一、問題

“平行四邊形和梯形的認(rèn)識”是人教版數(shù)學(xué)教材四年級上冊的一節(jié)“形概念”課。在本內(nèi)容教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形的概念，初步認(rèn)識了四邊形，能識別一些平行四邊形和梯形，在本單元中還認(rèn)識了“平行”與“垂直”這兩個直線間的位置關(guān)系。這些知識為學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形的概念積累了豐富的經(jīng)驗，提供了必要的基礎(chǔ)。

1.教學(xué)中存在的問題

學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識僅僅停留在模糊的表象上，并不知道概念的本質(zhì)，更不會對圖形進(jìn)行判斷、推理和論證。比如，學(xué)生認(rèn)識圖1中①號圖形是菱形，但并不確定它也是一個平行四邊形，對于圖1中②號圖形這種兩腰往同一方向傾斜不同角度的梯形，學(xué)生很容易憑經(jīng)驗認(rèn)為是平行四邊形或者只是一般的四邊形。這說明學(xué)生的幾何思維水平處于直觀化階段，沒有從圖形的本質(zhì)特征（概念）去認(rèn)識圖形，且學(xué)生對傾斜角度的“量感”表現(xiàn)也參差不齊，故而常常做出錯誤的判斷。

2.對問題的分析及解決策略

平行概念是認(rèn)識平行四邊形和梯形概念的基礎(chǔ)，學(xué)生對于判斷兩條直線是否平行已經(jīng)有了基本的經(jīng)驗，可當(dāng)兩條直線變成四邊形中的四條線段時，學(xué)生很難從邊的位置關(guān)系的視角去判斷一個圖形是否為平行四邊形或梯形。即使是長方形和正方形，學(xué)生更多的是從直角和邊的長度兩個視角進(jìn)行判斷。因此，借助平行線這個工具，或許能幫助學(xué)生突破這一認(rèn)知的難點。

長方形、正方形、平行四邊形（菱形）、梯形等特殊四邊形概念散點分布在不同時段的教材中，導(dǎo)致學(xué)生對四邊形這一知識體系往往缺乏整體的認(rèn)識。因此，學(xué)習(xí)了平行四邊形和梯形的概念之后，把新的概念納入到舊概念的系統(tǒng)中是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的必要環(huán)節(jié)。

同時，我們發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生對平面圖形的認(rèn)識還是靜態(tài)的、固化的，讓靜態(tài)的圖形“動”起來，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維也是本課的一個發(fā)展點。當(dāng)長方形的兩條長邊收縮變短到等于短邊時，長方形就變成正方形；當(dāng)平行四邊形的一組對邊朝同一個方向旋轉(zhuǎn)至與另一組對邊垂直時，平行四邊形就變成長方形；當(dāng)梯形的一條底邊收縮變短為0時，梯形就變成三角形；當(dāng)梯形的一條腰旋轉(zhuǎn)至與另一條腰平行時，梯形就變成平行四邊形……這些變化非常有趣，借助電腦輕而易舉就能實現(xiàn)。

二、實踐

1.“開放導(dǎo)入”片段：在動態(tài)中聚焦概念

教師在黑板上畫了一組平行線，以這組平行線為參照畫了一些圖形（如圖2），問學(xué)生是不是都認(rèn)識。

生1：這些圖形是長方形、正方形、平行四邊形、梯形……

生2：都是四邊形。

師：在四邊形里，我們已經(jīng)研究過長方形和正方形，大家知道它們有些什么特點嗎？（學(xué)生回顧長方形、正方形的特點）今天我們繼續(xù)認(rèn)識另外兩類四邊形———平行四邊形和梯形。

【設(shè)計意圖】把平面圖形置于一組平行線間，讓學(xué)生從邊的位置關(guān)系的視角聚焦平行四邊形和梯形。

2.“核心推進(jìn)”片段一：在分類中生成概念

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察下面這些四邊形（如圖3），把它們按邊的位置關(guān)系分一分類。

生：可分成三類，第一類是①⑥⑦，第二類是③④⑤，第三類是②⑧。

師：（指著第一類圖形）這些圖形有什么特點？

生3：它們相對的兩條邊互相平行，都是平行四邊形。

師：我們就說有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（板書）那第二類圖形呢？

生4：這組圖形只有一組相對的邊互相平行，這些都是梯形。

師：我們就說只有一組對邊互相平行的四邊形是梯形。（板書）那第三類圖形呢？

生5：它們沒有互相平行的邊，就是一般的四邊形。

【設(shè)計意圖】在豐富表象的基礎(chǔ)上，學(xué)生按邊的位置關(guān)系對圖形進(jìn)行分類，在經(jīng)歷、體驗中逐步抽象、概括出平行四邊形和梯形的概念。

師：下列這些圖形（如圖4）中，判斷哪些是平行四邊形，哪些是梯形，并說說理由。

學(xué)生抓住邊的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，特別是⑦號圖形，兩腰雖然往同一方向傾斜，形似平行四邊形，但只有一組對邊互相平行，由此判斷是梯形。教師適時引導(dǎo)：對圖形作判斷時，不能光靠眼力，要抓住圖形的本質(zhì)特征。

