讓學(xué)生猜測，學(xué)生回答“下一個圖標(biāo)是圓”……學(xué)生不斷地猜測下去，教師啟發(fā)學(xué)生思考“為什么都能猜對？依據(jù)是什么”，于是學(xué)生開始總結(jié)規(guī)律。在學(xué)生說出規(guī)律后，教師揭示這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題。練習(xí)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生按照自己的思路獨立畫圖，然后展示部分學(xué)生的作業(yè)，全班評議。最后，教師讓學(xué)生闡述自己的思路。有的說，三角形和圓依次輪流交替出現(xiàn)，以此類推；有的說，將一個三角形和一個圓視為一個整體，不斷復(fù)制粘貼下去；還有的說……教師肯定學(xué)生的思路，正式提出間隔排列的概念。這里，教師以學(xué)生熟悉的圖形切入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在猜想中感知排列規(guī)律，使學(xué)生深入理解并應(yīng)用規(guī)律。

其次，出示圖示（如右），引導(dǎo)學(xué)生在分類比較中感知間隔。教師讓學(xué)生先將六幅作品分為兩類，再在小組中研討分類標(biāo)準(zhǔn)。有的小組把圖（3）（5）（6）分為一類，將圖（1）（2）（4）分為一類，分類理由如下：圖（3）（5）（6）是將一個三角形和一個圓視為一個組合體；圖（1）（2）（4）為一個一個間隔排列，最后還多出一個三角形。也有的小組提出按組合體復(fù)制法考慮，即將六幅作品分為有零件和沒零件兩類。還有的小組提出不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：將圖（1）（2）（4）分為一類，這一類以三角形收尾，與起頭圖案相同；將圖（3）（5）（6）分為一類，這一類以圓收尾，與起頭圖案不同。教師趁機提出首尾對應(yīng)的方法，即按照這種方法間隔排列，首尾可以相同，也可以相異。

二、理清關(guān)系，提煉規(guī)律

教師出示情境圖（略），讓學(xué)生在兔子樂園里找出一一間隔排列的物體，然后通過小組合作探究它們的類型。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兔子和蘑菇、木樁和籬笆是首尾相同的一一間隔排列，于是先研究間隔排列中兩種物體數(shù)量的多少，很明顯，首尾同時出現(xiàn)的物體要比夾在中間的物體多1個。然后教師提出進(jìn)行實踐驗證，讓學(xué)生比較兔子與蘑菇、木樁與籬笆的數(shù)目。通過清點，學(xué)生發(fā)現(xiàn)木樁有13根，籬笆有12塊，兔子有8只，蘑菇有7朵。這時有學(xué)生提出可以運用組合法進(jìn)行組合清數(shù)，即先將一根木樁和一塊籬笆連在一起進(jìn)行數(shù)數(shù)，數(shù)到最后只剩下一根單獨的木樁；再將一只兔子和一朵蘑菇進(jìn)行組合數(shù)數(shù)，數(shù)到最后只剩下一只兔子。舉例驗證時，教師引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法，使學(xué)生明晰不同的方法和不同的思路之間可以彼此驗證、互相啟迪。接下來，教師通過大量的實例來驗證猜想的正確性，然后讓學(xué)生按照相同的方法驗證間隔排列中首尾不同的情況。在探究規(guī)律、建模驗證的過程中，學(xué)生對“一對一交替間隔，首尾相同”的情況進(jìn)行猜想、舉例、驗證，發(fā)現(xiàn)這種研究方法還可以運用到“一對一交替間隔，首尾不同”的情況，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。

三、實踐體會，學(xué)以致用

課堂上，教師先讓學(xué)生尋找生活中一一間隔排列的物體，并比較兩種排列物的數(shù)量，如課桌椅是一一間隔排列的，即首尾相異，數(shù)量相等。然后教師讓若干名學(xué)生站成一排，即排成一一間隔的隊形，并邀請四名男生和三名女生排成一列，即每兩名男生中間站一名女生。通過親身實踐，使學(xué)生明白這樣的隊形就是一一間隔排列，即男女生間隔。此時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)男生比女生多一名，也就是隊頭和隊尾都是男生，男生人數(shù)比女生人數(shù)多1名。接下來轉(zhuǎn)換類型，研究間隔排列中首尾相異的情況。教師要求學(xué)生站成的隊列要保證首尾有一名男生和一名女生，并請旁邊觀摩的學(xué)生提出方案。學(xué)生提出以下方案：（1）♂♀♂♀♂♀♂♀……（2）♀♂♀♂♀♂♀♂……然后教師進(jìn)行變式拓展（如右圖），只限定男女生一一間隔排列，讓學(xué)生提出新方案。這種隱藏首尾的圓周一一間隔排列，其數(shù)目對比情況與首尾不同的一一間隔排列相同。這樣教學(xué)，使學(xué)生在輕松活潑的游戲活動中討論、驗證首尾相同與首尾不同的兩種類型，經(jīng)歷了“直線排列”到“圓周排列”的演化過程，在形式的區(qū)別中尋找到規(guī)律的統(tǒng)一性。

綜上所述，教學(xué)“植樹問題”時，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同角度分析和探究排列的規(guī)律，以及通過排列的變式——圓周排列，使學(xué)生深入理解和掌握間隔排列的本質(zhì)。

（責(zé)編 杜 華）