孔祥宇 朱垣曄 聞經(jīng)緯 辛濤 李可仁 龍桂魯2)?

1)(清華大學物理系,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

2)(量子物質(zhì)科學協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100084)

(2018年4月20日收到;2018年5月24日收到修改稿)

1 引 言

量子信息是量子力學和信息科學的交叉學科,與傳統(tǒng)信息科學相比,量子信息包含完全不同于以往經(jīng)典概念的特性,如波粒二象性、量子糾纏、量子態(tài)疊加等.量子計算起源于1980年,Benio ff[1]試圖運用量子力學來進行可逆計算以減少熱能耗散,Feynman[2]則從高效量子模擬的角度出發(fā),兩人分別獨立地提出了量子計算的概念.很少為人知曉的是,蘇聯(lián)科學家Manin[3]也在同時期提出了量子計算的思想.由于量子的并行性,量子計算處理數(shù)據(jù)和存儲數(shù)據(jù)的能力與經(jīng)典計算相比要顯得更強大.自1995年以來,量子計算逐漸成為國際上最炙手可熱的研究前沿,多種可能實現(xiàn)量子計算機的方案相繼被提出.DiVincenzo[4]在2000年總結(jié)了實現(xiàn)量子計算的潛在物理體系需要滿足的五項要求.其中,最為重要的一點是該系統(tǒng)應(yīng)該具有可擴展的量子比特.迄今為止,核磁共振系統(tǒng)、超導約瑟夫森結(jié)、金剛石色心、離子阱、量子點等物理體系因各自不同的優(yōu)點,成為建造通用量子處理器的熱門候選者.在這篇綜述中,我們僅限于討論當前量子信息處理中有關(guān)液態(tài)核磁共振的技術(shù)和成果.

1946年,Bloch和Purcell觀測到處于強磁場中的核自旋可以吸收和發(fā)射具有共振頻率的電磁輻射.此后核磁共振(NMR)技術(shù)得到迅速發(fā)展與應(yīng)用,不僅可以用于分析化合物結(jié)構(gòu),而且能夠進行醫(yī)學成像、探礦等.1998年,Chuang,Laflamme和Cory等提出可以將核磁共振系統(tǒng)作為量子信息處理器[5?7],從而開啟了核磁共振量子計算這一研究方向.與其他量子計算系統(tǒng)相比,核磁共振系統(tǒng)在噪聲環(huán)境下具有較強的魯棒性,具有長相干時間,可以實現(xiàn)對量子比特精確的控制[8].近年來,核磁共振平臺上的一些量子控制技術(shù),不僅提高了基于核磁共振的量子信息處理的能力,而且為操控其他量子系統(tǒng)提供了技術(shù)和啟發(fā).例如,梯度上升脈沖方法(GRAPE)[9],通過計算梯度和優(yōu)化目標函數(shù),實現(xiàn)對量子系統(tǒng)的高精度優(yōu)化操控.該技術(shù)目前已被廣泛用于超導電路、離子阱和金剛石色心等量子計算平臺中.最近,這一技術(shù)又取得了新的進展,在GRAPE中,優(yōu)化目標函數(shù)和梯度的計算是在經(jīng)典計算機上完成,花費的計算時間隨著系統(tǒng)的增大而呈指數(shù)增加.最近基于GRAPE技術(shù)[10?12]發(fā)展起來的測量量子反饋控制技術(shù)(MQFC)可以在所研究的量子體系中完成對量子信息處理器目標函數(shù)和梯度的計算,也就是在量子系統(tǒng)中進行計算,一方面加快了優(yōu)化速度,一方面能修正系統(tǒng)誤差.MQFC技術(shù)已經(jīng)在12個量子比特的核磁共振系統(tǒng)上進行了高精度優(yōu)化控制的驗證.另一個重要發(fā)展是Laflamme研究組提出的“脈沖編譯器方法”,以解決GRAPE技術(shù)在高比特量子系統(tǒng)[13,14]中的不可拓展性.在核磁共振的發(fā)展過程中一些重要的理論也被應(yīng)用到其他方面,比如,平均哈密頓理論[15]是利用脈沖序列對核自旋內(nèi)部哈密頓量進行調(diào)制的普遍方法,被廣泛用于設(shè)計解耦序列,如WHH4和WHH16[16,17].基于平均哈密頓理論的動力學解耦技術(shù),可以消除或減少自旋和環(huán)境之間的相互作用,從而延長量子態(tài)的相干時間[18?20].此外動態(tài)解耦技術(shù)還可以與量子門相結(jié)合,通過實現(xiàn)動力學解耦序列之間的協(xié)同操作可以保護量子門操作[21,22].絕熱量子計算是通過緩慢調(diào)節(jié)系統(tǒng)的哈密頓量進而實現(xiàn)目標哈密頓量從初態(tài)到目標態(tài)的演化,通常用于研究多體量子系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)[23?25].

另一方面,核磁共振技術(shù)的發(fā)展使得許多量子算法的演示成為可能,如Grover搜索算法[26?28]、Shor大數(shù)分解算法[29]、Deutsch-Jozsa算法[30]、Ordering-Finding算法[31]、Hogg算法[32]和線性方程求解的算法[33].值得一提的是,非絕熱和樂量子計算也首先在核磁共振[34,35]中得到實現(xiàn).而且,核磁共振系統(tǒng)作為一個量子模擬器,可以用于模擬基本量子力學模型、量子延遲選擇[36,37]、量子相變[38,39]、量子隧道效應(yīng)[40,41]和其他不易操控的量子系統(tǒng)等.核磁共振量子處理器還可用于探索隱變量理論和量子力學基本原理的研究,包括量子隱形傳態(tài)、量子超密編碼、波粒二象性、波函數(shù)、Bell不等式、超導現(xiàn)象研究[42?48]等.

本綜述其余部分安排如下:第2節(jié)介紹核磁共振量子計算的基本原理,主要包括核磁共振物理系統(tǒng)的原理以及為了實現(xiàn)量子計算而發(fā)展的一些技術(shù)；第3—5節(jié)主要介紹利用核磁共振系統(tǒng)進行的研究工作,包括利用核磁共振系統(tǒng)已經(jīng)實現(xiàn)的量子算法、利用核磁共振系統(tǒng)進行量子模擬的成果以及我們研究組發(fā)布的核磁共振量子云平臺；在第6節(jié),對核磁共振作為一個量子計算平臺進行總結(jié)和展望,包括液態(tài)核磁共振的局限性、固態(tài)核磁共振的性質(zhì)以及未來的發(fā)展方向.

2 核磁共振量子計算基礎(chǔ)

在目前可用于進行量子計算的物理體系中,核磁共振系統(tǒng)具有相干時間長、量子門操作易于實現(xiàn)、實驗技術(shù)完善等優(yōu)勢,是實驗上實現(xiàn)可操控量子比特數(shù)較多以及演示算法數(shù)較多的物理體系之一.簡言之,核磁共振量子計算的基本過程包括:以樣品分子中的碳、氫等原子的核自旋在外加磁場的作用下形成的二能級系統(tǒng)作為量子比特,結(jié)合高精度的控制脈沖實現(xiàn)通用化的控制邏輯門[49],并通過探測自由衰減信號實現(xiàn)對末態(tài)結(jié)果的讀取測量[50].

