李迎春， 張堯堯， 孫江波

(1.長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012;2.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程分院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

非球面表面常用來指旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、軸對(duì)稱或者完全不對(duì)稱的自由曲面。光學(xué)系統(tǒng)中使用非球面元件(Aspherical Optics, AO)可以提高成像質(zhì)量，減少裝配尺寸或光學(xué)元件的數(shù)目，減輕儀器重量，簡化裝配過程，降低整個(gè)儀器的生產(chǎn)成本[1],所以AO在現(xiàn)代精密光學(xué)儀器、光電通信、航空航天、國防以及民用等領(lǐng)域都有著極其迫切的應(yīng)用需求[2]。但是制造這些AO的材料通常都是切削性能差、脆性高、韌性差的難加工材料或者黑色金屬，在加工的過程中，刀具都會(huì)產(chǎn)生較為嚴(yán)重的機(jī)械與化學(xué)磨損，進(jìn)而加大刀具定位難度與加工表面的粗糙度，最終對(duì)加工表面的光學(xué)性能產(chǎn)生巨大的影響[3-5]。

金剛石車削一直以來都被認(rèn)為是一種可以快速獲得光學(xué)質(zhì)量表面的加工方法，但是由于金剛石中的碳原子和被加工材料中的鐵原子存在很好的化學(xué)親和力，切削鋼鐵類的材料時(shí)會(huì)很快發(fā)生石墨化，使刀具鈍化，嚴(yán)重影響加工表面質(zhì)量[6]。所以，研究一種高精密的難加工材料AO的加工方法尤為必要。文中研究應(yīng)用3D-EVC加工AO[7-9]，改進(jìn)現(xiàn)行的三維橢圓驅(qū)動(dòng)方程(Three-Dimensional Ellipse Driven Equation, 3D-EDE)，定義了一種含有表征三維橢圓形狀和空間位置參數(shù)的3D-EDE，通過對(duì)加工復(fù)曲面的三維表面微觀形貌(Three-Dimensional Surface Micro-Topography, 3D-SMT)的仿真，論述了3D-EVC中橢圓振動(dòng)軌跡參數(shù)(Elliptical Vibration Trajectory Parameters, EVTP)對(duì)加工表面粗糙度Sq的影響規(guī)律。

1 表征形狀和空間位置的3D-EDE定義

為了能夠通過橢圓參數(shù)表達(dá)三維橢圓的形狀與它在空間中的相對(duì)位置，在現(xiàn)行的3D-EDE基礎(chǔ)上發(fā)展了一種新的空間3D-EDE[9]，通過將二維平面橢圓繞三個(gè)坐標(biāo)軸y、z、x旋轉(zhuǎn)的方式得到空間3D-EDE，具體見下式:

(1)

該方程由7個(gè)變量組成，其中4個(gè)變量用來體現(xiàn)三維橢圓的形狀，另外3個(gè)變量用來描述它在空間中的位置。

式(1)表明，給定變量m1、m2、δ1、δ2、θ1、θ2、θ3后，便可計(jì)算三維橢圓的形狀及其在空間中的相對(duì)位置。當(dāng)給定二維平面橢圓變量m1=0.010 mm、m2=0.005 mm、δ1=0°、δ2=45°，旋轉(zhuǎn)角度θ1=45°、θ2=45°、θ3=45°后，得到3D-EDE的振動(dòng)軌跡(Vibration Trajectory, VT)如圖1所示。

圖1 3D-EDE的VT及其投影

2 三維表面的表面粗糙度Sq的定義

上世紀(jì)90年代，在歐共體資助的大型表面計(jì)量研究項(xiàng)目中，開發(fā)了一套較為全面的三維表面粗糙度評(píng)價(jià)體系[10]。參照其中表面形貌均方根偏差Sq的含義，文中定義Sq為3D-SMT的均方根偏差，以此來對(duì)表面質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估。Sq是一個(gè)統(tǒng)計(jì)幅度參數(shù)，定義為樣本范圍內(nèi)，表面粗糙度偏離參考基準(zhǔn)的均方根值。Sq的離散定義：

(2)

