霍富昌，姜志俠，謝繼軒，張時(shí)赫，薛天坤

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

社會力模型是一種應(yīng)用廣泛、仿真效果最接近實(shí)際情況的行人運(yùn)動(dòng)模型。社會力模型可以對行人在實(shí)際疏散過程中表現(xiàn)出來的模式和行為進(jìn)行仿真模擬[1-3]。大量學(xué)者對社會力模型進(jìn)行研究，陳濤等為解決原有社會力模型中存在的速度振蕩問題，引進(jìn)相對速度對原始模型進(jìn)行優(yōu)化[4]。汪蕾等引進(jìn)了相對速度，并引入恐慌因子對行人的期望速度進(jìn)行修正，得到了社會力修正模型，在一定程度上，能夠較好的仿真突發(fā)事件下的行人疏散運(yùn)動(dòng)[5]。

雖然社會力模型有著眾多的優(yōu)點(diǎn)，但其也存在一定的局限性。尤其是在行人疏散過程中，原始模型沒有有效的機(jī)制來防止行人重疊現(xiàn)象，而且當(dāng)行人密度較大或較小時(shí)，會發(fā)生一些不符合實(shí)際的現(xiàn)象。

基于原始社會力模型，引入緊張因子、相對速度以及出口吸引力對社會力模型進(jìn)行修正，然后借鑒元胞自動(dòng)機(jī)模型，建立防重疊機(jī)制并確立相應(yīng)的出口選擇機(jī)制，最后建立多出口行人疏散綜合模型，對多出口場所內(nèi)的行人疏散行為進(jìn)行仿真模擬。

1 模型

1.1 原始社會力模型

Helbing的社會力模型基于牛頓第二定律，行人i所受合外力fi（社會力）是由行人自身驅(qū)動(dòng)力、行人與行人間的相互作用力f、人與障礙物ij間的作用力fiω三個(gè)力聯(lián)合產(chǎn)生，由此建立物理方程[6]：

式中，mi代表行人i的質(zhì)量，vi代表行人的實(shí)際速度。

（1）行人自身驅(qū)動(dòng)力

行人自身驅(qū)動(dòng)力是指行人i在期望時(shí)間τi內(nèi)以實(shí)際速度vi向期望速度前進(jìn)，具體物理方程為：

（2）行人與行人間的相互作用力

式中，Ai、Bi、k、κ為常量參數(shù)，rij=ri+rj代表行人i和行人j的半徑之和，代表行人i和行人j質(zhì)心間的距離，代表由行人j到行i的單位向量，切向向量從而，g(x)是一個(gè)分段函數(shù)，具體函數(shù)如下：

（3）人與障礙物間的作用力

與行人間的作用力類似，人與障礙物間的作用力fiω可表示為：

同樣，對于墻或障礙物而言，diω代表行人i的質(zhì)心到障礙物表面的距離，代表障礙物指向行人i的單位向量，切向向量。

1.2 修正社會力模型

針對社會力模型中存在的問題，以及結(jié)合現(xiàn)實(shí)行人疏散行為，對社會力模型做出一些修正。

（1）期望速度修正

在實(shí)際的疏散場景中，行人的期望速度往往不是一成不變的，Helbing加入緊張因子ni(t)來對期望速度進(jìn)行修正，行人的期望速度可修正為[3]：

（2）相對速度修正

基于陳濤對相對速度的分析，結(jié)合Helbing的社會力模型，考慮相對速度對行人疏散過程中的心理作用力的影響，則社會力原模型中行人與行人間的相互作用力fij及行人與障礙物之間的相互作用力fiω分別可修正為[3]：

式中，fijn和fiωn稱為法向社會心理距離作用力，稱為法向社會心理速度作用力。表示疏散人員i和疏散人員j的法向速率差。為相對速度影響系數(shù)，代表速度力與距離力的比例關(guān)系。

