林穗華

【摘要】本文通過(guò)探討數(shù)學(xué)分析課程中抽象與直觀的聯(lián)系，旨為培養(yǎng)和提高高校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供策略和思路.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；抽象；直觀

【基金項(xiàng)目】2016年廣西民族師范學(xué)院廣西重點(diǎn)培育學(xué)科（應(yīng)用數(shù)學(xué)）課程資源建設(shè)立項(xiàng)（數(shù)學(xué)分析）（編號(hào)：Sxkczy01）.

一、引言

20世紀(jì)末開(kāi)始的數(shù)學(xué)課程改革，大力提倡培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是人們能夠用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察世界，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的內(nèi)在素養(yǎng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)能力與觀念等組成.其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.

高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)承擔(dān)著為中小學(xué)校培養(yǎng)合格數(shù)學(xué)教師的重大責(zé)任，培養(yǎng)的學(xué)生要具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).而數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)分析課程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)中的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課.它集科學(xué)性、嚴(yán)密性與連貫性于一體，包含了豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程的階梯.因此，數(shù)學(xué)分析課程的知識(shí)和內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的作用.

二、數(shù)學(xué)分析課程的抽象與直觀

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征.

直觀想象主要指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.主要包括利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，啟迪解決問(wèn)題的思路，建立形與數(shù)的聯(lián)系，加深對(duì)事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的理解和認(rèn)知.

抽象和直觀常常在同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中同時(shí)存在.數(shù)學(xué)分析課程中，抽象和直觀是不可缺少的思維方法.很多初次接觸數(shù)學(xué)分析課程的高校學(xué)生常常覺(jué)得數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)起來(lái)晦澀難懂，究其原因就是數(shù)學(xué)分析課程中有大量抽象的定義、定理、法則、公式和數(shù)學(xué)模型等.對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)和內(nèi)容的抽象性，如果機(jī)械地記憶，很難在解題過(guò)程中熟練地運(yùn)用.但是數(shù)學(xué)分析的很多理論知識(shí)，又是現(xiàn)實(shí)世界中直觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)反映.因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程的時(shí)候，可以采用化抽象為直觀的處理方法，利用直觀化的形式，去理解和接受新的知識(shí)，達(dá)到加深對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的理解和掌握的目的.

（一）通過(guò)幾何直觀來(lái)理解抽象的概念

例如，數(shù)列極限的定義是極限的基本概念，也是數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的第一個(gè)極限定義，定義內(nèi)容為：設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|xn-a|<ε都成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限.

由于數(shù)列極限的高度抽象性，初學(xué)者對(duì)數(shù)列極限的定義可能難以理解，進(jìn)而影響其運(yùn)用該數(shù)列極限定義解決其他問(wèn)題.如果我們從幾何直觀的角度來(lái)分析、理解數(shù)列極限的幾何意義，將抽象的數(shù)列極限定義直觀化.可以幫助我們更深入地理解這個(gè)數(shù)列極限的定義.

由圖1我們可以清晰地觀察到：任給ε>0，對(duì)于坐標(biāo)平面上以x=a為中心，寬為2ε的鄰域，總可以找到N>0，使得數(shù)列中的無(wú)限項(xiàng)an，n>N落在鄰域內(nèi).抽象的數(shù)列極限定義經(jīng)過(guò)直觀化，更清楚簡(jiǎn)明，易于更好地理解和把握.

（二）利用幾何直觀來(lái)掌握抽象的數(shù)學(xué)公式

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)一般比較復(fù)雜，有各種各樣的情形出現(xiàn)，在求導(dǎo)過(guò)程中很容易混淆復(fù)合函數(shù)中的自變量和中間變量.為了便于記憶，可以按照變量間的復(fù)合關(guān)系，畫出直觀的示意圖，幫助學(xué)生進(jìn)行記憶，使學(xué)生可以更好地掌握公式的本質(zhì)思想.

（三）運(yùn)用直觀想象加深對(duì)抽象定理的理解

數(shù)學(xué)分析是建立在極限理論基礎(chǔ)之上的，而極限理論的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)完備性定理就成為基礎(chǔ)的基礎(chǔ).實(shí)數(shù)的完備性定理中的區(qū)間套定理是證明和推導(dǎo)其他實(shí)數(shù)完備性定理的有效工具.

閉區(qū)間套定理：若閉區(qū)間列{[an，bn]}是滿足如下條件

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，…；

（2）limn→∞bn-an=0.

則在實(shí)數(shù)中存在唯一的一點(diǎn)ξ，使得ξ∈[an，bn]，n=1，2，….

區(qū)間套定理內(nèi)容抽象，如果結(jié)合定理的幾何意義（圖2），可以理解為：區(qū)間[a1，b1]套著[a2，b2]，區(qū)間[a2，b2]套著[a3，b3]，…，以此類推，最后一定能套出一個(gè)公共的實(shí)數(shù)點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

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