周如俊

摘 要：2018年江蘇高考數(shù)學(xué)（文理）第19題是一道新定義情境下函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的創(chuàng)新型綜合題，主要考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題及邏輯推理能力，體現(xiàn)了較高數(shù)學(xué)學(xué)科核心思想.針對學(xué)生對“參考答案”的質(zhì)疑，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對試題解法與命題本源試做一些探討，意在培養(yǎng) “數(shù)據(jù)分析”“數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)學(xué)抽象”等核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高考；解題；“探究”；教學(xué)啟示

【2018年江蘇（文理）第19題】試題如下：記[f'（x）]，[g'（x）]分別為函數(shù)[f（x）]，[g（x）]的導(dǎo)函數(shù).若存在[x0∈R]，滿足[f（x0）=g（x0）]且[f'（x0）=g'（x0）]，則稱[x0]為函數(shù)[f（x）]與[g（x）]的一個“[S]點(diǎn)”.

（1）（略）；

（2）（略）；

（3）已知函數(shù)[f（x）=-x2+a]，[g（x）=bexx]，對任意[a>0]，判斷是否存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)存在“[S]點(diǎn)”，并說明理由.

江蘇省教育考試院給出“參考答案”摘錄如下：

（3）對任意[a>0]，設(shè)[h（x）=x3-3x2-ax+a] .

因?yàn)閇h（0）=a>0]，[h（1）=-2<0]，且[h（x）]的圖解是不間斷的，

所以存在[x0∈（0，1）]，使得[h（x0）=0]，

令[b=2x30ex0（1-x0）]，則[b>0].

函數(shù)[f（x）=-x2+a]，[g（x）=bexx]，

則[f'（x）=-2x]，[g'（x）=bex（x-1）x2].

由[f（x）=g（x）]且[f'（x）=g'（x）]，得

[-x2+a=bexx ，-2x=bex（x-1）x2 ，]即

[-x2+a=2x30ex0（1-x0）·exx，-2x=2x30ex0（1-x0）·ex（x-1）x2.（**）]

此時，[x0]滿足方程組（**），即[x0]是函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)的一個“[S]點(diǎn)”.

因此，對于任意[a>0]，存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)存在“[S]點(diǎn)”.

2016級高三學(xué)生研讀“參考答案”時感到懵懂與迷茫，提出四個方面疑問：一是為何一開始就構(gòu)建函數(shù)[h（x）=x3-3x3-ax+a]，而不是構(gòu)建其他函數(shù)？二是“參考答案”中“此時，[x0]滿足方程組（**）”的結(jié)論理由是什么？是否省略了一些解題過程？三是對于“對于任意[a>0]，存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)存在一個‘[S]點(diǎn)”結(jié)論，是否存在兩個或3個“[S]點(diǎn)”？四是滿足“[f（x0）=g（x0）]且

[f'（x0）=g'（x0）]”條件下兩個函數(shù)之間是怎樣的關(guān)系？能否用數(shù)學(xué)公式表征出來？為此，筆者基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視域，在教學(xué)中做了一些探究，引導(dǎo)學(xué)生對試題解法與命題本源試做一些探討.

一、解題的“塑源”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

參考答案解法是逆向思維綜合解法，學(xué)生識讀時感到晦澀難懂.為此，采用正向思維法，對原解法做了改進(jìn).其解題關(guān)鍵是：確立[b>0]時[x0]的范圍.然后構(gòu)造函數(shù)[h（x）]，驗(yàn)證[x0]存在的區(qū)間上[h（x）]有解（即有零點(diǎn)），結(jié)論成立.

假設(shè)對任意[a>0]，存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)存在“[S]點(diǎn)”，則

由[f'（x0）=g'（x0）]知：即[b=2x30ex0（1-x0）].

則由[b=2x30ex0（1-x0）][>0]，知[1-x0>0]，[0

對任意[a>0]，[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)存在“[S]點(diǎn)”.

由[f（x0）=g（x0）]且[f'（x0）=g'（x0）]，得出方程組：[-x20+a=bex0x0 ①-2x0=bex0（x0-1）x20 ②]

由①②聯(lián)立，消去[b]，得[x30-3x20-ax0]

[+a=0].

