王靖安，王 海

(安徽工程大學 機械與汽車工程學院，安徽 蕪湖 241000)

薄板結構在各種工程領域中都有著廣泛的應用，但由于其自身結構特性，薄板非常容易產(chǎn)生振動.因此，在薄板的實際工程應用中，首先要解決的問題是對薄板進行抑振.薄板結構的振動抑制方法常用的有主動方法和被動方法兩種.被動抑振方法主要通過改變結構的形狀，在結構上設置加強筋以及粘貼阻尼片等方式來實現(xiàn)；主動抑振方法主要采用電化學方法、形狀記憶合金方法以及壓電陶瓷方法來實現(xiàn).被動抑振措施針對較高頻率的振動有著良好的抑制效果，但是對于低頻振動的抑振效果不佳；主動抑振措施的抑振范圍較廣，但是需要消耗較多的能量.如果將主動抑振方法和被動抑振方法結合，則有望實現(xiàn)在消耗較少能量的條件下，實現(xiàn)對高、低頻范圍振動的有效抑制.

劉鴻文[1]總結和闡述了關于板殼的基本概念與基本理論，并介紹了關于矩形板的數(shù)學解法和基于能量原理的解法.Marco Amabili[2]主要提出了關于彈性板的非線性振動理論.Marian[3]針對隨機激勵結構系統(tǒng)，提出了基于調諧質量阻尼器的被動抑振方法.汪艷霞[4]綜述了在建筑設計中的主動、被動以及主被動結合的振動控制方法.Bodaghi[5]針對板結構，采用有限元的方法，利用形狀記憶合金對板的振動進行被動控制.Ferrari[6]利用彈性繩將一塊矩形板的四角吊起掛在一個框架中，模擬四邊簡支的條件進行復合層板的抑振實驗研究.王海[7]針對懸臂梁結構，使用壓電片對梁的振動進行主動抑制，并通過仿真和實驗，確定壓電片的最佳粘貼位置.Araujo[8]采用有限元方法，針對各向異性層合夾層結構，構建了主、被動混合阻尼的模型.Plattenburg[9]針對一個粘貼有主動壓電片和被動阻尼片的矩形薄板，采用瑞利-利茲法，構建了解析模型，并通過實驗驗證解析模型的準確性.

針對上述研究中存在的問題，同時考慮在盡量減少能耗的條件下達到對振動的有效抑制，提出了主、被動混合模式的振動抑制方法，把薄板等面積分成3×3共計9塊位置，通過在不同位置分別粘貼阻尼片和壓電片，對薄板的振動進行抑制.

1 矩形板建模及其抑振器設計

在實際工程應用中，薄板結構主要以矩形板為主.總體示意圖如圖1所示.將薄板結構簡化成一塊尺寸為600 mm×400 mm×1.2 mm的矩形板進行分析，在矩形板上不同位置粘貼阻尼片和壓電片，對矩形板的振動進行抑制.

圖1 總體示意圖

基于Kirchhoff薄板理論對矩形板進行建模，通過幾何關系和力平衡關系，可以得到矩形板橫向自由振動的微分方程：

(1)

該微分方程的解可以表示為：

w(x,y,t)=W(x,y)sin(ωt+φ)，

(2)

將式(2)代入式(1)中，可得：

(3)

式中，

(4)

設置矩形板的長和寬分別為a和b，邊界條件為四邊簡支，表示為：

(5)

滿足該邊界條件的振型解可以表示為：

(6)

式中，A為常數(shù).

將式(6)代入式(3)，可得四邊簡支矩形板的第(m,n)階固有頻率：

(7)

如圖1所示，假設矩形板上共粘貼有Np塊阻尼片，則阻尼片和矩形板的運動分別可用下面的廣義位移矢量ri表示：

(8)

式中,u、v、w分別表示矩形板在X、Y、Z3個方向上的位移，Ψxz、Ψyz分別表示矩形板在XZ、YZ面內的轉角.

假設該廣義位移矢量可以記成Ns個形函數(shù)的加權求和：

(9)

該阻尼板的動能和勢能分別可以寫成：

(10)

式中,M是質量矩陣，K是剛度矩陣，如式(11)所示：

(11)

在矩形板(xd,yd)位置施加一點激勵Fd：

Fd(x,y,t)=Fdδ(x-xd)δ(y-yd)ej(ωt+θd),

(12)

式中,θd表示激勵信號的相位.

如圖1所示，假設在矩形板上共粘貼有Nc塊壓電片，矩形壓電片對矩形板所施加的力可以等效成橫向偶極力[10]：

(13)

式中,θc表示激勵信號的相位，δ表示狄拉克δ函數(shù)，H表示海維賽德函數(shù)，M表示力矩，具體表示如式(14)所示：

(14)

針對上述各式使用拉格朗日方程，得到：

(15)

進而得到矩形板的穩(wěn)態(tài)響應矢量：

q(ω)=[K(ω)-ω2M]-1[Fd+Fc],

(16)

2 抑振策略分析

根據(jù)振動理論可知，在振源附近位置和矩形板模態(tài)應變最大位置進行抑振會得到較好的抑振效果.通過在矩形板上粘貼阻尼片，增加局部阻尼，對矩形板的振動進行被動抑制；通過在矩形板上粘貼壓電片，利用逆壓電效應，給壓電片施加合適的電壓，產(chǎn)生與矩形板振動方向相反的形變，對矩形板的振動進行主動抑制.