教師結(jié)合圖⑧⑨提問：“能不能說成是平行四邊形？為什么？那為什么又要叫做長方形和正方形？”學(xué)生在問題思考中體會平行四邊形和長方形、正方形的包含關(guān)系。

【設(shè)計意圖】學(xué)生對易錯圖形進(jìn)行辨別歸類，經(jīng)歷從一般到特殊的過程，加深對平行四邊形和梯形本質(zhì)特征的認(rèn)識。

3.“核心推進(jìn)”片段二：在梳理中深化概念

師：我現(xiàn)在把所有的長方形集合到這個圈里，那么正方形在哪集合呢？為什么？

生：正方形在集合圈里面集合，因為正方形是特殊的長方形。

師：現(xiàn)在我想把四邊形家族全部集合到這個大圈（如圖5）中，那長方形、正方形、平行四邊形、梯形該集合在哪里呢？

學(xué)生獨立解決問題。教師收集學(xué)生的錯例進(jìn)行討論，比如平行四邊形里包含了梯形的，平行四邊形里沒有包含長方形和正方形的。在對錯例的辨析中，學(xué)生溝通各圖形之間的關(guān)系，強化各圖形的本質(zhì)特征。

師：大家給這些圖形都找到了位置，那②⑧這兩個一般四邊形的位置在哪呢？

生：在圖中其他空余部分。

【設(shè)計意圖】學(xué)生借助集合圖理清各圖形之間的關(guān)系，將所學(xué)的新概念納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，培養(yǎng)類比能力。

師：數(shù)學(xué)書下藏著一個四邊形（如圖6），猜猜可能是什么圖形？

生：可能是長方形、正方形、平行四邊形、梯形。

師：一般四邊形也有可能吧？

生6：不可能，因為已經(jīng)有一組對邊平行。

教師將書本移動成圖7所示的情形。

生：可能是長方形、平行四邊形、梯形。

師：你們?yōu)槭裁淳团懦苏叫危?/p>

生7：我看到長和寬不相等了。

教師將書本移動成圖8所示的情形。生：可能是平行四邊形和梯形。

師：怎么長方形也不猜了？

生8：我發(fā)現(xiàn)有一個角不是直角了。

教師將書本移動成圖9所示的情形。生：是梯形。

師：怎么現(xiàn)在這么肯定是梯形啦？

生9：只有一組對邊互相平行的四邊形是梯形。

師：這些四邊形既有聯(lián)系又有區(qū)別，抓住它們的本質(zhì)特征就能快速做出準(zhǔn)確判斷。

【設(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用概念作判斷和推理的過程，加深對圖形本質(zhì)特征的認(rèn)識，建構(gòu)正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念。

4.“核心推進(jìn)”片段三：在操作中溝通概念

師：在梯形上畫一筆，把它分成兩個圖形，使其中有一個是平行四邊形。試著畫一畫。

學(xué)生動手畫，教師呈現(xiàn)學(xué)生不同的畫法（如圖10所示）。

師：添這一筆要注意什么？

生：梯形中已經(jīng)有一組對邊平行了，而平行四邊形是兩組對邊分別平行的，所以添這一筆的時候要創(chuàng)造另一組相互平行的邊。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過一筆改圖形，在動態(tài)變化中深化對平行四邊形和梯形概念的認(rèn)識；對不同的添法進(jìn)行“異中求同”的思辨，進(jìn)一步明確兩個概念的本質(zhì)區(qū)別。

師：請同學(xué)們打開word文檔，點擊“插入”“形狀”，畫一個“梯形”或“平行四邊形”，水平拖動控制符，看有什么發(fā)現(xiàn)。

生10：我畫了一個梯形，當(dāng)我選定下底，向左右兩邊同時水平拖動控制符時，可以把梯形變成長方形；向右邊水平拖動控制符時，梯形的下底越來越小，最后變成0時，這個梯形就變成了三角形（如圖11所示）。

生11：我畫了一個平行四邊形，選定上面這條邊向左水平拖動控制符，兩條斜的邊漸漸與兩條水平的邊垂直，最后這個圖形也可以變成長方形（如圖12所示）。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過常用的工具感受圖形之間的變化，并從邊的長短和位置關(guān)系兩方面關(guān)注圖形的特點，同時感受事物間相互轉(zhuǎn)化的原理。

5.“開放延伸”片段：在回顧中總結(jié)方法

師：同學(xué)們，我們一起回顧今天我們是怎樣認(rèn)識平行四邊形和梯形的。

生：先把四邊形分一分，找到同類圖形邊的特點，再給它們起名字，最后用集合圖理清它們之間的關(guān)系。

師：分一分→起名字→理關(guān)系，以后我們還可以用類似的方法去研究更多的圖形。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)方法，由概念的獲得延伸到研究方法的習(xí)得，體現(xiàn)本節(jié)課更高層次的育人目標(biāo)。

