龐輝 張旭

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院,西安 710048)

(2018年7月26日收到;2018年8月26日收到修改稿)

1 引 言

鋰電池在新能源汽車(插電式混合動力和純電動汽車)和網格化能量存儲和轉換系統(tǒng)中具有廣泛應用前景.作為構成鋰離子動力電池組的重要單元,鋰電池的精確建模和參數(shù)識別對于開發(fā)高效的電池管理系統(tǒng)(battery management system,BMS)具有十分重要的意義[1,2].尤其鋰電池的荷電狀態(tài)(state-of-charge,SOC)和健康狀態(tài)(stateof-health,SOH)的準確估計,已成為BMS開發(fā)的核心內容.

近年來,研究人員提出了基于等效電路模型(equivalent-circuit model,ECM)的鋰電池建模和內部參數(shù)識別方法[3,4]以及不同的SOC和SOH估計算法[5,6].然而,ECM模型利用電阻、電容等元器件模擬鋰電池輸出電壓,對于前期電池的實驗具有很強的依賴性,且模型參數(shù)也不能完全對應鋰電池內部實際的物理電化學狀態(tài)變量.另外,ECM模型難以描述鋰電池內部狀態(tài)參數(shù)與剩余電量之間的關系,隨著電池外部環(huán)境溫度變化以及電池老化現(xiàn)象的加重,其預測精度難以滿足要求.為此,基于濃度理論和電化學第一性原理,研究人員又提出了諸多基于物理電化學模的鋰電池狀態(tài)估計算法,如貝葉斯濾波器[7,8]、Luenberger觀測器[9,10]、滑模觀測器[11,12]、非線性觀測器[13]以及基于偏微分方程的反推觀測器[14,15]方法.

文獻[7,11,13—15]均假定鋰電池正、負電極的鋰離子摩爾數(shù)是恒定的,這使得兩個電極的鋰濃度具有一定的代數(shù)關系,從而使得該類電化學模型的單個電極狀態(tài)變量是可觀測的.然而,當鋰電池出現(xiàn)老化時,比如負極表面固體電解質界面(solidelectrolyte-interface,SEI)膜的增長或電解液副反應引起的淅鋰現(xiàn)象,則正、負極的鋰離子濃度保守性就難以保證.此外,文獻[8,10,12]中的觀測器設計中,若不能設定單個電極開環(huán)模型準確的初始鋰濃度值,將會導致觀測器對電極狀態(tài)變量的估計偏離真值.在實際應用中,精確的初始鋰濃度值是很難獲取的,但可以通過實驗數(shù)據識別出來,如文獻[16—18]基于多物理準二維模型和啟發(fā)式算法的鋰離子電池參數(shù)識別策略,但其優(yōu)化求解過程復雜,對計算資源要求較高.盡管已有文獻對基于物理電化學模型的鋰電池SOC估計算法開展了相關研究[8,11,13,19],但同時對正、負電極濃度分布和SOC估計的算法卻鮮有報道,因此,亟待提出一種基于簡化電化學模型的鋰電池互聯(lián)狀態(tài)觀測器,以實現(xiàn)動力鋰電池估算的需求.

綜上,本文基于多孔電極理論和濃度理論提出一種考慮液相動力學行為的鋰電池擴展單粒子模型(enhanced single particle model,ESPM),該模型考慮了電解液液相動力學行為,耦合了溫度和液相濃度變化對鋰離子電池關鍵參數(shù)的影響.在該模型基礎上進一步簡化,提出了一種基于H∞魯棒控制理論框架的鋰電池新型雙向互聯(lián)觀測器.最后,應用不同工況下的實驗數(shù)據對本文所開展的研究進行了驗證和討論.

2 鋰電池的擴展單粒子模型

精確估計鋰電池響應狀態(tài)(SOC,SOH以及電壓)的關鍵是建立準確、有效的鋰電池數(shù)學模型.根據已有研究成果[20]并考慮鋰電池正、負電極均為多孔活性材料,可用一個球形單粒子來模擬正負電極的電化學行為.同時,忽略負極表面SEI膜電化學動力學行為影響,本文構建一種考慮液相動力學行為的鋰電池ESPM模型[9],其簡化結構如圖1所示,包括正、負極集流體以及隔膜等.