由于單個核磁矩信號很微弱,所以要產(chǎn)生可探測的信號就需要大量分子,這意味著核磁共振系統(tǒng)是一個宏觀的系綜系統(tǒng),把處于特定環(huán)境下所有不可區(qū)分粒子的核自旋整體作為一個量子比特.所以可以取樣品粒子中n個可區(qū)分的1/2自旋的核作為n個不同的量子比特,即該樣品分子本身就是一臺n量子比特的量子計算機.這里的可區(qū)分一般是指不同的元素,或者是化學位移不同的同一種元素.常用的兩量子比特樣品分子是13C標記的氯仿,三量子比特樣品分子有13C標記的三氯乙烯,13C標記的丙氨酸,13C標記的氟代丙二酸二乙酯.為解決核磁信號微弱而采用系綜系統(tǒng)也帶來核磁系統(tǒng)的初始化問題,直到1997年Cory等[7]提出以贗純態(tài)作為核磁共振量子計算初始態(tài)的方案才解決了這一問題.發(fā)展至今,典型的贗純態(tài)制備方法有空間平均法[51?53]、時間平均法[54]、邏輯標記法[55]、貓態(tài)制備法[56,57]等.關(guān)于量子態(tài)的控制,通過控制外加射頻脈沖來對核自旋進行任意角度的旋轉(zhuǎn),即可實現(xiàn)單比特操作,再利用核自旋間的J耦合作用可以實現(xiàn)兩比特門,如CNOT門.而任意單比特邏輯門和CNOT邏輯門的實現(xiàn)則意味著通用量子門的實現(xiàn).實際工作中,由于具體算法的量子線路拆解為基本邏輯門后數(shù)量很多,而且硬脈沖控制下的演化精度很低,所以一般會結(jié)合脈沖數(shù)值優(yōu)化技術(shù)來提高對量子系統(tǒng)的控制精度,典型的有強調(diào)制脈沖技術(shù)(SMP)和GRAPE法.系綜體系的量子態(tài)用密度矩陣來表示,量子計算的結(jié)果則通過施加一系列輔助脈沖來重構(gòu)密度矩陣的方式獲取,稱為量子態(tài)重構(gòu)(quantum state tomography).

2.1 贗純態(tài)制備的“二步法”和“一步法”

在核磁共振體系中由于熱平衡態(tài)是一個混合態(tài),因此量子計算初始化便成了一個非幺正的過程.這個非幺正性,在空間平均法中通過梯度場實現(xiàn)；邏輯標記法通過約化到子空間實現(xiàn),等價于測量操作；時間平均法則是利用多個幺正操作相加的非幺正性實現(xiàn).但列舉的這幾種典型贗純態(tài)制備方案都有不可回避的缺點,例如空間平均法會造成信號強度的損失,邏輯標記法則會帶來比特資源的耗費,時間平均法需要重復(fù)實驗等.近期我們組在理論與實踐中發(fā)展出一些新的贗純態(tài)制備方法,我們稱之為“兩步法”和“一步法”[58].接下來以這兩種方法為例簡要介紹贗純態(tài)的制備過程.

首先以三量子比特系統(tǒng)為例說明“兩步法”的贗純態(tài)制備過程.核磁體系三比特系統(tǒng)的熱平衡態(tài)的偏移密度矩陣為:

得到態(tài):

將此態(tài)與熱平衡態(tài)相加即得到如下形式的結(jié)果:

所以具體的實驗制備過程是將熱平衡態(tài)直接取樣,再對熱平衡態(tài)施加變換操作U3再采樣,將兩次采樣的計算結(jié)果相加得到的密度矩陣在子空間中的形式等價于純態(tài).

對于一般量子比特熱平衡態(tài)變換Un的通用量子線路如圖1所示.

圖1 幺正變換Un的量子電路Fig.1.The quantum circuit of unitary transformation Un.

兩步方案結(jié)合了邏輯標記法和時間平均法的思路,同時最大程度地減小了比特資源的浪費,也不存在一次實驗而多次使用梯度場對信號的減弱,而且對分子結(jié)構(gòu)沒有特殊要求,更減少了操作步驟,綜合來看是一個相對以往算法性能更加優(yōu)異的贗純態(tài)制備方法.

除了“兩步法”之外,還有操作步驟更為簡單的稱為“一步法”的有效純態(tài)制備方案,該方案的核心思路是引入一個輔助比特,先對熱平衡態(tài)做一系列的幺正變換,再對整個體系加一次梯度場,一次性地除去不需要的磁化分量,使最終密度矩陣在子空間的形式等價于純態(tài).一步法的量子線路如圖2所示.

圖2 一步法的量子線路圖Fig.2.The quantum circuit of onestep algorithm.

一步法的核心思路與空間平均法類似,但在一定程度上減少了梯度場的使用次數(shù)以避免信號強度的嚴重損失,并且簡化了操作流程,結(jié)合GRAPE脈沖優(yōu)化算法可以實現(xiàn)高保真度的贗純態(tài)制備.與之前在核磁共振中常用制備贗純態(tài)的四種方法,我們進行了復(fù)雜性分析.如表1所示,其中f(n)表示與系統(tǒng)所包含的比特數(shù)n有關(guān)的函數(shù),下標對應(yīng)各類初始化方案的英文首字母,通常f(n)都是隨著n的增大而不斷增大的.而我們提出的一步法和兩步法在隨著系統(tǒng)維度增大時,實驗采集次數(shù)、使用梯度場次、輔助比特使用個數(shù)都不依賴于系統(tǒng)所包含的比特數(shù)目.因此這兩種方案因比特數(shù)目增加所帶來的困難將會是最小的.而且我們給出了n比特的量子線路,結(jié)合自旋共振體系的GRAPE脈沖優(yōu)化算法,這兩種方案具有很強的拓展性.

表1 兩種方案與之前方案比較Table 1.The differences between the two protocols and previous protocols.

2.2 量子噪聲注入技術(shù)

環(huán)境噪聲是一把雙刃劍,在一些特定的情況下噪聲是不必要的,需要采取方法進行抑制,但是另一方面,噪聲也是產(chǎn)生某些新奇物理現(xiàn)象的關(guān)鍵因素[59,60].例如觀察CDD,UDD,QDD等DD序列在噪聲下的演化,或者是研究特定噪聲環(huán)境下開放系統(tǒng)的動力學行為,另外量子模擬也需要人為模擬一些噪聲.因此有時需要在可控量子系統(tǒng)中構(gòu)建人工噪聲.這里介紹一些在核磁共振系統(tǒng)中注入各種噪聲的方式,包括縱向弛豫噪聲、橫向弛豫噪聲和混合噪聲[61?63].

2.2.1 縱向弛豫噪聲

在量子體系完全穩(wěn)定的情況下,核磁共振系統(tǒng)的縱向弛豫是由控制場泄露或者幅度波動導致. 相應(yīng)的哈密頓模型可以等價地寫為HLR(t)=其中βx(t)為時域上具有正態(tài)分布的隨機噪聲,?是拉比頻率,的形式如下:

其中αi=x,y,z是噪聲幅值;?j是隨機相位;噪聲頻率ωj是基礎(chǔ)頻率ω0的整倍數(shù),即ωj=jω0;Nω0確定高頻截斷點;函數(shù)F(ωj)是該模型的噪聲譜函數(shù).βx(t)時間關(guān)聯(lián)函數(shù)寫為

能量譜密度(PSD)可以表示為隨機信號在頻域的能量分布.應(yīng)用Wiener-Khintchine理論,可以通過傅里葉變換得到PSD:

因此,可以用PSD模型來反求時域的噪聲分布.例如,如果我們想模擬S?(ω)～ωp,調(diào)制函數(shù)為F(ωj)=(ωj)p,由函數(shù)F(ωj)直接可以獲得時域分布?βx(t).我們可以研究在此噪聲模型下的量子系統(tǒng)的動力學行為.

2.2.2 橫向弛豫噪聲

橫向弛豫噪聲一般導致系統(tǒng)的退相干效應(yīng),主要源于核磁共振系統(tǒng)的不均勻性以及非靜態(tài)的磁場等因素.與處理縱向弛豫噪聲的方法類似,

PSD和噪聲譜函數(shù)F(ωj)可以寫為

總之,由圖3可知需要確定F(ωj)的函數(shù)形式以實現(xiàn)一般化的噪聲PSD.

圖3 各類噪聲振幅和相位對比Fig.3.Various types of noise amplitude and phase contrast.

