孟男　郭爽

摘 要 本文結(jié)合初中數(shù)學教學，提倡數(shù)學教學要引導學生追尋數(shù)學原理，探究數(shù)學思維發(fā)展的本源，培養(yǎng)學生將代數(shù)與圖形有機結(jié)合，用“代數(shù)表示”研究圖形的位置和運動的研究數(shù)學問題的思想方法。

關(guān)鍵詞 圖形變換 代數(shù)表示

中圖分類號：TP391.4 文獻標識碼：A

在數(shù)學發(fā)展的相當長的時期內(nèi)，算術(shù)是幾何的附庸，笛卡爾和費馬將數(shù)與圖形有機的結(jié)合在一起，開創(chuàng)了圖形的數(shù)量化研究，實現(xiàn)了根本性的轉(zhuǎn)變，圖形數(shù)量化研究的基礎(chǔ)是坐標系，其研究領(lǐng)域主要包括圖形的位置和圖形的運動，這便是解析幾何的基本思想內(nèi)涵。解析幾何的核心思想就是建立一個參照系，借助參照系通過對數(shù)量分析的方法研究幾何圖形及其變化。

在我們的初中的培優(yōu)教學中，應該引導學生感知這種圖形的數(shù)量化研究的思想和魅力，這將為學生今后高中甚至于大學之后的數(shù)學學習產(chǎn)生深遠影響。以華師版七下教材為例，教材中介紹了三種剛體運動：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，都可以用代數(shù)表示的方法加以研究。

（1）那么如何對三種變換進行代數(shù)表示呢？

比如，我們可以借助數(shù)軸為參考系，通過數(shù)形結(jié)合，形象直觀的幫助學生借助代數(shù)表示描述軸對稱和平移運動。

軸對稱：在數(shù)軸上A點對應的數(shù)為a，B點對應的數(shù)為b，則點A關(guān)于點B的對稱點為2b-a；（我們更經(jīng)常引導學生討論數(shù)軸上一個點關(guān)于原點的軸對稱點，比如我們經(jīng)常設置兩點到原點距離相等的問題情境）。

平移：A點在數(shù)軸上對應的為a；B點在數(shù)軸上對應的數(shù)為b。

①將A點向右平移m個單位的代數(shù)表示為：a+m。

②將A點向左平移n個單位的代數(shù)表示為：a-n。

③具體還要根據(jù)a、b的大小而進行分類討論。

例1：如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點B表示的數(shù)為8，點C表示的數(shù)是2，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，同時，動點Q從點B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向左運動，點Q與點R關(guān)于點C對稱，設運動時間為t（t≥0）秒.求PR等于3時，t的值.

【解析】P：10-2t，Q：8-t，R：4-（8-t）= t-4，

當0≤t≤時，PR=10-2t-（t-4）=3，解得t=；

當t>時，PR=t-4-（10-2t）=3，解得t=；

實際上，這種想法也在為學生在八年級和九年級，選取平面直角坐標系為參考系描述函數(shù)的軸對稱，平移等打基礎(chǔ)。

由于數(shù)軸上點的運動比較復雜，在教學中，教師可以利用變式透徹原理，比如，一個點的運動，可以引導學生探究點的折返運動、變速運動等不同的問題情境的代數(shù)表示；兩個動點運動，又可以深入探究兩點相遇前后、一點先停、一點折返、兩點同時變速、兩點不同時變速等多種問題情境下的代數(shù)表示；多個點運動根據(jù)點與點之間的位置關(guān)系進行討論等等，這些問題的深入探究為今后分段函數(shù)埋下伏筆。

旋轉(zhuǎn)：對于旋轉(zhuǎn)運動，我們可以類似于極坐標描述旋轉(zhuǎn)角和線段的長度。

例2：如圖，將兩個含有30敖塹娜鵲鬧苯僑切穩(wěn)繽嘉恢冒詵牛溝鉊、A、C共線，其中∠BAC=∠ECD=90埃螦BC=∠EDC=30埃繽跡？），連結(jié)BD，將△EDC繞點C以每秒6暗乃俁妊廝呈閉敕較蛐鋇鉊、A、C再次共線時運動停止，設時間為t（秒）（0≤t≤30），當∠BCD=40笆保髏的值；

【解析】當0

當10

（2）選擇不同的變量進行代數(shù)表示。

在教學過程中，還要鼓勵學生靈活處理，探究同一運動變換中選擇不同的參考系和不同的變量進行不同的代數(shù)表示。

例3：如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8，B表示的數(shù)為-6，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度向左運動，設運動時間為t（t≥0）秒。

在這個例子中，既可以用P點在數(shù)軸上對應的數(shù)8﹣6t描述點P的位置，還可以用AP的長6t描述點P的位置，還可以用BP的長描述點P的位置，而用BP的長描述點P的位置時，需要根據(jù)這兩點位置的不同進行分類討論。

另一方面，在解決具體問題是，還要引導學生選擇最簡便的代數(shù)表示方法解決問題。

例4：如圖，長方形OABC的邊OA在數(shù)軸上，O為原點，長方形OABC的面積為12，OC邊長為3，將長方形OABC沿數(shù)軸水平移動，移動后的長方形記為O′A′B′C′。D為線段AA′的中點，點E在線段OO′上，且OE=OO′，當OD=2OE時，求點A′表示的數(shù)。

【解析】根據(jù)平移特征AA′= OO′，我們可以設平移距離為x，用含x的代數(shù)式進行幾何問題的代數(shù)表示。這比直接設A′表示的數(shù)為x要簡便得多。

若向右平移，則AA′= OO′=x，OD=OA+AA′=4+x，OE=OO′=x，

∴4+x=x解得：x=24，則A′表示的數(shù)是4+24=28；

若向左平移，則AA′= OO′=x，OD=OA-AA′=4-x，（D在O右側(cè)）或OD=AA′-OA=x-4（D在O左側(cè)），OE=OO′=x，

∴4-x=x解得：x=，則A′表示的數(shù)是4-=；

或x-4=x解得：x=-24（舍）.

在這個例子中，設平移距離為x要比設點A′表示的數(shù)為x要簡單的多。

綜上，在教學要注意引導學生追尋數(shù)學原理，探究數(shù)學思維發(fā)展的本源，將代數(shù)與圖形有機結(jié)合，用“代數(shù)表示”研究圖形的位置和運動，這樣才能引導學生追尋數(shù)學源頭，學習數(shù)學思想方法，建立數(shù)學知識與方法前后的順序聯(lián)系，把握數(shù)學學習方法，理性學習，讓熱愛數(shù)學的學生能夠自由徜徉于數(shù)學的海洋中。