考慮正、負極集流體產生的歐姆電勢差,則鋰電池終端電壓V(t)的計算公式為

圖1 鋰電池的擴展單粒子模型示意圖Fig.1.Schematic of Li-ion battery ESPM.

2.1 鋰電池電化學動力學方程

根據Fick第二定理[21],鋰電池正、負電極的鋰離子濃度為

其邊界控制條件包括:

在圖1所示的笛卡爾坐標系x軸上,ce(x,t)隨著鋰離子的流量密度梯度而變化,其動力學方程為

液相濃度擴散方程的邊界控制條件和濃度擴散連續(xù)條件如(6)和(7)式

式中,keff=ke(T)·()brug.沿x軸在鋰電池厚度范圍內對(8)式積分兩次可得液相電勢差?Φe為

根據Bulter-Volmer方程以及(4)式的假設,可知η±(x,t)的計算公式為[8,22,24]:

取正負極電荷傳輸系數(shù)αa=αc=α=0.5,則交換電流密度定義為

又因為[25]

綜合(1),(9),(10)和(12)式,鋰電池ESPM模型的終端電壓V(t)計算公式為

為了便于標記和后續(xù)觀測器設計,定義非線性函數(shù)(h(·)),則可得如下函數(shù)式:

因此,(13)式可簡化為

式中,Tref=23?C(298 K)是參考溫度,活化能參數(shù)和取自文獻[27].此外,根據文獻[28],與鋰電池溫度T和初始液相濃度有關的液相擴散系數(shù)De(T)以及依賴于溫度的電解液離子電導率ke(T)的經驗計算式為

為了能夠應用有限差分法數(shù)值求解上述模型,將偏微分方程(2)中的固相濃度擴散方程在球形離子內部離散化為N+1個節(jié)點;同樣,沿x軸將方程(5)離散化為M+1個節(jié)點,具體的離散化過程可參考文獻[7,24].定義狀態(tài)向量x=[x1x2x3]T,其中,x1和x2分別是正、負電極的第N個節(jié)點的濃度狀態(tài)變量,表示為x1=[,,···,c+s,N]T,x2=[,,···,]T,x3是電解液第M個節(jié)點的濃度狀態(tài)變量,x3=[ce,1,ce,1,···,ce,M]T,y=V(t).需要指出的是,x1,N=和x2,N=分別是正、負電極表面固相濃度,即和.經過離散化之后,可得2N+M個常微分方程(ordinary differential equation,ODE),其狀態(tài)空間方程的形式如下:

其中u=I(t);狀態(tài)變量x∈R(2N+M);系數(shù)矩陣A11,A22∈RN×N,A33∈RM×M,列向量矩陣B1,B2∈RN×1,B3∈RM×1分別是包含電化學模型參數(shù)的狀態(tài)變量和輸入變量矩陣.注意,x1和x2分別包含正、負電極所有離散化節(jié)點的濃度值,若能求解方程(18)獲得其數(shù)值解,則鋰電池的SOC計算式[29]為

本文所用的相關變量及參數(shù)所代表的含義如表1所列.另外,鋰電池電化學模型的關鍵參數(shù)的識別將在2.2節(jié)展開討論.

表1 鋰電池參數(shù)及相關符號Table 1.Electrochemical model parameters and symbols.

2.2 模型參數(shù)識別及驗證

以索尼VTC4 18650鋰電池為研究對象,其名義容量和電壓分別為2 Ah和3.6 V,最大輸出電壓為4.2 V,最小截止電壓為2.5 V.根據我們前期的研究成果[20],可以將鋰電池關鍵參數(shù)的識別設計為一個優(yōu)化問題,并采用特定工況下的實驗數(shù)據完成參數(shù)識別.由于本研究采用的ESPM模型不考慮SEI膜影響,為檢驗參數(shù)識別策略的實用性并提高識別準確性,這里采用HPPC(hybrid pulse power characterization)脈沖輸入電流和輸出電壓來識別ESPM參數(shù)并進行驗證.HPPC工況下的鋰電池的初始SOC為100%,放電結束時SOC為20%,結合文獻[20,30]中參數(shù)靈敏度分析方法,可確定ESPM中需要識別的參數(shù)集θ=[L+,L?,,R?s,,,,,]T.表1中涉及的其他鋰電池初始參數(shù)可參考文獻[20],于是構建如下的優(yōu)化目標函數(shù):

式中Vexp和Vsim為在同樣的輸入電流ui下鋰電池的實驗和仿真輸出電壓,N是輸入電流的總采樣點數(shù)(采樣頻率1 Hz),L是本文擴展單粒子模型的輸出電壓和實驗輸出電壓的均方根(root-meansquare,RMS)誤差.