（3）引入出口吸引力

Lakoba認(rèn)為出口會對行人產(chǎn)生吸引力fik，其具體表達(dá)式為[7]：

式中：k代表出口，Ci為常數(shù)。

類似相對速度優(yōu)化中相對速度的影響，在此定義門的相對速度影響系數(shù)Ck，其中因門無法移動(dòng)，只有人員i會移動(dòng)，從而簡寫為。同時(shí)結(jié)合原模型fik可得優(yōu)化公式：

社會力模型修正為：

2 出口選擇

在對社會力模型的研究中發(fā)現(xiàn)，社會力模型在仿真過程中會出現(xiàn)行人重疊現(xiàn)象，因此參考元胞自動(dòng)機(jī)模型將場所化為網(wǎng)格，規(guī)定一個(gè)行人只能占據(jù)一個(gè)網(wǎng)格，且行人不能直接越過網(wǎng)格，以來建立簡單的防重疊機(jī)制[8-11]。

為了解決出口利用不均勻的問題，通過考慮行人與出口的距離以及出口處行人密度對出口選擇的影響，基于概率決策，參照文獻(xiàn)[12]和[13]，引入出口選擇函數(shù)：

式中，

式中，Pk(t)為t時(shí)刻選擇出口k的概率，λ1是距離指數(shù)，即概率Pk-r(t)占Pk(t)所對應(yīng)的比重，λ2是密度指數(shù)，即概率Pk-d(t)占概率Pk(t)所對應(yīng)的比重，Pk-r(t)是只考慮行人距離時(shí)行人在t時(shí)刻選擇出口k的概率，Pk-d(t)是只考慮行人在出口區(qū)域的人員密度時(shí)行人在t時(shí)刻選擇出口k的概率，rk(t)是行人距離出口的距離，dk(t)是出口區(qū)域處的人員密度，N是出口總數(shù)。

3 構(gòu)建多出口行人疏散模型

基于修正后的社會力模型，結(jié)合出口選擇機(jī)制，構(gòu)建多出口行人疏散優(yōu)化模型，具體模型如下：社會力模型即公式（11）中各修正項(xiàng)由公式（2）、公式（6）、公式（7）、公式（8）和公式（10）構(gòu)成。出口選擇函數(shù)是由公式（12）、公式（13）、公式（14）、公式（15）、公式（16）、公式（17）和公式（18）構(gòu)成。

當(dāng)某時(shí)刻行人與出口的距離相等且各出口區(qū)域處人員密度也相等時(shí)，則有：

此時(shí)行人選擇各出口的概率均相等。此時(shí)判定選擇的出口，以行人i建立坐標(biāo)系，比較各出口對于行人i位置的方向m與社會力方向fi的夾角θ大小，夾角最小的即為所選擇的出口。

出口選擇函數(shù)對出口引力進(jìn)行比重均衡，比較概率，最可能選擇出口與行人行進(jìn)方向是否一致，即朝向出口的Pk(t)最大為不改變出口選擇。若行人改變出口則不考慮此出口引力，將剩余出口引力均衡計(jì)算，重新模擬該時(shí)段；若不改變，則按原步驟繼續(xù)進(jìn)行，繼續(xù)下一個(gè)時(shí)段模擬，以此循環(huán)，直至行人通過出口結(jié)束。模型模擬流程圖如圖1所示。

圖1 行人模擬過程流程圖

4 模型應(yīng)用分析

4.1 仿真模擬

為了驗(yàn)證提出的基于出口選擇概率的修正社會力模型的科學(xué)性和可用性，進(jìn)一步通過仿真模擬來進(jìn)行模型應(yīng)用分析。選取15m×15m的房間為疏散環(huán)境，假設(shè)該房間內(nèi)有兩個(gè)出口A、B，兩個(gè)出口規(guī)格相同。設(shè)置初始疏散人員為100人，隨機(jī)分布在房間內(nèi)，初始分布如圖2所示。