這里的?θτ是βz(t)的積分,ωL表示拉莫頻率.因此如果想要在退相干環(huán)境中模擬量子系統(tǒng)的演化過程,只需要在合適的時間點繞z軸轉(zhuǎn)動?θτ.

2.2.3 混合噪聲

通過把上述兩種噪聲簡單結(jié)合并不能得到混合噪聲,因為βx(t)σx和βz(t)σz是不對易的.在滿足共振條件ω=ωL的旋轉(zhuǎn)坐標系中,存在混合噪聲的控制場的系統(tǒng)哈密頓量為

考慮到繞z軸的旋轉(zhuǎn)在核磁共振實驗平臺是不可直接實現(xiàn)的,我們一般把上述哈密頓量轉(zhuǎn)換到相互作用繪景.在相互作用繪景中哈密頓量的形式為

當再變換到旋轉(zhuǎn)坐標系,退相干效應(yīng)的傳播子為

為了制造混合噪聲環(huán)境,噪聲波函數(shù)β(t)和θ(t)是人為引入的,并注入信號發(fā)生器以調(diào)制控制場脈沖.量子比特在x-y平面繞變動的軸以浮動的拉比頻率轉(zhuǎn)動,然后繞z軸轉(zhuǎn)動角度?θt.至此,我們提出了在可控系統(tǒng)中引入人工噪聲的方法[63,64].值得注意的是,這里引入噪聲的方法是在可控操作中加入噪聲來模擬真實噪聲環(huán)境,例如在核磁共振中就是在控制射頻脈沖中加入噪聲項.與用Kraus算子構(gòu)造噪聲信道是不同的,不存在輔助比特等資源的浪費,在現(xiàn)有各種體系中對控制技術(shù)做適當修正即可實現(xiàn),也更符合實際的噪聲產(chǎn)生情形.

2.3 量子態(tài)重構(gòu)

核磁系統(tǒng)的實驗樣品并不是一個單獨存在的分子而是大量全同分子組成的系綜,因此核磁共振系統(tǒng)所做的量子態(tài)測量并不是投影測量,而是系綜平均測量.當量子計算結(jié)束時,末態(tài)的核自旋會繞著靜磁場方向進動并恢復(fù)到熱平衡態(tài),進動的核自旋就會在x-y平面的感應(yīng)線圈內(nèi)感應(yīng)出電信號.因此核磁共振系統(tǒng)測量的物理量是橫向磁化矢量,而橫向磁化矢量信號會隨著回復(fù)到熱平衡態(tài)慢慢變成0,這個信號稱為自由衰減信號(FID).感應(yīng)線圈探測的自由衰減信號經(jīng)過傅里葉變換得到頻域中的實驗譜圖,根據(jù)這些譜圖可以計算得出末態(tài)的矩陣元信息,從而實現(xiàn)量子態(tài)測量的目的.

設(shè)系統(tǒng)的末態(tài)密度矩陣為ρ(0),撤去控制脈沖后體系將在系統(tǒng)哈密頓量Hsys的控制下演化,演化方程為

所以第一個核的自由衰減信號:

在頻率(ω1/2π?J/2)處譜峰的幅值與ρ13成正比,在頻率(ω1/2π+J/2)處譜峰的幅值與ρ24成正比,所以ρ13和ρ24可測.同理對于第二個核可測ρ12和ρ34.由此可以看出如果只是直接測量自由衰減信號,只能得到4個分量.分析可知ρ(0)有ρ11,ρ12,ρ13,ρ14,ρ22,ρ23,ρ24,ρ33,ρ34和ρ44共十個獨立分量.因此通過一次直接測量并不能對一個未知的量子態(tài)進行重構(gòu),解決方法是通過引入觀測脈沖再進行間接測量.實驗上通過一定的觀測脈沖集合可完全實現(xiàn)對未知量子態(tài)的重構(gòu).例如對上面討論的兩比特系統(tǒng),可以引入觀測脈沖集合{II,XX,IX,IY}來完成量子態(tài)重構(gòu).

3 利用核磁共振實現(xiàn)量子算法

量子計算是利用量子力學原理來實現(xiàn)計算的模型,它利用量子疊加態(tài)這一不同于經(jīng)典計算機的資源,使得其運算速度遠快于經(jīng)典計算機,于是可以用量子計算機來解決一些在經(jīng)典計算機上不可行的難題.例如,使用最好的經(jīng)典算法來質(zhì)因數(shù)分解一個n位的整數(shù)需要Θ(exp(n1/3log2/3n))次操作.然而,用Shor提出的量子算法完成同樣的任務(wù)只需要Θ(n2lognloglogn)次操作[65].也就是說,運用量子算法進行質(zhì)因數(shù)分解相比于經(jīng)典算法可以實現(xiàn)指數(shù)加速.目前在很多量子計算平臺都已成功地演示了Shor算法[66?70].考慮退相干效應(yīng),此時第k個核的系綜平均測量信號為

其中Vk0是初始信號強度,是第k個核的橫向弛豫時間.以兩比特的測量為例:

本文簡單介紹求解線性方程組的Horrow-Hassidim-Lioyd(HHL)算法、與機器學習有關(guān)的量子支持向量機(SVM)算法、可以實現(xiàn)非酉操作的對偶量子算法,以及這些算法在核磁共振系統(tǒng)上的實現(xiàn).

3.1 HHL算法

線性方程組的求解問題在科學和工程領(lǐng)域都起著極其重要的作用.例如在導航系統(tǒng)中終端接受到N個衛(wèi)星的信號去定位一輛汽車的位置,然后通過地理位置關(guān)系和數(shù)學變換得到一個(N?1)維的線性方程組,求解該方程便可以得到車輛的位置信息.杜江峰研究研究組[33]第一次利用核磁共振系統(tǒng)成功的演示了HHL算法.對于經(jīng)典計算機求解N個未知數(shù)的線性方程組,即使得到一個近似的解,一般來說需要的時間與未知數(shù)的個數(shù)N成正比.Harrow等提出的HHL算法解一個N維的線性方程組的速度與O(logN)成正比,與經(jīng)典算法對比實現(xiàn)了指數(shù)加速的效果[71].值得一提的是,最近的量子算法普遍采用了酉算子的線性組合來的對偶量子計算范式[72].已證明,HHL算法可通過計算范式的酉算子線性組合的方式來構(gòu)造[73].HHL算法的細節(jié)如下.

這樣定義保證了A′的厄米性[74],我們可以在量子處理器上求解線性方程組(18)進而得到它的解x.在下面的討論中假定A是厄米的.如圖4所示,本算法為了進行相位估計引進量子寄存器c,為了投影測量又增加了一個輔助比特.量子寄存器b為工作比特,將向量b編碼在這個比特上,同時最后的解向量x也在這個比特上輸出.

這個算法中最主要的有兩點.首先,使用相位估計算法,選擇受控酉門為eiAτt0/T,其中 T=2l,t0=O(κ/ε),l 為量子寄存器c所需的量子位數(shù)量.完成步驟1后得到的量子寄存器c和b的量子態(tài)是以矩陣A的本征矢量為表象的量子態(tài):其次, 增加一個輔助比特用作為控制位,通過受控旋轉(zhuǎn)門來得到最終量子態(tài):

選擇一個適當?shù)某?shù)C來滿足歸一化條件.為了實現(xiàn)這樣一個態(tài),首先制備態(tài)其中 θi=2arcsin(C/λi) 從態(tài)開始,態(tài)來控制輔助比特旋轉(zhuǎn).最后,進行相位估計的逆過程得到

圖4 核磁共振實現(xiàn)HHL算法量√子線路圖 其中r=2,t0=2π;單比特操作S和H是相移門和Hadmard門,S=(1 0;0 i),H=(1 1;1 ?1)/;R(θ) 是繞 y 軸的旋轉(zhuǎn)操作,R(θ)=(cos(θ/2) ? sin(θ/2);sin(θ/2)cos(θ/2)),帶有×的豎線代表交換門Fig.4.The quantum circuit of nuclear magnetic resonance(NMR)realizing HHL algorithm,where r=2,t0=√2π.The single-qubit operations S and H are phase-shift gates and Hardmard gates.S=(1 0;0 i),H=(1 1;1?1)/R(θ)is a rotation around y axis.R(θ)=(cos(θ/2) ?sin(θ/2);sin(θ/2)cos(θ/2)).The vertical line with × represents the exchange gate.