表2 待識別參數(shù)有效區(qū)間及識別結果Table 2.The effective ranges and the identified values for ESPM parameters.

圖2 HPPC工況下用于參數(shù)識別的輸入電流和輸出電壓Fig.2.The input current and output voltage used for the parameters identification under HPPC operation:(a)Current profile;(b)cell voltage;(c)current pulse at SOC 90%;(d)voltage pulse at SOC 90%.

由于遺傳算法(genetic algorithm,GA)具有較好的全局優(yōu)化優(yōu)點,且在鋰電池參數(shù)識別中具有廣泛應用[20,27,31],因此我們采用GA算法求解上述約束優(yōu)化問題.同時,為提高計算效率,僅提取第一個脈沖的輸入電流和輸出電壓來完成參數(shù)識別,具體如圖2所示.表2給出了最終的參數(shù)識別結果,圖3—圖5分別為HPPC,1C恒流放電和UDDS(urban dynamometer driving schedule)工況下對所識別參數(shù)的輸出電壓驗證曲線圖.

圖3 HPPC工況下的鋰電池輸出電壓對比曲線Fig.3.The comparisonof voltages with the identifi ed parameters under HPPC condition:(a)Current profile;(b)cell voltage.

圖4 1C放電電流下鋰電池輸出電壓對比曲線Fig.4.The comparison of voltages with the identified parameters under 1C discharge current:(a)Current profile;(b)cell voltage.

從圖3—圖5的驗證結果可以看出,相對于實驗測量電壓,基于ESPM的鋰電池仿真輸出電壓最大相對誤差分別為1.92%,3.18%和2.86%,由此可知,基于ESPM所識別的鋰電池內部狀態(tài)參數(shù)是合理且準確的,對于不同工況(恒流、變電流)下的電池輸出響應模擬是有效可靠的.

圖5 UDDS工況下的鋰電池輸出電壓對比曲線Fig.5.The comparison of voltages with the identifi ed parameters under UDDS condition:(a)Current profile;(b)cell voltage.

3 鋰電池互聯(lián)狀態(tài)觀測器設計

基于H∞魯棒控制理論框架的狀態(tài)觀測器具有無需獲知輸入噪聲和測量噪聲的數(shù)學統(tǒng)計特征以及對模型不確定性有良好的魯棒性等優(yōu)點,其非常適合于鋰電池內部狀態(tài)參數(shù)(正、負極濃度,SOC/SOH)估計.如果單個電極的狀態(tài)可根據其開環(huán)模型的計算得到,則另一個電極(正或負)的狀態(tài)是可觀測的[8],該觀測器結構如圖6(a)所示.其中,單電極觀測器在估計正極狀態(tài)變量的同時,可對開環(huán)模型中的負極狀態(tài)變量進行仿真.同樣,通過模擬開環(huán)模型中的正極狀態(tài)變量,可實現(xiàn)對負極狀態(tài)的估計.在該觀測器結構中,假定負極的開環(huán)模型具有相對準確的初始值,從而可為正極狀態(tài)估計提供較為精確的偽量測值.實際上,不準確的初始值會導致開環(huán)模型的響應誤差非常大,那么根據偽量測信息計算的鋰電池輸出電壓就是不準確的,進而導致鋰電池正極濃度狀態(tài)估計偏離于真實值.

圖6 鋰電池(a)單電極濃度觀測器[8],(b)本文提出的互聯(lián)觀測器結構Fig.6.The structure of Li-Ion cell’s(a)single electrode concentration observer[8],(b)the proposed interconnected observer.

為了解決該問題,本文提出一種基于H∞理論框架的鋰電池正、負極互聯(lián)觀測器,其結構類似于文獻[8]的單個電極觀測器,但能同時估計正、負極的狀態(tài)并使其相互提供反饋項,所設計的互聯(lián)觀測器結構如圖6(b)所示.首先,為降低鋰電池H∞互聯(lián)觀測器的設計復雜度并滿足其可觀測性條件,同時為了與ESPM模型的輸出響應做出系統(tǒng)對比,這里給出推論1的假設.