以下解法同參考答案.

以上詮釋了學(xué)生前兩個疑問.

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過程也是師生數(shù)據(jù)（信息）分析過程，而不是僅靠“參考答案”的“復(fù)制”式講述過程.為什么參考答案中一開始就要構(gòu)建相關(guān)三次函數(shù)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)據(jù)處理（包括數(shù)據(jù)抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號運(yùn)算）技巧.即針對高考試題內(nèi)容與參考答案的研究對象，調(diào)取相關(guān)求解信息與關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)，進(jìn)行邏輯分析和縝密推斷，注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)問題、體驗(yàn)解決問題的形成過程：從試題中學(xué)會收集數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)歸類中提煉關(guān)鍵數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)挖掘中提取關(guān)聯(lián)信息，構(gòu)建學(xué)生熟悉的函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、排列組合、線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、邏輯推斷與類比整合，獲得解題的相關(guān)結(jié)論、方法、思想和智慧.這種數(shù)據(jù)“分析”過程主要包括：“信息識別（體驗(yàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息）—數(shù)據(jù)收集—挖掘（分析）數(shù)據(jù)—模型選定—數(shù)據(jù)改進(jìn)（提煉）.”最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題求解的思維深度，增強(qiáng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)與提煉的問題求解意識，積累依托數(shù)據(jù)探索解題的關(guān)聯(lián)、本質(zhì)、模型、思想和規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化為學(xué)生自己的結(jié)構(gòu)化知識網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)分析與邏輯推理認(rèn)識試題命題本質(zhì)的思維品質(zhì).

二、解題的“化歸”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)

以上“對于任意[a>0]，存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)存在一個‘[S]點(diǎn)”論證，應(yīng)用了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有[f（a）f（b）<0]，那么函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在[x0∈（a，b）]，使得[f（x0）=0]，這個[x0]也就是[f（x）=0]的根.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，能確定函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[（a，b）]內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一；另外，并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定.也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在[（a，b）]上沒有零點(diǎn).例如，函數(shù)[f（x）=x2-5x+6]，有[f（0）f（4）>0]，但函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間（0，4）上有兩個零點(diǎn)；只有[y=f（x）]在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，[f（a）f（b）<0]，則函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間（a，b）內(nèi)有唯一的零點(diǎn).

對于考生的第三個疑問，其實(shí)涉及了“三次函數(shù)零點(diǎn)問題”.依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及相關(guān)結(jié)論，結(jié)合文獻(xiàn)[1-2]內(nèi)容，對表1三次函數(shù)圖象情況進(jìn)行拓展，做一般性推廣，得到如下推論.

【推論1】三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a[≠]0）的導(dǎo)函數(shù)

f'（x）=3ax2+2bx+c，記[Δ]=4b2-12ac，設(shè)f'（x）=0的兩根為x1，x2（[x1

則：

（1）若三次函數(shù)圖象與x軸有三個交點(diǎn)（即存在三個零點(diǎn)），則[Δ]>0且f（x1）·f（x2）<0；

（2）若三次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn)（即存在二個零點(diǎn)），則[Δ]>0且f（x1）·f（x2）=0；

（3）若三次函數(shù)圖象與x軸有一個交點(diǎn)（即存在一個零點(diǎn)），則[Δ]>0且f（x1）·f（x2）>0或[Δ][≤]0.

利用推論1詮釋考生的第三個疑問：

函數(shù)[h（x）=x3-3x2-ax+a]，則[h'（x）=3x2-6x-a].

因[a>0]，[Δ=（-6）2-4×3×（-a）=36+12a>0]，故由推論1可知，三次函數(shù)[h（x）=x3-3x2-ax+a]圖象與x軸至少有一個交點(diǎn).

令[h'（x）=3x2-6x-a=0]，則因[a>0]，則有[x1=6-36+12a6<0]，

[x2=6+36+12a6>1].

故[h（x）=x3-3x2-ax+a]圖象如表1類型Ⅰ情況：

（1）若[x∈（-∞，+∞）]時有三個零點(diǎn)[x0].三個零點(diǎn)取值范圍分別是：[x01∈（-∞，x1）]，[x02∈（x1，x2）]，[x03∈（x2，+∞）].