關(guān)于實驗方面的進展,Pan等[33]用核磁共振量子處理器演示了該算法.選擇溶解在氘代氯仿中的碘三氟乙烯作為4比特樣品,其中13C核和三個19F核組成一個4比特系統(tǒng).實驗主要分為3個步驟:首先把系統(tǒng)制備到有效純態(tài)(PPS).然后對第三個量子位進行繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角度旋轉(zhuǎn)操作,得到初態(tài)歸一化的狀態(tài)最后,在初態(tài)ρ0之上實現(xiàn)如圖4的量子線路.

在實驗中,他們選取一個特殊的矩陣A:所有的操作都通過梯度上升算法優(yōu)化的脈沖序列來實現(xiàn).最后進行單量子比特的態(tài)重構(gòu),從末態(tài)讀出目標態(tài)|x.這是首次在核磁共振量子處理器上實現(xiàn)解線性方程組的量子算法的演示.

3.2 量子機器學習

人工智能和機器學習的研究一浪高過一浪.然而在經(jīng)典計算機上,這些算法需要大量的資源支持[75].伴隨著量子信息技術(shù)的發(fā)展,人們可以試圖利用量子并行性來構(gòu)造量子機器學習算法,來解決這些問題,與經(jīng)典機器學習算法相比,有的量子算法甚至是可以接近指數(shù)加速[76,77].量子計算機的產(chǎn)生從某些層面上也推動了經(jīng)典機器學習的發(fā)展.運用量子力學的原理可以優(yōu)化經(jīng)典的機器學習算法[78?80].

量子信息和機器學習的交叉領(lǐng)域無論理論還是實驗上都取得了一些進展[81?84],其中之一就是實驗上演示了量子版本的支持向量機算法.支持向量機算法是監(jiān)督學習的一種,通過運用標準數(shù)據(jù)的訓練,可以對未知數(shù)據(jù)進行分類,解決的是二元分類問題[83].Li等[84]運用支持向量機解決圖像識別問題,展示了這種算法可以學習標準集的特征,然后從兩個備選答案中識別圖像的特征.作者利用打印的標準字體‘6’和‘9’來訓練機器,然后讓機器識別手寫的‘6’和‘9’. 具體來說,首先數(shù)學處理圖片轉(zhuǎn)化為向量,包括垂直比和水平比.其中垂直比由垂直方向上半部分的像素點總和除以下半部分的像素點總和；同樣的水平比是水平方向左半部分像素點總和除以右半部分總和.計算標準字體‘6’的打印圖片可得其向量為x1=(0.987,0.159),計算標準字體‘9’可得代表它的向量為x2=(0.354,0.935).同樣的手寫的字體也要經(jīng)過這樣的數(shù)學處理.文中作者定義字體‘6’為一類,用y=1表示,為正類；字體‘9’為一類,用y=?1表示,為負類.而支持向量機算法就是通過對已知標記結(jié)果的數(shù)據(jù)進行訓練,然后對一個新的向量x0進行二元分類.

在數(shù)學上,存在一個超平面,定義為:w·x+b=0.而正類中所有數(shù)據(jù)滿足w·x+b>1,負類中所有數(shù)據(jù)滿足w·x+b 6 1.那么接下來支持向量機算法中最核心的一個最優(yōu)化的問題:在滿足yi(w·x+b)>1的條件下,通過求解w和b來實現(xiàn)最優(yōu)超平面(兩類之間的距離最大).在最后求得超平面的參數(shù)得到的情況下,對一個新向量x0進行分類,計算結(jié)果由下式得到:如果y(x0)=+1,我們把這個新向量歸到正類,這就是這個向量代表的手寫字是‘6’.如果y(x0)=?1,就把這個新向量歸到負類,也就是這個向量代表的手寫字是‘9’.在支持向量機算法中,向量w可以表示為其中M為訓練的數(shù)據(jù)量,αi是第i個訓練數(shù)據(jù)xi的權(quán)重.因此,求解αi和b來實現(xiàn)最優(yōu)化超平面.根據(jù)支持向量機的最小二乘法近似[85],這些參數(shù)可以由求解方程得到:

3.3 對偶量子計算

回顧已有的量子算法都是使用酉操作的乘積,酉算符的逆算符也是酉算符,因此過去的量子算法都是通過酉算符的乘或除進行的.因此經(jīng)典算法中的許多操作都無法在量子算法中直接運用,如加減乘除及其線性組合.量子算法操作的幺正性嚴重限制了量子算法的發(fā)展.如果能夠利用酉算符的線性疊加來構(gòu)造量子算法,則可以吸納很多經(jīng)典算法的很多技巧.

利用酉算符線性疊加來進行量子計算的對偶量子計算算法在2002年提出[72],隨后得到了飛速的發(fā)展[86?103].這種新的計算模式采用了輔助比特,在整個量子體系和輔助比特所構(gòu)成的系統(tǒng)中演化是酉的,但在量子計算子空間中,演化不再是酉的.其數(shù)學理論框架在Gudder,杜鴻科,曹懷信以及龍桂魯?shù)呐ο乱呀?jīng)趨于成熟.

近年來量子算法取得了重要的進展.線性方程組求解算法[73]、封閉量子體系的新型模擬算法,以及開放量子體系的模擬算法[104]等新量子算法本質(zhì)上都是利用了酉算符線性疊加的對偶量子算法.

不同于傳統(tǒng)的量子計算方法,如圖5所示,對偶量子計算是利用量子力學中的波粒二象性,可以理解為對通過不同狹縫的波函數(shù)進行平行操作實現(xiàn)非酉演化的操作.在對偶量子計算機中,波函數(shù)被分為若干個子波并使其通過不同的路徑,在不同的路徑中施加不同的量子門操作,然后這些子波重新干涉,給出計算結(jié)果.

對偶量子計算整個過程分為四個步驟.考慮一個由工作系統(tǒng)|ψ和輔助系統(tǒng)|0?n構(gòu)成的對偶量子計算系統(tǒng),其中d=2n為工作系統(tǒng)中需要線性疊加酉算符個數(shù),量子線路如圖6所示.

圖5 三狹縫對偶量子計算演示圖,由一條狹縫注入光波,再由中間的3個狹縫分為3個子波,中間屏后對不同的子波進行不同的操作,對偶量子計算的輸出從右邊的3個狹縫獲得,不同狹縫處的輸出對應(yīng)著不同的量子計算結(jié)果[104]Fig.5.Three slits dual quantum computation diagram.The light waves begin with one slit,and then it is divided into three sub-wave with three slits,the middle of the screen after the different wavelets for different operations.The output of the dual quantum computation is obtained from the three slits on the right,and the outputs at the different slits correspond to different quantum computation results[104].

圖6 輸出的對偶量子計算線路圖,|ψ?是工作比特初態(tài),|0?是輔助比特初態(tài)[104]Fig.6.Multi-output dual quantum circuit diagram.|ψ?is the working bit initial state,and|0?is the auxiliary bit initial state[104].

步驟4 在步驟3之后,輔助比特處于疊加態(tài),首先進行振幅放大操作,然后經(jīng)過測量得到系統(tǒng)輸出態(tài).

