浙江省金華市第六中學(xué) (郵編：321000)

高考和競(jìng)賽試題中向量數(shù)量積的最值問題屢見不鮮，備受命題者青睞，靈活使用極化恒等式，一些高難度的題目將迎刃而解，本文舉例說明極化恒等式在解決向量數(shù)量積最值問題中的應(yīng)用，以期拋磚引玉.

1 極化恒等式簡(jiǎn)介

圖1

極化恒等式最顯著的特征是兩個(gè)向量必須能夠轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)的向量，它揭示了三角形的中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，搭起了向量與數(shù)量之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的完美結(jié)合.

2 應(yīng)用舉例

圖2

圖3

圖4

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

圖5

例5 (浙江省2018高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽6)

圖6

圖7

使用極化恒等式求數(shù)量積最值的方法總結(jié)：

①把兩個(gè)向量轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)向量；②構(gòu)建三角形，取連接兩向量終點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為某個(gè)向量模的最值；③利用題目中的特殊條件找到動(dòng)點(diǎn)的最佳位置，進(jìn)而求最值.

3 結(jié)束語

向量數(shù)量積的最值問題還可以可以從多角度去思考，如：定義法、坐標(biāo)法、基底法和幾何意義法等.當(dāng)題目涉及到直線、平面或空間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，需要求兩個(gè)向量數(shù)量積的最值的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生利用極化恒等式去尋找解決問題的思路，把向量數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)向量模的最大值，進(jìn)而找到該向量模取得最值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)的位置，有利于揭示向量問題的本質(zhì)，有利于理解向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁作用，有利于領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有利于分辨向量知識(shí)的源與流，從而擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，提高教學(xué)效率.