高書霞

【摘要】“立體幾何”是高中學(xué)生較難理解的內(nèi)容之一，究其原因，主要是學(xué)生缺乏空間想象能力和邏輯思維能力導(dǎo)致空間概念淡薄.筆者認(rèn)為要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，除了用實(shí)物和模型進(jìn)行教學(xué)外，更重要的還要從遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律上入手.筆者就結(jié)合“直線與平面垂直”這節(jié)課談?wù)務(wù)J知規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知；垂直；概念教學(xué)；思想方法

教育心理學(xué)認(rèn)為，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理特點(diǎn)上來(lái)看，中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有以下四條：1.學(xué)生的知識(shí)活動(dòng)是通過(guò)主體活動(dòng)構(gòu)建的，而認(rèn)知活動(dòng)是與感情活動(dòng)、意志活動(dòng)及個(gè)性心理傾向相互促進(jìn)、協(xié)同發(fā)展；2.學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)總是遵循從具體到抽象、再到具體的順序，螺旋式上升；3.學(xué)生自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是繼續(xù)學(xué)習(xí)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)與歸宿；4.學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展是穩(wěn)定性與可變性、階段性與持續(xù)性，量變與質(zhì)變的辯證統(tǒng)一.要想讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，尤其是立體幾何這一部分，就應(yīng)該從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，以學(xué)生已有知識(shí)為基礎(chǔ)，以啟發(fā)學(xué)生思維為核心，引導(dǎo)學(xué)生從已知開(kāi)始去探索未知的知識(shí)，進(jìn)而建立知識(shí)體系.

一、創(chuàng)設(shè)貼近生活情境 直觀形象地引入概念

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

在前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)直線與平面的位置關(guān)系：①直線在平面上；②直線與平面平行；③直線與平面相交.我們已經(jīng)研究過(guò)直線在平面上和直線與平面平行，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)直線與平面相交.

師：大家想想看生活中有哪些直線與平面相交的例子？

生：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面，比薩斜塔……（PPT展示）

師：（適當(dāng)補(bǔ)充）直線與平面相交有沒(méi)有哪種位置關(guān)系比較特殊？大家現(xiàn)在利用手中的筆和桌面比畫一下.

生：（學(xué)生利用手中的筆和桌面操作感知）垂直.

師：剛才的例子中旗桿與地面，門柱與地面都是垂直的，今天我們就來(lái)研究直線與平面垂直.

（二）感知實(shí)例，歸納概念

師：大家回憶一下直線與平面平行的思路，現(xiàn)在我們要研究直線與平面垂直，那么我們要研究哪些內(nèi)容？

生：（師生達(dá)成共識(shí)）定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用.

師：空間中兩直線垂直我們是如何研究的？（啟發(fā)學(xué)生用“降維”和“平面化”的思想來(lái)思考直線與平面垂直的問(wèn)題.將研究直線與平面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系）.

師：（引導(dǎo)學(xué)生回顧圓錐的形成過(guò)程，旋轉(zhuǎn)軸所在直線SO與底面圓所在的平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線都是垂直的，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的概念得出軸所在直線與底面內(nèi)的任意一條直線都垂直）.現(xiàn)在我們來(lái)給直線與平面垂直下個(gè)定義？

生：（學(xué)生給出定義，老師給出嚴(yán)格的定義及相關(guān)概念）如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條（所有）直線都垂直，則直線l與平面α垂直.

圖像語(yǔ)言（在畫圖時(shí)，把直線畫成與橫邊垂直能體現(xiàn)出“線面垂直”的直觀效果，在畫法中也體現(xiàn)了“線線垂直”）

符號(hào)語(yǔ)言m是平面α內(nèi)的任意一條直線l⊥ml⊥α.

（三）辨析討論，深化概念

思考：①定義中的“任意一條直線”能改為“無(wú)數(shù)條直線”嗎？由此可知定義中的關(guān)鍵詞有哪些？

生：不能，反例：

②一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直嗎？

生：垂直.

師：由此可知定義具有雙向性，線線垂直可以得到線面垂直，而線面垂直也可以得到線線垂直.

二、以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作主動(dòng)探究

我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義.根據(jù)定義，要說(shuō)明一條直線與平面內(nèi)的“任意一條”直線垂直.操作起來(lái)好像比較困難，能不能再少一點(diǎn)？一條？?jī)蓷l？三條？……

結(jié)合下列實(shí)例：（1）長(zhǎng)方體的側(cè)棱垂直于底面；

（2）跨欄圖片和支架圖片.

借助學(xué)生最熟悉的長(zhǎng)方體模型和生活中最簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)，感知判定直線與平面垂直時(shí)只需平面內(nèi)有限條直線（兩條相交直線），從中體驗(yàn)有限與無(wú)限之間的辯證關(guān)系，從而提出猜想，為進(jìn)一步的探究做準(zhǔn)備.

播放動(dòng)畫，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察把課本豎直放在水平桌面上時(shí)書脊所在直線與桌面位置關(guān)系，觀察放開(kāi)手后的現(xiàn)象以及打開(kāi)書本后書脊所在直線與每頁(yè)紙面與桌面的交線之間的關(guān)系.

師：去掉幾頁(yè)這種垂直性變嗎？若要保持這種垂直性，至少要保留幾頁(yè)？

生：保留一頁(yè)肯定是不可以的，至少要保留兩頁(yè).

由學(xué)生歸納得到：當(dāng)一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線我們就可以得到這條直線和這個(gè)平面是垂直的.