需要特別指出,當用對偶量子算法來構(gòu)造閉合系統(tǒng)的動力學演化過程時,如果不進行振幅放大,算法是有成功概率的.算法的成功概率Ps對應(yīng)著輔助比特處于|0態(tài)的概率.計算可得:

失敗概率為

舉個具體例子來說,我們可以利用對偶量子算法模擬開放量子系統(tǒng).由于和環(huán)境不可避免的耦合作用,幾乎所有現(xiàn)實的量子系統(tǒng)都是開放量子體系.開放量子體系的演化通常是非幺正的,因此也適合使用對偶量子計算模式進行模擬[104],量子線路如圖7所示.開放量子體系的時間演化可以通過Kraus算子來實現(xiàn),而Kraus算子可以表示為幺正算符線性疊加的形式.我們通過實現(xiàn)Kraus算子的方式給出了一種模擬開放量子體系演化的對偶量子算法,這種算法相比較于傳統(tǒng)的幺正算法有兩個優(yōu)勢.首先,算法的詢問復(fù)雜度由原來的維度的四次方量級O(d4)降低到三次方量級O(d3).第二,通過使用泰勒展開截斷近似的方法,相較于以前的幺正模擬算法精度有了指數(shù)級提高.

我們考慮一個與單比特環(huán)境耦合的單比特工作系統(tǒng).U是作用在工作比特和環(huán)境上的算符[104].U表示為

其中X是表示作用在環(huán)境上的泡利矩陣,P0=作用在工作系統(tǒng)的投影算符.環(huán)境的初態(tài)為在這種特殊情況下,Kraus算子的數(shù)目為2.演化方程為

其中E0=P0,E1=P1,并滿足完備條件:

圖7 實現(xiàn)單比特開放量子體系演化的線路圖,其中V,W 是正文中提到的合波、分波算符,U1,U2在下文中有詳細敘述Fig.7. The quantum circuit of the evolution of a single-qubit open quantum system. Where V and W are the combined wave and split wave operators.U1,U2are described in detail below.

E0和E1可以分別由對偶量子門 L0=實現(xiàn).將E0和E1分解為如下形式:

其中Z是泡利矩陣,U0=Z,U1=I.幺正算符V和W可以選定為

在獲得U0和U1對應(yīng)的哈密頓量后,可以通過泰勒展開截斷近似的方法在對偶量子計算里實現(xiàn)哈密頓量的近似模擬.

另外基于對偶量子計算對量子通道的模擬已由Wei等[105]在核磁共振平臺實現(xiàn).

4 利用核磁共振實現(xiàn)量子模擬

從20世紀80年代開始,人們逐漸意識到:由于真實的世界是遵循量子力學的,需要利用希爾伯特空間來描述.那么隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加,利用傳統(tǒng)的方法來模擬真實物理過程將變得非常困難.一個最直接的困難就是,利用經(jīng)典的方法模擬系統(tǒng)維度會隨著真實系統(tǒng)規(guī)模的增加而成指數(shù)增加,需要的參數(shù)個數(shù)將會成指數(shù)增加,那么用到的經(jīng)典計算機的存儲資源也將成指數(shù)增加.這可能會超越經(jīng)典計算機的存儲能力,而且經(jīng)典的CPU也不能對如此大的數(shù)據(jù)量進行處理.由于經(jīng)典計算機無法有效地模擬量子系統(tǒng),1982年費曼曾經(jīng)提出過用量子系統(tǒng)來模擬真實的物理現(xiàn)象[2],這也被認為是量子計算機概念的起源.1996年,Lloyd進一步提出量子計算機可以作為通用量子模擬器對真實系統(tǒng)進行模擬.在實際情況中,針對特定問題的模擬往往可以采用專用量子模擬器來處理[106],并不一定由通用量子模擬器(量子計算機)來實現(xiàn).

實現(xiàn)所謂的“量子霸權(quán)”可以看作量子計算領(lǐng)域的一塊里程碑.“量子霸權(quán)”,即量子器件在某種實現(xiàn)上可以超越經(jīng)典超級計算機.量子模擬器則被認為是具有特定目標性的量子計算機,在將來幾年可能會觸及一些“量子霸權(quán)”.這也是實現(xiàn)通用量子計算機的第一步,最近的一些實驗已經(jīng)揭開了序幕.量子模擬器已經(jīng)成功地在多個量子平臺實現(xiàn),比如離子阱、光學系統(tǒng)和超導系統(tǒng),還有我們熟知的核磁共振系統(tǒng)[107].核磁共振系統(tǒng)距今也已經(jīng)歷了六十年的發(fā)展,其量子控制技術(shù)目前可以達到對12量子比特的樣品進行精確控制.液態(tài)核磁共振量子信息處理首先在理論上分別獨立由Cory,Gershenfeld和Chuang在1997年提出.由于退相干時間長且射頻脈沖控制精確,往往被認為是一個優(yōu)秀的量子模擬平臺.從2004年起,在核磁共振平臺上展示了一系列關(guān)于模擬其他物理系統(tǒng)的實驗[108?110].2004年,張競夫等[111]使用三量子比特核磁共振量子系統(tǒng),實現(xiàn)了基于量子相位估計的量子時鐘同步算法.Zhang等[112]在2008年研究了量子臨界點的相變,并通過開發(fā)量子探針技術(shù)使核磁共振系統(tǒng)可以實現(xiàn)更復(fù)雜的模擬.2009年,Peng等[39]模擬了具有兩體和三體相互作用的哈密頓量,他們利用哈密頓量的絕熱演化制備了基態(tài),開辟了在核磁共振系統(tǒng)中模擬復(fù)雜哈密頓量的新方法.2010年,Du等[113]在核磁共振系統(tǒng)對一個氫分子進行了模擬,最后得到了基態(tài)能量,展示了量子模擬在計算量子化學領(lǐng)域的巨大潛力.同年,退相干引起的局域化效應(yīng)也被Suter等[114]模擬.2013年,Feng等[40]在核磁共振平臺利用數(shù)字量子模擬算法對一維空間中粒子在雙勢阱中的隧穿現(xiàn)象進行了模擬.近期,有很多與生物和量子信息處理相關(guān)的交叉方向,而核磁共振量子模擬器甚至可以用來研究一些生物學行為[115,116].

本文將詳細介紹單粒子隧穿現(xiàn)象的量子模擬,以及目前NMR量子模擬的兩個熱點方向:拓撲結(jié)構(gòu)[117,118]和高能物理[119,120].

4.1 隧穿現(xiàn)象的量子模擬

在量子力學的體系里,量子隧穿現(xiàn)象是指如電子等微觀粒子能夠穿過勢壘能量高于自身總能量的一種量子行為.而經(jīng)典力學里,這是不可能發(fā)生的,但是在量子理論中卻可以概率性地發(fā)生.作為一種基本而重要的量子現(xiàn)象,量子隧穿在很多量子效應(yīng)中都有著非常重要的應(yīng)用,例如原子核的α衰變中的隧穿[121],超導庫珀對中的隧穿[122].另外量子隧穿還廣泛應(yīng)用于各種現(xiàn)代實驗器件,例如掃描隧道顯微鏡、約瑟夫森結(jié)[123].因此對量子隧穿這一基本的現(xiàn)象的模擬無疑有著重要的意義.