式中:Nx、Ny----分別為x、y方向點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

u、v----3D-SMT仿真區(qū)域變量，其中u=0,1,2，…，Nx-1,v=0,1,2，…，Ny-1；

(xu,yv)----仿真區(qū)域內(nèi)第(u,v)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；

gh(·,·)----3D-SMT函數(shù)。

基于快速刀具伺服金剛石切削過程中的表面形貌模型算法[11]，可得到3D-EVC方法加工AO的3D-SMT模型，然后再由式(2)計(jì)算加工表面粗糙度值。以復(fù)曲面為例，給定仿真參數(shù)見表1。

表1 復(fù)曲面的3D-SMT仿真參數(shù)

進(jìn)行3D-SMT仿真，得到復(fù)曲面的3D-SMT如圖2所示，其局部放大圖如圖3所示。

(a) 復(fù)曲面3D-SMT立體圖 (b) 復(fù)曲面3D-SMT俯視圖

圖2 復(fù)曲面3D-SMT及其俯視圖

從圖2可以看到金剛石車削過程中生成的螺旋線結(jié)構(gòu)，從圖3可以清晰地觀察到應(yīng)用3D-EVC方法加工AO特有的形貌特征。

3 橢圓振動(dòng)參數(shù)對(duì)Sq的影響

以復(fù)曲面為例，使用文中新定義的3D-EDE，通過調(diào)整參數(shù)，分析三維橢圓的形狀特征及空間相對(duì)位置對(duì)Sq的影響，設(shè)置切削參數(shù)見表2。

表2 橢圓參數(shù)對(duì)Sq的影響時(shí)設(shè)置的切削參數(shù)

3.1 三維橢圓形狀參數(shù)對(duì)Sq的影響

3.1.1 平面橢圓的振幅比對(duì)Sq的影響

給定平面橢圓的相位角δ1=0°、δ2=90°以及繞y、z、x軸旋轉(zhuǎn)角度θ1=90°、θ2=45°、θ3=45°，橢圓振動(dòng)頻率f=800 Hz，分析平面橢圓y、z軸振幅之比對(duì)Sq的影響。應(yīng)用Matlab軟件，以3D-EVC加工復(fù)曲面，計(jì)算不同振幅比橢圓振動(dòng)軌跡(Elliptical Vibration Trajectory, EVT)對(duì)應(yīng)的3D-SMT，得到橢圓振幅比與Sq的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 橢圓振幅比對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

觀察發(fā)現(xiàn)，平面橢圓振幅比的改變將影響Sq，當(dāng)振幅比為1/2時(shí)，Sq最小。

3.1.2 平面橢圓的相位差對(duì)Sq的影響

yoz平面內(nèi)橢圓的表達(dá)式為：

(3)

整理有：

(4)

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，在研究平面橢圓的相位差對(duì)Sq的影響時(shí)，只需探討相位差在0°～180°之間便可。

(5)

給定平面橢圓的y、z軸振幅m1=0.003、m2=0.006，繞y、z、x軸旋轉(zhuǎn)角度θ1=90°、θ2=45°、θ3=45°，橢圓振動(dòng)頻率f=800 Hz。應(yīng)用Matlab軟件，以3D-EVC方法加工復(fù)曲面為例，計(jì)算不同相位差的EVT的3D-SMT，得橢圓相位差與Sq的關(guān)系曲線如圖5所示。

圖5 相位差對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

觀察發(fā)現(xiàn)，平面橢圓相位差的改變將改變Sq：當(dāng)相位差由10°增加至45°時(shí)，Sq減小；當(dāng)相位差由45°增加至170°時(shí)，Sq增大。顯然，取相位差為45°時(shí)，Sq最小。

3.2 空間三維橢圓位置對(duì)Sq的影響

3.2.1y軸為中心線的平面橢圓旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響

給定平面橢圓的振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，繞z、x軸旋轉(zhuǎn)角度θ2=45°、θ3=45°，橢圓振動(dòng)頻率f=800 Hz。應(yīng)用Matlab軟件，以加工復(fù)曲面為例，對(duì)以y軸為旋轉(zhuǎn)中心線，不同平面橢圓旋轉(zhuǎn)角度的EVT進(jìn)行3D-SMT計(jì)算，得到旋轉(zhuǎn)角度與Sq的關(guān)系曲線如圖6所示。