但因[b=2x3ex（1-x）>0，0

因?yàn)閇h（0）=a>0]，[h（1）=-2<0]，且[h（x）]的圖象是不間斷的，所以存在[x0∈（0，1）]，使得[h（x0）=0].

（2）若[x∈（-∞，+∞）]時有兩個零點(diǎn)[x0].兩個零點(diǎn)取值范圍分別是：[x01=x1]，[x02∈（x2，+∞）]或[x01∈（-∞，x1）]，[x02=x2].

因[b=2x3ex（1-x）>0，01].

故此種情況不存在.

（3）若[x∈（-∞，+∞）]時有一個零點(diǎn)[x0].一個零點(diǎn)取值范圍是：[x0∈（-∞，x1）].

因[b=2x3ex（1-x）>0，0

故此種情況也不存在.

由于考題只需要證明存在零點(diǎn)即可.但作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究時，上述探討三次函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題的模型對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有普適性的意義.

綜上所述，2018年江蘇（文理）第19題解題本質(zhì)是“三次函數(shù)零點(diǎn)問題”.這與2015年江蘇（文理）第19題命題本質(zhì)是一樣的.

【2015年江蘇（文理）第19題】已知函數(shù)[f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）].

（1）試討論[f（x）]的單調(diào)性；

（2）若[b=c-a]（實(shí)數(shù)[c]是與[a]無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)[f（x）]有三個不同的零點(diǎn)時，[a]的取值范圍恰好是[-∞，-3?（1，32）?（32，+∞）]，求[c]的值.

【解析】（略）

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過程也是培養(yǎng)學(xué)生將錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的、熟習(xí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的“建?！边^程.即對高考試題解題教學(xué)中遇到三次函數(shù)的零點(diǎn)問題的求解難點(diǎn)，師生要勇于合作探究，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言、符號、式子、圖形、程序等方式進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與表征問題（如將三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3ax2+2bx+c的判別式記為[Δ]=4b2-12ac，導(dǎo)函數(shù)f'（x）=0的兩根記為x1，x2），善于用函數(shù)f（x）、導(dǎo)函數(shù)[f'（x）]的圖象、函數(shù)單調(diào)性等知識和[Δ]>0（[Δ][≤]0）、f（x1）·f（x2）>0（f（x1）·f（x2）<0或[f（x1）?f（x2）=0]）不等式（組）聯(lián)合求解方法，構(gòu)建推論1數(shù)學(xué)解決問題的模型.這種數(shù)學(xué)“建?！边^程主要包括：“問題復(fù)述—問題分析—問題的假設(shè)—符號抽象—構(gòu)建模型—求解結(jié)論—模型（結(jié)果）驗(yàn)證—模型改進(jìn).”最終促進(jìn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維廣度，積累用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號表述來建立數(shù)學(xué)模型解決高考試題問題的方法或經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)多題一解、多解歸一的抽象思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析與解決問題的應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與應(yīng)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識.

三、解題的“拓展”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)

學(xué)生的第四個疑問，其實(shí)提出了2018年江蘇（文理）第19題命題的本源問題.由高等數(shù)學(xué)知識一元函數(shù)的泰勒公式推出以下結(jié)論.

【推論2】[3]假設(shè)一元函數(shù)[f（x）]，[g（x）]在[x0]的某一鄰域均有定義，則[f（x）]，[g（x）]兩個函數(shù)：

（1）若[f（x0）=g（x0）]，則兩函數(shù)在[y]坐標(biāo)的高度相同；

（2）若[f'（x0）=g'（x0）]，則兩函數(shù)的圖象在[x0]點(diǎn)斜率相同；

（3）若[f''（x0）=g''（x0）]，則兩函數(shù)在[x0]某一鄰域的凹凸性相同；

（4）若[f（x0）=g（x0）]，且兩函數(shù)在[x0]處各階導(dǎo)數(shù)均相同，則兩函數(shù)的圖象在[x0]的某一個領(lǐng)域內(nèi)是相同（重合）的（即兩個函數(shù)是一個函數(shù)）.