推論1[12]假設鋰電池電解液中的濃度和電勢梯度是均勻分布的,即分別忽略偏微分方程(5)和(8),則可以從鋰電池ESPM模型推導出單粒子模型(single-particle-model,SPM),SPM是一種簡化的適合于觀測器設計的鋰電池電化學模型.

根據推論1,若考慮系統(tǒng)輸入高斯白噪聲w(t),則鋰電池SPM模型的狀態(tài)方程可表示為

式中B1,B2∈RN×1.

對于方程(20)所描述的鋰電池SPM模型,建立如下的互聯(lián)觀測器方程:

式中,L1和L2∈R是H∞狀態(tài)觀測器的增益,角標ol代表開環(huán)模型的狀態(tài)變量.

接著,定義系統(tǒng)狀態(tài)誤差為e1=x1?和e2=x2?,鋰電池正、負極的輸出誤差為ey1(t)=y?=[h1(x1,N,u)?h1(,N,u)]-[h2(x2,N,u)?h2(2,N,ol,u)]=(e1,N)?(e2,N,ol).同樣地,ey2(t)=y?=(e1,N,ol)?(e2,N).

推論2 鋰電池正、 負極表面濃度的誤差,e1,N和e2,N與狀態(tài)誤差向量e1和e2滿足的關系式為e1,N=Ce1,e2,N=Ce2,其中C=為滿足輸出電壓的分布矩陣,且C ∈ R1×N.

根據方程(20),(21)和(22)及推論2,可得正、負極狀態(tài)觀測器的誤差動力學方程分別為

從而將系統(tǒng)(20)的狀態(tài)誤差問題歸結為:求得輸出誤差反饋增益矩陣L1和L2,以保證在特定的衰減系數(shù)γ>0下,誤差狀態(tài)方程(23)和(24)在w(t)下是漸進穩(wěn)定的,即→ 0,且在零初始條件下對所有?w(t)∈L2[0,+∞)滿足

根據有界實理論[32],本文將H∞互聯(lián)狀態(tài)觀測器的設計轉化為尋找合適的對稱正定矩陣P1>0,P2>0和適當維數(shù)矩陣Y1和Y2,進而獲得狀態(tài)觀測器增益矩陣L1和L2,使得下面的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)成立:

為了將(25)式轉化為一個線性矩陣不等式,定義Y1=P1L1(即L1=P?11Y1),Y2=P2L2(即L2=于是,不等式(26)和(27)可進一步轉化為:

根據本文第二節(jié)所識別的鋰電池模型參數(shù)并設定γ=1.69,利用MATLAB中的LMI工具箱求解(28)和(29)式可得P1,Y1和P2,Y2,進而確定控制增益L1和L2.

4 鋰電池互聯(lián)觀測器的性能仿真分析

為了驗證本文所設計的鋰電池互聯(lián)觀測器的有效性和準確性,本節(jié)對文獻[8]中的單電極觀測器(Obsv-1)、本文提出的互聯(lián)觀測器(Obsv-2)以及上述ESPM模型所計算的輸出電壓和SOC進行了仿真和對比分析.

4.1 HPPC脈沖電流工況

在HPPC脈沖變電流放電工況驗證中,鋰電池初始的SOC為100%,放電結束時SOC為20%,且放電過程的環(huán)境溫度設定為23?C.圖7和圖8分別為應用ESPM,Obsv-1以及Obsv-2模型在所識別出的鋰電池電化學參數(shù)下計算出的鋰電池終端電壓及其誤差的對比曲線、鋰電池SOC估計值及相應的SOC誤差變化曲線.注意,圖8中的SOCref為應用安時積分法得到的SOC估計值,并將其作為SOC參考值.另外,圖7—10中的電壓誤差計算式分別為Verror-1=Vexp?VESPM,Verror-2=Vexp?VObsv-2,Verror-3=Vexp?VObsv-1;S OC誤差計算式分別為SOCerror-1=SOCref?SOCESPM,SOCerror-2=SOCref?SOCObsv-1,SOCerror-3=SOCref?SOCObsv-2.

圖7 HPPC工況下不同模型計算的鋰電池 (a)輸出電壓;(b)電壓誤差曲線Fig.7.The computing results of different Li-ion cell model under HPPC operation:(a)Cell voltage;(b)voltage error.