考慮一個在囚禁在一維雙勢阱中運動的微觀粒子,其運動規(guī)律遵循薛定諤(Schr?dinger)方程,

為方便討論,在這里選取自然單位制,即~等于1,其中?P和?X分別是量子力學中的動量和坐標算符,為勢阱中粒子的哈密頓量.因此,系統(tǒng)波函數(shù)隨時間的演化如下:

一般而言,粒子波函數(shù)在一維空間內(nèi)是連續(xù)分布的,若要對此進行有效模擬,必須把連續(xù)的一維空間離散化.Zalka[124]和Wiesner[125]提出了一個算法,假設(shè)ψ(x,t)在一維空間是周期分布的,因此只考慮0

其中xk=(k+1/2)?l,?l=1/2n,而|k的二進制展開對應(yīng)的是n比特量子寄存器的基矢.那么接下來的任務(wù)就是把(35)式中的動量算符?P和勢能算符V(?X)進行離散化,并在上述基矢下展開.很顯然的是勢能算符V(?X)是坐標?X的一個函數(shù),所以V(?X)離散化之后在坐標表象下的矩陣形式是對角的[126],某個對角元的數(shù)值對應(yīng)于V(?X)離散化后在該坐標下的勢能值.同樣的方法來考慮動量算符:因為動量算符在自身表象下是對角化的,所以首先我們從它在動量表象下的矩陣形式出發(fā),通過量子傅里葉變換(QFT)得到坐標表象下的矩陣形式.下一步將時間離散化,我們將時間分成許多長度為?t的時間間隔,然后系統(tǒng)逐步演化,每一步的演化算符U可以由圖8來實現(xiàn).根據(jù)Trotter等式[127],

可以把動能和勢能算符的同時作用拆成很多個在非常短的時間間隔?t內(nèi)動能算符和勢能算符相繼作用,正如圖8所示.在圖8中是個三比特系統(tǒng),對應(yīng)N=8.其中F是三比特的傅里葉變換算符,F?1是三比特的傅里葉逆變換算符.D是動能演化算符,傅里葉變換會使比特位倒置,所以D=S,S是比特位數(shù)倒置算符.Q=是勢能演化算符,V(?X)在本文中只與第二個比特有關(guān).

圖8 對一個步長?t內(nèi)的系統(tǒng)演化進行模擬的三比特處理器量子線路圖[40] |ψ1?,|ψ2?和 ψ3 分別是量子處理器的第一個、第二個和第三個比特的輸入態(tài)波函數(shù),其中F是三比特傅里葉變換算符,F?1是三比特傅里葉逆變換算符,D是動能算符(正文中有詳細解釋)Fig.8.A three-bit processor quantum circuit diagram simulating the evolution of a system in one step in time of?t.|ψ1?,|ψ2?and ψ3are the initial quantum state.F is the three-qubit Fourier transform operator and F?1is the three-qubit inverse Fourier transform operator.D is a kinetic energy operator(explained in detail below)[40].

至此,我們將一維空間中的粒子波函數(shù)在空間和時間上都離散化了,而且把作用在波函數(shù)上的每一步的U操作也離散化了,拆分成量子計算機可實現(xiàn)的門操作,那么這個過程就可以在一個n比特量子處理器上進行模擬.在本實驗中,選擇一個三比特核磁樣品,也就是N=8,對應(yīng)于八個基矢:|000,|001,···,|111. 考慮雙勢阱的每個勢阱占據(jù)兩個格點位置,一個勢阱的位置是|010和|011,另一個勢阱在位置|110和|111,其他位置是勢壘.在本實驗中,勢阱深度為?V0,勢壘高度為V0.利用梯度上升脈沖算法(GRAPE)優(yōu)化脈沖序列來精確實現(xiàn)每一個時間段的U操作[9].如圖9所示,初始時制備粒子在態(tài)|110上,或者說粒子處在右邊的勢阱里.經(jīng)過幾段時間?t的哈密頓量的演化,最后得到實驗結(jié)果如圖9所示,粒子也有一定的概率處于左邊的勢阱.所以我們說粒子在兩個勢阱之間發(fā)生了隧穿,而且可以定量地求得隧穿幾率.也就是說對于一個把一維空間離散為N個格點的系統(tǒng),利用量子計算機來模擬只需要log2N個量子比特就可以完成對量子隧穿的有效模擬,這要遠小于用經(jīng)典計算機進行模擬所需要的比特數(shù).因此,可以看到量子計算機和量子模擬的巨大優(yōu)勢以及廣泛的應(yīng)用前景.

圖9 利用三比特核磁樣品進行模擬雙勢阱隧穿的實驗結(jié)果與理論的對比[40] (a)理論分布;(b)實驗結(jié)果;從左至右依次是粒子在八個格點幾率分布隨時間的變化,時間取值為0,?t,2?t,3?t,4?t,5?tFig.9.The experimental results and theoretical comparison of the dual-well tunneling using a three-bit NMR sample are shown[40]:(a)The theoretical distribution;(b)the experimental results.From left to right,the probability distribution of particles in eight grid points changes with time,and the time value is 0,?t,2?t,3?t,4?t,5?t.

4.2 拓撲結(jié)構(gòu)的量子模擬

拓撲量子計算(TQC)作為量子計算體系之一,在2003年由Kitaev提出[118].由于拓撲結(jié)構(gòu)對局部微擾具有魯棒性,因此拓撲量子計算有望成為實現(xiàn)容錯量子計算的一種方法.拓撲量子計算中使用的基本元素是一種二維系統(tǒng)中具有不平庸統(tǒng)計的激發(fā)子,被稱為任意子.通過在2+1(時間)維時空中編織任意子的世界線實現(xiàn)辮子操作,而拓撲量子計算的酉操作即由這些辮子操作生成.和其他量子計算模型相比,拓撲量子計算具有天然的優(yōu)勢,即局部誤差對這些辮子沒有影響,因此這種量子計算的體系結(jié)構(gòu)對于小的擾動或錯誤有極強的抗干擾性.然而,這個有前途的計算架構(gòu)自從提出以來仍然停留在理論階段,拓撲量子計算在真實物理系統(tǒng)中仍然沒有實現(xiàn).然而量子模擬器的發(fā)展卻為我們提供了一種研究拓撲結(jié)構(gòu)的新方法.這樣,我們可以運用一個量子體系來研究拓撲結(jié)構(gòu)的問題,而不是建立在一個真實的物理系統(tǒng)中.例如,拓撲阿貝爾和非阿貝爾之間的拓撲序可以被有效地模擬.在眾多的科研問題中,有一個問題是如何區(qū)分拓撲序.事實上,拓撲序可以由以下三個因素唯一地確定.任意子類型,拓撲性質(zhì)和受拓撲保護的基態(tài).任意子類型和拓撲保護的基態(tài)在圓環(huán)上都是等價的,因此標識一個拓撲序只依賴于任意子的拓撲性質(zhì):自統(tǒng)計、編織和融合.其中一種常用的方法是研究它們提供的模塊化S和T矩陣,其中包涵了任意子拓撲性質(zhì)的完整信息.如圖10,最近我們研究組報道的一個實驗表明,可以表征拓撲序,并通過模塊化的S和T矩陣來識別它們,這個實驗在三量子比特核磁共振量子模擬器上實現(xiàn)[128].在核磁共振實現(xiàn)過程中,用溶解在氘代氯仿溶劑中的13C標記的三氯乙烯(TCE)樣品作為一個三比特量子處理器.實驗過程分成三個步驟:制備拓撲保護基態(tài)、調(diào)節(jié)控制脈沖驅(qū)動樣品進行模塊化的演化以及進行最后的測量.實驗成功模擬了Z2環(huán)面編碼的狀態(tài)、雙西蒙序和雙斐波那契序,而且還可以通過實驗結(jié)果區(qū)分它們.在同一時間,Luo等[129]解決了一個新的問題:“使用最先進的技術(shù)究竟可以觀察到多少遵守物理原理的拓撲序的細節(jié)？”他們的實驗樣品是1-溴-2,4,5-三氟化苯,由此作為一個5比特的核磁共振量子模擬器.他們在絕熱條件下制備了隨機基態(tài)并測量了模塊化的S和T矩陣.他們發(fā)現(xiàn)可以通過使用最小輸入哈密頓量函數(shù)從制備到測量來解決Z2環(huán)面編碼模型.這是第一個實現(xiàn)拓撲序的實驗,并測試了它們在微擾條件下的魯棒性.這將會開拓一個新的領(lǐng)域,來研究其哈密頓量的拓撲序是否完全可解.