第（1）～（3）個結(jié)論簡單.以下通過泰勒公式來說明推論2中第（4）個結(jié)論的正確性.

【一元函數(shù)的泰勒公式】[4]若函數(shù)[f（x）]包含[x0]的某個閉區(qū)間[[a，b]]上具有[n]階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間[（a，b）]上具有[（n+1）]階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[[a，b]]上任意一點(diǎn)[x]，成立下式：

[f（x）=f'（x0）0！+f'（x0）1?。▁-x0）+f''（x0）（x-x0）22！+...+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+Rn（x）] .

其中，[f（n）（x）]表示[f（x）]的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)[f（x）]在[x0]處的泰勒展開式，剩余的[Rn（x）]是泰勒公式的余項(xiàng)，是[（x-x0）n]的高階無窮小.

一元函數(shù)的泰勒公式，表示函數(shù)在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來.若[f（x0）=g（x0）]，且兩個函數(shù)在[x0]處各階導(dǎo)數(shù)都相同，則[f（x）]，[g（x）]兩個函數(shù)可以展開成同一個多項(xiàng)式，并且多項(xiàng)式是無窮項(xiàng).因此[f（x）]，[g（x）]根據(jù)等量代換，即為同一個函數(shù).這正是泰勒公式的真正含義.

由一元函數(shù)泰勒公式可聯(lián)想到2018年江蘇（文理）第19題命題的本質(zhì)，形成如下結(jié)論.

【推論3】若函數(shù)[f（x0）=g（x0）]且[f'（x0）=g'（x0）]，則函數(shù)[g（x）]最簡單的形式可表示為：[g（x）=f'（x0）0！+f'（x0）1！（x-x0）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）].

推論3詮釋了考生的第四個疑問，據(jù)此可構(gòu)建或編擬，或驗(yàn)證：滿足[f（x0）=g（x0）]且[f'（x0）=g'（x0）]的兩個函數(shù)：[f（x）]，[g（x）].

以下利用推論3解答2018年江蘇（文理）第19題.

由推論3可知[g（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0） ].

由[f'（x0）=g'（x0）]知：[-2x0=bex0（x0-1）x20]①，此時，[b=2x30ex0（1-x0）].

假設(shè)對任意[a>0]，存在[b>0]，使函數(shù)[f（x）]與[g（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)存在“[S]點(diǎn)”，則[b=2x30ex0（1-x0）>0]，即[1-x0>0]，[0

由[f（x0）=g（x0）]得：[-x20+a=bex0x0 ]. ②

由①②聯(lián)立，消去[b]，得[x30-3x20-ax0+a=0].

以下解法同參考答案，故略.

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過程也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”思維過程.即從高考題內(nèi)容與解題背景中分析問題的“三對關(guān)系”（數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系、概念與概念關(guān)系），依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的“四項(xiàng)基本原則”（弱抽象：“特征分離概括化原則”；強(qiáng)抽象：“關(guān)系定性特征化原則”；構(gòu)象化抽象：“新元添加完備化原則”；公理化抽象：“公理抽象系統(tǒng)化原則”），從問題的具體背景中抽象出數(shù)學(xué)問題解答的結(jié)構(gòu)化式子或一般性的規(guī)律（或結(jié)論），嘗試用抽象符號或簡潔術(shù)語予以表征出來.這種數(shù)學(xué)表征“抽象”過程主要包括：“信息采集—關(guān)系分析—特征抽取—符號抽象—數(shù)學(xué)表征—結(jié)構(gòu)提煉—應(yīng)用評價—抽象改進(jìn)”，“貫穿在問題求解的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用與拓展的抽象思維過程中”，最終促進(jìn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維高度，堅持通過抽象、建模、運(yùn)算、推理、概括去認(rèn)識、理解、把握試題命題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得數(shù)學(xué)或命題成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).學(xué)生也只有在積累從具體（數(shù)量、圖形、經(jīng)驗(yàn)）到抽象（概念、特征、公理）的解題活動體驗(yàn)基礎(chǔ)上，才能更好地透徹理解數(shù)學(xué)概念、符號、公式、命題、方法、定理（公理）和體系.

參考文獻(xiàn)：

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