觀察發(fā)現(xiàn)，用3D-EVC方法加工復(fù)曲面時(shí)：

1)旋轉(zhuǎn)角度由10°增加至135°過程中，Sq增大；

2)旋轉(zhuǎn)角度由135°增加至180°過程中，Sq減?。?/p>

3)旋轉(zhuǎn)角由180°增加至270°過程中，Sq增大；

4)旋轉(zhuǎn)角由270°增加至315°過程中，Sq減小。

顯然，旋轉(zhuǎn)角度為10°時(shí)，Sq最小。

圖6 y軸為中心線的旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

3.2.2z軸為中心線的平面橢圓旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響

給定平面橢圓的y、z軸振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，繞y、x軸旋轉(zhuǎn)角度θ1=45°、θ3=45°，橢圓振動(dòng)頻率f=800 Hz。以3D-EVC加工復(fù)曲面為例，對(duì)以z軸為中心線，不同旋轉(zhuǎn)角度的EVT進(jìn)行3D-SMT計(jì)算，得到旋轉(zhuǎn)角度與Sq關(guān)系曲線如圖7所示。

圖7 z軸為中心線的旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

觀察發(fā)現(xiàn)：

1)旋轉(zhuǎn)角由10°增加至100°過程中，Sq增大；

2)旋轉(zhuǎn)角由100°增加至280°過程中，Sq減??；

3)旋轉(zhuǎn)角由280°增加至315°過程中，Sq增大。

顯然，旋轉(zhuǎn)角為280°時(shí)，Sq最小。

3.2.3x軸為中心線的平面橢圓旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響

給定平面橢圓的y、z軸振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，繞y、z軸旋轉(zhuǎn)角度θ1=45°、θ2=45°，橢圓振動(dòng)頻率f=800 Hz。以3D-EVC加工復(fù)曲面為例，對(duì)以x軸為中心線，不同平面橢圓旋轉(zhuǎn)角度的EVT進(jìn)行3D-SMT計(jì)算，得到旋轉(zhuǎn)角度與Sq的關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8 x軸為中心線的旋轉(zhuǎn)角度對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

觀察發(fā)現(xiàn)：

1)旋轉(zhuǎn)角由10°增加至90°過程中，Sq減??；

2)旋轉(zhuǎn)角由90°增加至180°過程中，Sq增大；

3)旋轉(zhuǎn)角由180°增加至270°過程中，Sq減?。?/p>

4)旋轉(zhuǎn)角由270°增加至315°過程中，Sq增大。

顯然，旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，Sq最小。

3.3 橢圓振動(dòng)頻率對(duì)Sq的影響

給定平面橢圓的y、z軸振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，繞y、z、x軸旋轉(zhuǎn)角度θ1=135°、θ2=45°、θ3=45°。以3D-EVC加工復(fù)曲面為例，對(duì)不同橢圓振動(dòng)頻率的EVT進(jìn)行3D-SMT計(jì)算，得到振動(dòng)頻率與Sq之間的關(guān)系曲線如圖9所示。

圖9 橢圓振動(dòng)頻率對(duì)Sq的影響規(guī)律曲線

觀察發(fā)現(xiàn)：隨橢圓振動(dòng)頻率的增加，Sq逐漸減小，即加工表面質(zhì)量得到了提高，當(dāng)振動(dòng)頻率f=800 Hz時(shí)，Sq最小。

4 結(jié) 語

定義了可以表征三維橢圓形狀和空間位置的3D-EDE，同時(shí)對(duì)三維表面的Sq進(jìn)行了定義，揭示了三維EVTP(形狀參數(shù)、空間位置參數(shù)和振動(dòng)頻率)對(duì)Sq的影響規(guī)律，在研究某一參數(shù)對(duì)三維表面的Sq的影響規(guī)律時(shí)，三維EVTP的其他參數(shù)是給定的，其他參數(shù)的變化可能會(huì)影響這一參數(shù)的選擇。在下一步的工作中，將以3D-EDE的形狀參數(shù)、空間位置參數(shù)以及振動(dòng)頻率作為優(yōu)化變量，以Sq最小作為目標(biāo)函數(shù)，建立三維EVTP優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用優(yōu)化算法對(duì)三維EVTP進(jìn)行優(yōu)化，為選擇最優(yōu)的三維橢圓的振動(dòng)參數(shù)進(jìn)行切削實(shí)驗(yàn)提供理論基礎(chǔ)，從而獲得最優(yōu)的表面質(zhì)量和最佳的切削性能。