圖8 HPPC工況下不同模型計算的鋰電池 (a)SOC估計值;(b)SOC誤差曲線Fig.8.The SOC comparison of different Li-ion cell model under HPPC operation:(a)SOC estimation;(b)SOC errors.

分析圖7可知,相比于鋰電池終端電壓的實驗值,本文提出的Obsv-2觀測器計算得到的輸出電壓最大相對誤差為2.6%;在同樣工況下,利用ESPM,Obsv-1模型計算的鋰電池輸出電壓最大相對誤差分別為2.0%和3.8%.從圖8的SOC估計效果看,在相同的電流和電壓情況下,相比于SOC參考值,本文提出的觀測器的預測最大絕對誤差為3.4%,文獻[8]中的單電極觀測器的最大絕對誤差為4.7%,ESPM模型的SOC計算誤差最大值為2.4%,這表明本文提出的觀測器SOC估算具有更高的精度,由于本文提出的觀測器模型忽略了電解液電化學動力學行為的影響,因而本文的觀測器SOC預測精度略低于ESPM模型.

4.2 UDDS電流工況

為進一步驗證和評估本文提出的觀測器在鋰電池輸出電壓和SOC估計方面的有效性和準確性,圖9和圖10顯示了在UDDS變電流工況下(室溫23?C)應用ESPM,Obsv-1以及Obsv-2模型計算出的鋰電池終端電壓及其誤差的對比曲線,鋰電池SOC估計值及相應的SOC誤差變化曲線.

圖9 UDDS工況下不同模型計算的鋰電池 (a)輸出電壓;(b)電壓誤差曲線Fig.9.The computing results of different Li-ion cell model under UDDS operation:(a)Cell voltage;(b)voltage error.

圖10 UDDS工況下不同模型計算的鋰電池 (a)SOC估計值;(b)SOC誤差曲線Fig.10.The SOC comparison of different Li-ion cell model under UDDS operation:(a)SOC estimation;(b)SOC errors.

從圖9可知,應用ESPM、單電極觀測器模型以及本文設計的觀測器模型都能準確預測UDDS工況下鋰電池輸出電壓的變化趨勢;且三種模型計算的鋰電池輸出電壓與同樣工況下的測量輸出電壓最大相對誤差依次為1.9%,3.2%和2.1%.從圖10可以得出,在相同的電流和電壓情況下,相比于SOC參考值,三種模型計算的鋰電池SOC最大相對誤差分別為2.1%,4.4%和3.2%.這進一步說明了本文提出的觀測器模型在SOC預測方面具有較高的精度,且SOC誤差變化趨勢更加平穩(wěn),即本文設計的互聯(lián)觀測器總體上呈現(xiàn)更好的魯棒穩(wěn)定性.

5 結 論

1)基于多孔電極理論和濃度理論提出一種鋰電池擴展單粒子模型,該模型考慮了電解液液相動力學行為,耦合了溫度和液相濃度變化對鋰離子電池關鍵參數(shù)的影響.基于該模型完成了鋰電池關鍵內部參數(shù)的識別和驗證.

2)通過對ESPM模型的簡化得到SPM模型,基于SPM模型和H∞魯棒控制理論提出一種新型的鋰電池雙向互聯(lián)觀測器,可實現(xiàn)鋰電池對正、負電極濃度分布和SOC估計.同時,相比于HPPC和UDDS工況下的實驗數(shù)據,對比分析了ESPM,Obsv-1以及Obsv-2模型計算出的鋰電池在兩種工況下的終端電壓和SOC響應曲線.結果發(fā)現(xiàn):當鋰電池在室溫23?C時,在HPPC工況下應用三種模型計算出的鋰電池輸出電壓最大相對誤差分別為2.0%,3.8%和2.6%,同樣工況下SOC估計值的最大相對誤差分別為2.4%,4.7%和3.4%;在UDDS工況下,應用三種模型計算出的鋰電池輸出電壓最大相對誤差分別為1.9%,3.2%和2.1%,同樣工況下計算出的SOC估計值最大相對誤差分別為2.1%,4.4%和3.2%.

3)下一步將基于本文的互聯(lián)狀態(tài)觀測器開發(fā)一種考慮老化機理的鋰電池SOC狀態(tài)估計器,使其能夠實現(xiàn)對正、負極濃度分布和鋰電池剩余壽命及其SOC的準確估計.