三、討論

1.怎樣讓學(xué)生觸摸本質(zhì)，實現(xiàn)生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)本質(zhì)提升？

學(xué)生在生活中積累了大量的生活經(jīng)驗，但這些經(jīng)驗帶有一定的片面性。教師既要充分利用學(xué)生已有的感性經(jīng)驗幫助學(xué)生加深對基本概念的理解，又要引導(dǎo)他們區(qū)分日常定義和科學(xué)概念的異同，實現(xiàn)從生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)本質(zhì)的提升。

在本課教學(xué)中，概念的形成分兩步：第一步，按邊的位置關(guān)系將四邊形進(jìn)行分類，再聚類分析平行四邊形、梯形，在大小、形狀不同的圖形中找到它們的共同點，從而聚焦邊的位置關(guān)系形成概念。第二步，概念形成后，呈現(xiàn)圖形進(jìn)行說理判斷，針對易錯梯形和特殊圖形（長方形、正方形）進(jìn)行辨析，既幫助學(xué)生掌握梯形和平行四邊形的本質(zhì)區(qū)別，又凸顯了兩個概念的本質(zhì)，使學(xué)生的感性經(jīng)驗提升到對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識上。

2.怎樣幫助學(xué)生理清四邊形之間的關(guān)系？

數(shù)學(xué)教學(xué)中往往需要溝通知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生加深對概念的理解。在四邊形關(guān)系中，既有平行四邊形和梯形兩個概念之間的并列關(guān)系，又有平行四邊形和正方形、長方形三個概念之間的包含關(guān)系。為了幫助學(xué)生理清四邊形之間的關(guān)系，教師首先在判斷說理中明確長方形和正方形都是平行四邊形，再以正方形和長方形的特殊關(guān)系為鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長方形、正方形之間的特殊關(guān)系，并且用集合圖表達(dá)。設(shè)計的“猜圖形”活動，學(xué)生從多種可能到排除某個圖形，再到確定圖形，在動態(tài)變化中加深了對圖形概念的理解。由于溝通了四邊形之間的聯(lián)系，學(xué)生順利地突破認(rèn)知上的難點，建立了清晰的概念關(guān)系，從而建構(gòu)完整的四邊形概念體系。

3.作為一節(jié)“形概念”課，能否挖掘更深層次的價值？

“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)τ谛W(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展具有重要作用。作為一節(jié)“形概念”課，在平行四邊形與梯形的認(rèn)識之后，還有三角形的認(rèn)識、圓的認(rèn)識以及圓柱圓錐等立體圖形的認(rèn)識，這節(jié)課能為后續(xù)的“形概念”課帶去什么？我們認(rèn)為一節(jié)課最有價值的不在于承載了多少知識內(nèi)容，而是教給學(xué)生一些探究方法，讓他們利用這樣的方法自主開展新的學(xué)習(xí)。于是，教師通過回顧研究的過程，幫助學(xué)生梳理出學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)：分一分→起名字→理關(guān)系，為他們后續(xù)遷移方法學(xué)習(xí)“形概念”奠定基礎(chǔ)。

4.小學(xué)階段空間與圖形領(lǐng)域的概念課該如何把握？

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中編排的圖形概念，因?qū)W生的學(xué)段特點、理解能力以及概念本身的難易程度等不同而表現(xiàn)形式各有不同，主要以描述式和定義式為主。圖形概念的學(xué)習(xí)要遵循由表象到具體，由靜態(tài)到動態(tài)的過程。教材最先安排的是立體圖形的認(rèn)識，這時的學(xué)生思維以直觀思維為主，概念也是描述式的。教學(xué)時，只要學(xué)生能認(rèn)識相應(yīng)的圖形即可，不需要嚴(yán)格表述。教師應(yīng)調(diào)動學(xué)生的視覺、觸覺等多種感官參與。隨后認(rèn)識的長方形和正方形是一類特殊的四邊形，在概念表述上仍然是描述式。但概念的生成要經(jīng)歷從實際物體中抽象出幾何圖形的過程，還應(yīng)輔以更多動手操作的過程（如量、折、畫等），讓學(xué)生從“邊”與“角”的角度入手，培養(yǎng)空間觀念。平行四邊形與梯形的概念是定義式，教學(xué)時便要緊扣概念的內(nèi)涵生成概念、理解概念，同時又要在它們的外延中忽略圖形“長相”的差異。比如，一個平行四邊形看起來是長長的還是扁扁的，正著擺還是斜著擺，都是可以忽略的差異，我們只關(guān)心它的兩組對邊是否分別平行。前文中兩腰向同一個方向傾斜的梯形，盡管長得不像“梯子”狀，但只要它是“（有且）只有一組對邊平行的四邊形”，就是梯形?！颈疚南岛鲜〗逃龑W(xué)會“十三五”立項課題“基于核心素養(yǎng)的‘種子課程開發(fā)與應(yīng)用研究”（編號：B-53）研究成果】

（執(zhí)筆：何畝文、李慧玲、徐旺、李闖）