如圖1所示，為了便于描述在矩形板上粘貼阻尼片和壓電片的位置，把矩形板等面積分成3×3共計9塊位置.為了模擬外界干擾對矩形板的影響，在矩形板左下角(50，50)位置施加一正弦點激勵.

碳纖維矩形板、丁基橡膠阻尼片和PZT-5H壓電片的參數(shù)如表1所示.

表1 矩形板、阻尼片和壓電片參數(shù)

使用COMSOL軟件進行仿真，COMSOL是一款多物理場耦合有限元軟件，對矩形板做模態(tài)分析，得到矩形板前三階模態(tài)振型，其振型圖如圖2所示.由圖2可知，在一階模態(tài)下，矩形板正中央位置的應變最大；二階模態(tài)下，矩形板沿著長度方向兩邊位置的應變最大；三階模態(tài)下，矩形板沿著寬度方向兩邊位置的應變最大.因此設計如圖3所示抑振方案，分別抑制該矩形板的前三階振動.左下角的點表示激振點，在激振點處施加幅值為1mm,頻率分別為142.66 Hz，220.56 Hz，350.96 Hz的三種點位移信號，模擬矩形板的前三階振動，圖中黑色方塊位置表示該階振動下，矩形板模態(tài)應變最大位置，白色方塊位置表示激振處附近位置.

圖2 矩形板前三階模態(tài)振型

圖3 抑振方案示意圖

設計如下3組仿真來進行對比：①僅給矩形板施加一正弦點激勵，不加任何控制；②給板施加一正弦點激勵，采用純被動控制方法，在激振點附近位置和模態(tài)應變最大位置分別貼上一塊阻尼片，來達到抑振的效果；③給板施加一正弦點激勵，采用主、被動混合模式控制方法，在激振點附近位置粘貼阻尼片，在模態(tài)應變最大位置粘貼壓電片，并給壓電片一個幅值為70 V，頻率與正弦點激勵頻率相同、相位相差180°的正弦電壓信號，來產(chǎn)生與矩形板振動方向相反的形變，從而達到抑振的效果.

在矩形板模態(tài)應變最大位置附近，避開所粘貼的阻尼片或者壓電片，確定一點作為測量點，測量其沿Z軸方向位移，另外測量整個矩形板的動能，以這兩個數(shù)據(jù)作為依據(jù)來判斷抑振效果.把第i個方案的抑振率定義如下[7]：

(17)

式中，ED是矩形板模態(tài)應變最大位置附近一點的橫向位移的抑制率；EK是整個矩形板的動能的抑制率；N表示所繪制的位移和動能曲線圖的峰值的個數(shù)；pi0表示不施加任何控制時，每個峰值的大??；pij表示施加控制后，每個峰值的大小.

3 COMSOL仿真結果

矩形板一階振動下的抑振結果如圖4所示.在矩形板一階振動模式下，圖4a表示不加任何控制和純被動控制兩種情況下，模態(tài)應變最大位置附近一點沿Z方向的位移大小的對比；圖4b表示純被動控制和主、被動混合模式控制兩種情況下，模態(tài)應變最大位置附近一點沿Z方向的位移大小的對比；圖4c表示不加任何控制和純被動控制兩種情況下，整個矩形板總動能大小的對比；圖4d表示純被動控制和主、被動混合模式控制兩種情況下，整個矩形板總動能大小的對比.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，可以得到如下結果：在純被動控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為26.12%，矩形板總動能的抑振率為48.27%，綜合抑振率為37.195%；在主、被動混合模式控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為66.75%，矩形板總動能的抑振率為82.11%，綜合抑振率為74.43%.

矩形板二階振動下的抑振結果如圖5所示，在矩形板二階振動模式以及純被動控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為28.88%，矩形板總動能的抑振率為52.88%，綜合抑振率為40.88%；在主、被動混合模式控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為60.44%，矩形板總動能的抑振率為74.92%，綜合抑振率為67.68%.

矩形板三階振動下的抑振結果如圖6所示，在矩形板三階振動模式以及純被動控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為15.39%，矩形板總動能的抑振率為7.4%，綜合抑振率為11.395%；在主、被動混合模式控制下，對模態(tài)應變最大位置附近一點的位移的抑振率為28.37%，矩形板總動能的抑振率為20.42%，綜合抑振率為24.395%.

將不同階振動模式以及不同控制方法下的抑振率總結如表2所示.由表2可以看出，經(jīng)過控制，矩形板的振動得到了一定的抑制，另外，主、被動混合模式控制下的抑振率明顯高于純被動控制下的抑振率.因此，主、被動混合模式控制相對于純被動控制，對于矩形板的振動會有更好的抑制效果.

表2 矩形板前三階振動模式下的抑振率

圖4 矩形板一階振動下的抑振結果

圖5 矩形板二階振動下的抑振結果

圖6 矩形板三階振動下的抑振結果

4 結論

文章主要研究關于矩形板的振動的抑制策略，通過在激振處附近位置和模態(tài)應變最大位置粘貼阻尼片和壓電片，進行被動和主動控制.通過對前三階振動模式下的3組仿真的對比，可以得到結論：主、被動混合模式控制相對于純被動控制，抑振率分別增加了37.235%、26.8%和13%，對于矩形板的振動會有更好的抑制效果.后期，將在此結論的基礎上進行更進一步研究，研究施加在壓電片上的正弦電壓信號的幅值和相位對抑振效果的影響，另外，參考仿真模型，搭建實驗平臺，來驗證仿真結果的準確性.