圖10 這項工作是模擬環(huán)面上的最小蜂窩格,這個圓環(huán)只包含一個辮子,兩個頂點和三個邊,1,2,3分別是可以用三個量子比特來模擬的三條邊[128]Fig.10.The work is to simulate the minimal honeycomb lattice on a torus.This torus only contains one plaquette,two vertices,and three edges.1,2,3 are three edges which can be simulated by three qubits respectively[128].

4.3 高能物理的量子模擬

接下來介紹下我們研究組在另一方面的工作:利用核磁共振量子處理器模擬高能物理領(lǐng)域的問題.其他一些量子計算系統(tǒng)已經(jīng)證明了高能物理的問題可以在量子模擬器上進行模擬[130].核磁共振量子模擬器也有一些高能物理模擬的成果.最近,我們研究組使用核磁共振量子模擬器,測量全息糾纏熵,模擬了反德西特/保形場理論對偶問題(ADS-CFT)[131].

圖11 RT公式示意圖 (a)錨定到所選邊界區(qū)域A的最小表面(紅線);(b)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的一個例子.(六邊形)節(jié)點代表張量.這些連接代表了張量之間的糾纏,而懸腿是多體系統(tǒng)中的物理量子比特.紅色虛線弧表示錨定到區(qū)域A的虛擬表面S,它的截面將切割一個最小連接數(shù)[131]Fig.11.Discription of the RT formula[131].(a)The bulk minimal surface(red line)is anchored at the boundary of the boundary region A.(b)An example of tensor network state.The(hexagon)nodes represent tensors. The links represent the contraction of tensors.The dangling legs are physical DOFs in many-body system.The red dashed curve illustrates the virtual surface S anchored to region A,which cuts a minimal number of links.

在經(jīng)典的時空觀中,物理量是連續(xù)的.但是,一些物理量在量子時空中是不對易的.因此,這些曾經(jīng)是連續(xù)的物理量可能現(xiàn)在變得離散.量子時空是對時空概念的一種概括,它是一個新興的領(lǐng)域,包涵了量子力學和廣義相對論.目前主要有兩種方法來研究和擴展量子力學或廣義相對論.第一種是著名的弦理論,弦理論是通過考慮當前量子場論中的引力來構(gòu)建的,最終成為有關(guān)量子引力的一種理論.其次,作為弦理論的主要競爭者,圈量子引力(LQG)從相對論開始引入,試圖增加量子性質(zhì).在過去的二十年里,反德西特/保形場理論對偶是其中一個與量子引力理論有關(guān)的重要猜想之一.它預(yù)言了量子場理論在低維空間,量子引力理論在大的反德西特時空中與保形場理論是等價的.

從邊界場理論中的糾纏出發(fā),Li等[131]全面重建了一個空間.為了確定糾纏熵SEE(A),文中引用了Ryu-Takayanagi(RT)公式:

其中GN是牛頓常數(shù),A是(d?1)維的邊界區(qū)域,具有(d?2)維最小的表面Armin錨定到A.另一方面,最近比較熱的領(lǐng)域稱為張量網(wǎng)絡(luò)介紹了一種RT公式的離散化版本,見圖11.在這些發(fā)展的引導下,量子模擬器可以有效地來模擬這些過程.例如,六比特的核磁共振量子模擬器最近被用來實現(xiàn)這些過程的演示.用溶解在d6-丙酮中的1/2自旋13C標記的13C二氯-環(huán)丁酮樣品是6比特量子處理器.Li等使用控制技術(shù)包括GRAPE和一個脈沖反饋程序以提高射頻脈沖的準確性.實驗成功演示了等級-6的最小PT的模擬.雖然他們只是實現(xiàn)了RT公式中最小的情況,但他們的結(jié)果進一步表明RT公式或反德西特/保形場理論對偶問題可以在一個更大的量子系統(tǒng)上進行模擬.

對量子引力而言,圈量子引力是對量子時空的另一種描述.在LQG的框架中,在某個時間點,幾何可以被認為是集中在一維上的結(jié)構(gòu).它只是一個簡化的面向一維的網(wǎng)絡(luò),因此被稱為自旋網(wǎng)絡(luò).Penrose第一次提出導向線連接在一起可以形成一個完整的網(wǎng)絡(luò).在自旋網(wǎng)絡(luò)中,量子時空可以分解成某種量子四面體.這個四面體對應(yīng)于某個態(tài),也可以在當前量子器件如核磁共振量子模擬器平臺上進行模擬[132].另外,如果量子比特數(shù)增多,我們可以來模擬它們的動力學演化過程.而且,核磁共振平臺也可以用來模擬其他相關(guān)的模型,比如被看作是混沌系統(tǒng)中的量子擾碼的黑洞[133,134],Sachdev-Ye-Kitaev模型[135]和時空幾何涉及的糾纏[136].

5 核磁共振量子云計算平臺

基于云的量子計算平臺(量子云計算平臺)的出現(xiàn),有望成為大眾觸手可及的量子計算平臺,廣大量子信息理論工作者乃至量子計算愛好者可以切身地體驗量子計算與經(jīng)典計算的不同.與平常使用的云服務(wù)類似,量子云也是一項云服務(wù),區(qū)別在于它的服務(wù)器是存放于實驗室的量子計算物理系統(tǒng).來自互聯(lián)網(wǎng)的用戶們可以將想要執(zhí)行的量子程序遠程上傳到量子云平臺的服務(wù)器上,并在真實的量子系統(tǒng)上完成所需執(zhí)行的程序.IBM公司引領(lǐng)著這個嶄新領(lǐng)域:早在2016年5月,他們的超導量子團隊便邁出了第一步,發(fā)布了5比特超導量子云平臺.在隨后的一年中,IBM一邊積累維護量子系統(tǒng)的經(jīng)驗,一邊不斷積累用戶的反饋數(shù)據(jù).在2017年5月他們將超導云平臺的量子比特數(shù)目由5擴展到了16.

視線轉(zhuǎn)向東方.在2017年10月11日,我們也發(fā)布了自己的量子計算云平臺(http://nmrcloudq.com/zh-hans/):NMRCloudQ[137].核磁共振量子系統(tǒng),如前所述,對量子計算的發(fā)展發(fā)揮了許多重要的作用.基于此系統(tǒng),我們希望能夠在這個瞬息萬變的時代,緊跟量子技術(shù)變革的步伐,為實現(xiàn)讓更多的人能體驗量子計算機的目標而努力.這項工作旨在使無論是專家還是新手,都能較好地在該平臺上體驗量子計算的樂趣.

我們的量子云平臺,如圖12所示,主要部分是核磁共振譜儀,另外為了與遠在云端的用戶連接起來,運用一臺服務(wù)器整合量子計算算法包和核磁共振譜儀操控軟件.另外,這臺服務(wù)器也承擔著管理用戶和實驗任務(wù)的使命.我們提供了高保真度的20個單比特操作和9個兩比特操作,按照理論,這些操作能夠造出任意的4比特門.用戶可以登陸我們的網(wǎng)站,按照網(wǎng)頁提示,利用這29個量子門構(gòu)造出自己希望的量子操作,設(shè)計4比特以內(nèi)的量子線路,并提交任務(wù)等待實驗.一旦實驗完成,系統(tǒng)會自動進行完全態(tài)重構(gòu),我們會提供所有的測量信息作為反饋.