圖2 行人疏散模擬初始分布示意圖

在疏散開始階段，行人選擇出口時(shí)主要是根據(jù)到出口的距離，并且在一段時(shí)間內(nèi)更換出口的可能性較小，從而會出現(xiàn)行人呈半圓形聚集在出口位置，行人大致會分為涇渭分明的兩部分，如圖3所示。然而隨著疏散進(jìn)行等到大量行人聚集在出口位置時(shí)，距離因素已不是行人選擇出口的主要因素，出口處行人密度成為選擇出口的主要因素，部分行人將會放棄距離最短的出口而選擇出口處行人較少的出口進(jìn)行疏散，這與現(xiàn)實(shí)生活中的行人疏散情景相符合。

圖3 行人疏散過程示意圖

4.2 討論分析

對多出口綜合模型進(jìn)行討論分析，對比三種模型的疏散效果，即方案1（不使用社會力只基于概率決策的出口選擇的理想模型）和方案2（不使用出口選擇函數(shù)只使用修正后社會力模型）進(jìn)行仿真模擬（具體方案如表1所示），得到結(jié)果如表1所示。

表1 不同的出口選擇方案中各出口承擔(dān)的疏散人數(shù)（人）

表1表示行人選擇不同疏散方案時(shí)的各出口承擔(dān)的疏散人數(shù)。對比圖表發(fā)現(xiàn)，方案1中，是純理想化狀態(tài)，行人不受外界其他因素影響，只考慮距離和行人密度，因此各出口承擔(dān)的疏散人數(shù)相等。但在現(xiàn)實(shí)情境中行人的疏散卻是受到多方因素的影響，各出口承擔(dān)的疏散人數(shù)明顯不相等。方案3中各出口承擔(dān)的疏散人數(shù)趨于相等，這是優(yōu)化后的綜合模型，這與實(shí)際相符，說明優(yōu)化模型和算法的正確性。

為了驗(yàn)證模型的有效性，分別選取疏散場景為15m×15m（場景1）、15m×30m（場景2）、30m×30m（場景3），對這三種場景下的行人疏散進(jìn)行研究。

統(tǒng)計(jì)在不同疏散場景種不同模型的疏散時(shí)間，用來分析三種模型所得的出口優(yōu)化方案對疏散效率的影響，得到了三種模型下的行人疏散的總時(shí)間，結(jié)果如下表所示。

表2 不同模型不同場景下行人疏散總時(shí)間

由表2可知：在不同的疏散場景中，方案1是最為理想的狀態(tài)，時(shí)間最短，但這種狀態(tài)在現(xiàn)實(shí)情景中不可能出現(xiàn)；方案2行人疏散所花費(fèi)時(shí)間最長，疏散效果最差；方案3時(shí)間趨近于方案1，比較合理，接近理想化疏散。

行人在實(shí)際的疏散過程中選擇出口是受多種因素的影響，往往由于出口處行人過多導(dǎo)致疏散效率過低。在模型中加入基于概率決策的出口選擇函數(shù)，實(shí)質(zhì)是考慮行人與出口的距離以及出口處行人的密度對行人出口選擇的影響。在行人進(jìn)行出口選擇時(shí)，行人將會綜合考慮行人與出口距離及出口處行人密度等因素，選擇一個(gè)對行人自己相對有利的出口進(jìn)行疏散，從而達(dá)到一個(gè)比較理想的效果。模擬結(jié)果顯示：引進(jìn)基于概率決策的出口選擇函數(shù)更能真實(shí)反映多出口選擇下行人的疏散行為。

5 結(jié)語

基于實(shí)際情形以及社會力模型的復(fù)雜性，本文引進(jìn)相對速度和出口吸引力以及對期望速度加以限制來對社會力模型進(jìn)行修正，并且建立了簡單的防重疊機(jī)制，引進(jìn)基于概率決策的出口選擇函數(shù)，構(gòu)建了基于出口選擇概率的修正社會力模型，對行人疏散問題進(jìn)行研究。通過進(jìn)行仿真模擬，構(gòu)建的多出口行人疏散綜合模型能夠較好的反映現(xiàn)實(shí)場景中的行人疏散行為，與實(shí)際行人疏散行為相符合。因此，該模型具有重要的意義和參考價(jià)值。