師：這就是我們要學(xué)習(xí)的直線與平面垂直的判定定理，你能不能用圖形來(lái)表示一下這個(gè)判定定理.

生：（學(xué)生畫中可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是與平面重直的直線經(jīng)過(guò)兩條相交直線的交點(diǎn)，另一種情況是不經(jīng)過(guò)交點(diǎn).）

師：比較這兩種畫法，有什么區(qū)別？哪種畫法更具備一般性.

生：不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的更具有代表性，可經(jīng)過(guò)平移解決.

師：在解題時(shí)，我們更多的是利用符號(hào)語(yǔ)言，請(qǐng)同學(xué)們來(lái)提煉一下符號(hào)語(yǔ)言：

生：l⊥ml⊥nm∩n=Amαnαl⊥α.

師：五個(gè)條件得到一個(gè)結(jié)論，條件缺一不可.這個(gè)判定定理依舊是由線線垂直推得線面垂直.定義里是任意一條直線，判定定理是兩條相交直線，看來(lái)“線不在多，貴在相交”.

三、利用對(duì)比 加深對(duì)概念定理的理解

例 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

師：這是一個(gè)用自然語(yǔ)言敘述的命題，如何表達(dá)更能有利于我們?nèi)ニ伎寄兀?/p>

生：（畫出圖像并翻譯成符號(hào)語(yǔ)言）.已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

師：現(xiàn)在我們要證明線面垂直，我們可以采用什么方法？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手做一下？

（接下來(lái)讓學(xué)生練習(xí)，有針對(duì)性地選兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.請(qǐng)兩名同學(xué)上黑板演示，再請(qǐng)兩名同學(xué)加以點(diǎn)評(píng).）

師：歸納總結(jié)證明線面垂直有兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.

（一）類比聯(lián)想 發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

師：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，你會(huì)有什么結(jié)論？

生：這兩條直線平行.

師：你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？也就是把例1的條件a∥b和結(jié)論a⊥b交換一下位置，即已知a⊥α，b⊥α，求證a∥b.

生：讓學(xué)生大膽嘗試，在嘗試中提高學(xué)生的思維能力.

師：要證明平行，我們常用的方法是借助“內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角”等等，但這些方法只適合在一個(gè)平面內(nèi)，這兩條直線共面嗎？你能證明嗎？

師：看來(lái)這個(gè)問(wèn)題的最大難度在于無(wú)法說(shuō)明這兩條直線共面，我們不妨用反證法來(lái)嘗試證明（著重分析證明的思路，體會(huì)正難則反的思想）.

生：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

師：由線面垂直推得線線平行，我們把這個(gè)命題稱為線面垂直的性質(zhì)定理.

四、以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn) 引導(dǎo)其自主反思總結(jié)

以上就是我們本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲呢？

（一）知識(shí)內(nèi)容

1.直線與平面垂直的定義.（線線垂直→線面垂直）

2.直線與平面垂直的判定定理.（線線垂直→線面垂直）

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理.（線面垂直→線線平行）

（二）思想

1.（把線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系中蘊(yùn)含的）轉(zhuǎn)化思想.

2.（要研究一般的線面相交，先研究特殊的線線相交中蘊(yùn)含的）從特殊到一般的思想.

3.（正面證明不方便，用反證法證明蘊(yùn)含的）正難則反的思想.

（三）規(guī)范化要求

1.三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化.

2.證明的規(guī)范化要求.

五、回顧與反思

（一）概念和定理教學(xué)的策略思考

費(fèi)賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)知識(shí)不是教出來(lái)的，而是研究出來(lái)的”.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中具有重要的地位.概念和定理教學(xué)絕對(duì)不是結(jié)論的簡(jiǎn)單告知，而應(yīng)該是加強(qiáng)概念的引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程.新課標(biāo)提倡數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注意創(chuàng)設(shè)合理生活情景，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更貼近學(xué)生，使學(xué)生易于接受，在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)中，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，使學(xué)生積極參與教學(xué)，了解知識(shí)發(fā)生發(fā)展的背景和過(guò)程，充分尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，請(qǐng)學(xué)生來(lái)自己舉出生活中的情景如：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面.學(xué)生不僅有充分的直觀感知活動(dòng)，而且還有合理推理、提高邏輯思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的把握自然就更深刻了.繼而，通過(guò)動(dòng)手操作、觀察分析、自主探究、問(wèn)題辨析等活動(dòng)，使學(xué)生切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過(guò)程，學(xué)生從自己的動(dòng)手活動(dòng)中展開(kāi)思維，也能體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在教師的啟發(fā)下積極思考并提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，使學(xué)生的智慧能得到開(kāi)發(fā)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.

（二）注重滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映到人腦中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏曾經(jīng)指出數(shù)學(xué)思維方法的巨大價(jià)值：“學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后不到一兩年就忘記了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思維方法卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用.”可見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法的重要性.尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).例如在這節(jié)課里回顧“線面平行”的位置關(guān)系研究中曾將“線面平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化為“線線平行”，體現(xiàn)了“平面化”和“降維”的思想，并指出“要研究直線與平面垂直，也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的直線垂直的問(wèn)題.”然后利用圓錐的形成過(guò)程—軸和底面是垂直的，引導(dǎo)學(xué)生感知直線與平面垂直的特征，并讓學(xué)生自己下定義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2000.

[2]朱廣墚.在練習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略[J].教育導(dǎo)刊，2011（12）：70-73.

[3]王金才.數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力及關(guān)系的正確認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（11）：12-14.