通常來講,一個量子計算實驗往往包含三個部分:初始化、實現(xiàn)量子線路和測量.在核磁共振量子計算中,初始化是通過制備贗純態(tài)來實現(xiàn)的.在我們的云平臺中,采用了空間平均法[138]來實現(xiàn)這個過程.通過態(tài)重構(gòu)技術(shù),測得這一贗純態(tài)的保真度達到了98.77%.理論上,任何的量子線路圖都可以分解成一系列通用量子門組合的序列.我們在機器中儲存了大量事先優(yōu)化完成的脈沖序列,這些序列包括對四個比特的單比特操作:Hardamard門,90?和180?旋轉(zhuǎn)和兩類相位門,以及6種控制非門和3種交換門.可以證明,這些門是通用量子門集合的一種選擇.通過GRAPE方法,能在4比特的核磁共振系統(tǒng)中找到高保真度的控制脈沖.通過隨機檢測基準(RB),如圖13所示,得到實現(xiàn)這些通用量子門的脈沖序列:單比特操作保真度達到99.10%,兩比特保真度達到97.15%.在這之后,我們會統(tǒng)一地對量子線路的結(jié)果進行態(tài)重構(gòu),并將態(tài)重構(gòu)的結(jié)果返回給用戶.對于用戶而言,他們所需的是要確定進行的操作和順序,并按照網(wǎng)站規(guī)則提交控制命令即可.

圖12 核磁共振量子云平臺各組件連接方式:基于4比特核磁共振量子系統(tǒng),我們整合核磁共振操控軟件和量子計算相關(guān)程序,在訪問我們的服務(wù)器后,外接用戶通過基本的量子線路,便可以體驗量子計算機這一真實物理系統(tǒng)的運行方式Fig.12.The components of NMR quantum cloud platform:We integrate NMR manipulation software and quantum computing procedures.After accessing our server,the user can experience the real physical system of the 4-qubit quantum computer.

圖13 (a)隨機基準化(RB)序列圖,包括兩個子圖,其中左圖為標準的隨機基準序列,它的作用是作為參考,我們重復(fù)m次隨機構(gòu)成的n個邏輯門組成的序列,其中邏輯門由Gi表示,并通過一個恢復(fù)操作Cr測量出最后系統(tǒng)的保真度,右圖則為測量目標門G的隨機基準化的序列,其中與標準的隨機基準化序列不同的是,在每一次重復(fù)n個邏輯門Gi后,所添加的目標門G,同樣最后在恢復(fù)操作Cr的作用后測出最后系統(tǒng)的保真度;(b)實驗結(jié)果包括三個圖,分別是單比特邏輯門隨機基準化結(jié)果、控制非門的隨機基準化結(jié)果和交換門的隨機基準化結(jié)果,其中橫坐標表示隨機基準化序列中門序列的個數(shù),縱坐標表示最后測量系統(tǒng)的保真度Fig.13.(a)RB(randomized benchmarking)circuits.The left part is about standard RB as a reference is implemented by constructing a sequence of m random gate set.The right part is that interleaved RB is performed to estimate the error of a specific gates,where is interleaved with random gate set.Final gates and are performed in the end,as the recovery operations.(b)RB results for single-qubit gates,CNOT gates and SWAP gates.The leftfigure single-qubit RB result for the first qubit.The middle figure RB results for CNOT gates and the right one results for SWAP gates.

就未來的發(fā)展來看,制約4比特核磁共振量子云平臺發(fā)展的一個很重要因素是控制脈沖的精準度.平均來看,單比特門的錯誤率0.90%和兩比特門錯誤率2.85%,并不能算是杰出.實際上,今后可以通過多種技術(shù)來提高精度.對于單比特操控,由于誤差大多來自磁場的不均勻性和控制脈沖的優(yōu)化過程,因此可以采取:1)反饋控制技術(shù);2)射頻脈沖選擇技術(shù);3)提高優(yōu)化閾值來提高基本邏輯門脈沖的表現(xiàn).對于兩比特操作,由于兩比特門脈沖長度過長,退相干成為主要的錯誤來源.又由于脈沖長度是和比特之間耦合強度成反比的,因此我們希望在今后選取耦合更強的核磁共振樣品.這樣就能夠?qū)崿F(xiàn)兩比特門脈沖長度和目前單比特門脈沖長度相近,從而可以很好地解決退相干的問題.另外,由于目前的4比特樣品是將氫原子解耦,在不解耦的狀態(tài)下,它會拓展成一個七比特的樣品.因此也能夠?qū)悠纷詣訑U展到七個比特,實現(xiàn)七比特的核磁共振量子云平臺.

對比超導體系的量子云平臺,我們的系統(tǒng)由于不可拓展性的天生問題,很難在未來發(fā)展成實用化的大規(guī)模的通用量子計算機.然而,作為最早發(fā)展量子計算的平臺,核磁共振系統(tǒng)對于環(huán)境噪聲有很強的抗噪能力,因此我們的量子云平臺的邏輯門將會比其他系統(tǒng)表現(xiàn)得更好.而且領(lǐng)先其他平臺的是,我們直接提供態(tài)重構(gòu)后的密度矩陣,即能反饋量子實驗結(jié)果的所有信息.

總之,量子計算云平臺對于今后量子計算的發(fā)展,無論是推動整個領(lǐng)域的普及還是面向未來量子云平臺的發(fā)展提供更多可操控的量子位和更精準的控制技術(shù)都有很重大的意義.我們的目標是提供一個準確可靠的量子計算物理系統(tǒng),讓大家都能來體驗,學習,甚至是進行科學研究.在目前的狀態(tài)下,也許還存在諸多問題,但我們也希望這項工作不僅能推動核磁共振控制技術(shù)的發(fā)展,也能在量子云計算方面有重要意義.

6 結(jié) 論

作為實現(xiàn)量子信息處理的第一代處理器先驅(qū),相信液態(tài)核磁共振仍能在實現(xiàn)未來的通用量子計算機計劃中發(fā)揮重要的作用.首先,液態(tài)核磁共振技術(shù)是展示量子信息處理最成功的技術(shù)之一.在核磁共振中得到的實驗數(shù)據(jù)可以被其他量子系統(tǒng)參考和使用以精確地實現(xiàn)量子門操作,因此液態(tài)核磁共振將成為量子信息處理發(fā)展的一個可靠的試驗平臺.第二,核磁共振是一個可以模擬復(fù)雜多體動力學的系統(tǒng),而其他平臺以當前技術(shù)實現(xiàn)對這種復(fù)雜系統(tǒng)的模擬通常是不可行的.第三,其他潛在的量子處理平臺的技術(shù)開發(fā)需要核磁共振為其提供完善的經(jīng)驗和指導,例如核磁共振系統(tǒng)上開發(fā)的高精度的相干量子操作技術(shù),如梯度下降優(yōu)化算法、量子反饋算法等.雖然有如此多的量子控制技術(shù)、理論量子算法和量子模擬方案被成功地在液態(tài)核磁共振平臺上實現(xiàn),但核磁共振仍存在一些缺點,諸如不可擴展性、不能重置量子位以及量子門的脈沖時間長等.

此外,以液晶和固體為基礎(chǔ)的新一代核磁共振平臺還有待于進一步的發(fā)展,基于此方法將克服液態(tài)核磁共振中現(xiàn)有的許多限制.用于量子信息處理的固態(tài)核磁共振將帶來四個好處:1)提高極化率,增加靈敏度;2)具有更長的相干時間,利用這一點可以展示更加復(fù)雜有趣的算法;3)自旋之間的耦合更強以減少實現(xiàn)量子門操作的時間;4)重置量子位.因此,固態(tài)核磁共振提供了一個探索量子信息處理的新領(lǐng)域的機會.

總之,量子計算機有望成為下一代信息處理器,并且一旦實現(xiàn)將有望帶給我們比現(xiàn)有的經(jīng)典計算機更為強大的計算能力.雖然通向構(gòu)建一個實用化的通用量子計算機的道路是蜿蜒曲折的,但我們相信在許多科學工作者和機械工程師對量子信息領(lǐng)域的努力探索之后,這終將會實現(xiàn).以近兩年的發(fā)展來看,我們正接近證明量子優(yōu)越性,并且在不久的未來,一臺量子處理器和經(jīng)典處理器組成的混合計算機將會成為一個可行的目標.

感謝加拿大R.Laflamme實驗組提供的計算GRAPE脈沖的MATLAB程序；感謝北京計算科學研究中心李俊、羅志煌和南方科技大學魯大為的交流討論.