胡珍妮　王奕閏

【摘要】極限是高等數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算工具，正確使用等價(jià)無窮小代換可簡(jiǎn)化極限運(yùn)算.本文介紹了常見等價(jià)代換及錯(cuò)例分析并對(duì)含有和差項(xiàng)的等價(jià)代換做簡(jiǎn)單推廣.

【關(guān)鍵詞】等價(jià)無窮?。淮鷵Q；極限；推廣

極限是函數(shù)研究的重要方法，也是研究變量變化趨勢(shì)的基本工具.高等數(shù)學(xué)中的許多基本概念都是以極限思想為基石，因此，學(xué)好極限對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)舉足輕重.等價(jià)無窮小代換是極限運(yùn)算的常用方法，正確使用等價(jià)代換可簡(jiǎn)化運(yùn)算.然而，此方法并非萬能，它的使用是有條件的，稍不注意就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤[1].本文結(jié)合實(shí)例介紹了常見等價(jià)代換及錯(cuò)例分析并對(duì)含有和差項(xiàng)的等價(jià)代換做簡(jiǎn)單的推廣.

一、無窮小與等價(jià)無窮小

我們知道，在自變量的某種趨勢(shì)下，極限為0的一類函數(shù)稱為無窮小.可以看到無窮小在本質(zhì)上是函數(shù)，而0只是作為無窮小的唯一一個(gè)常數(shù).

α，β是自變量在同一變化過程中的無窮小量，若limαβ=1，則稱α與β是等價(jià)無窮小，記作α～β.常用的有：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～tanx～arcsinx～arctanx～（ex-1）～ln（1+x）～x；1-cosx～12x2；（1+x）-1～x（≠0）；ax-1～xlna（a>0）.[2]

二、“l(fā)imαβ”型極限中的等價(jià)無窮小的代換

定理1在同一變化過程中，若limα=0，limβ=0.α～α′，β～β′且limα′β′存在，則有l(wèi)imαβ=limα′β′.[3]

例1求極限 limx→0（1+x2）13-11-cosx.

分析此題是“00”型未定式，根據(jù)定理1，應(yīng)該考慮函數(shù)的分子與分母可否用其等價(jià)無窮小代換，以簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算.

解當(dāng)x→0時(shí)，（1+x2）13-1～13x2，1-cosx～12x2，

所以， limx→0（1+x2）13-11-cosx=limx→013x212x2=23.

利用極限的變量代換法則，等價(jià)無窮小還可大大擴(kuò)展應(yīng)用范圍.當(dāng)x→x0（或x→∞時(shí)），u（x）→0（u（x）≠0）有u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（1+u（x））～（eu（x）-1）；1-cosu（x）～u2（x）2；（1+u（x））-1～u（x）（≠0）；au（x）-1～u（x）lna（a>0）.例如，當(dāng)x→0時(shí)，esinx-1～sinx～x；當(dāng)x→∞時(shí)，ln1+1x～1x.

三、“l(fā)imα±βγ”型極限中的等價(jià)無窮小的代換

應(yīng)用等價(jià)無窮小代換的原則是：乘除可用，加減慎用.而學(xué)生在利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限時(shí)往往容易出錯(cuò)，究其原因，是弄不清楚代換的原理及對(duì)象，另外就是對(duì)無窮小的等價(jià)概念不清楚[4].當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)無窮小的和或差時(shí)，應(yīng)怎樣計(jì)算呢？為了解決學(xué)生的困惑，下面結(jié)合實(shí)例對(duì)極限式中含有和或差項(xiàng)的等價(jià)代換做簡(jiǎn)單推廣.

定理2設(shè)α～α′，β～β′，且limαβ=C.若C≠-1，則α+β～α′+β′；若C≠1，則α-β～α′-β′.[5]

例2求極限 limx→0tanx-sinxx3.

錯(cuò)解因?yàn)?，?dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，

所以， limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

錯(cuò)誤分析當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，此時(shí) limx→0xx=1不滿足定理2的條件，故錯(cuò)誤.由定理1可知，等價(jià)無窮小的代換，必須是分子或分母進(jìn)行整體代換，一般情況下不能代換分子或分母中的一項(xiàng).事實(shí)上，tanx-sinx～x32（x→0），即tanx-sinx與0不是等價(jià)無窮小，即使將分子代換成x-sinx也不對(duì)，因?yàn)閤-sinx～x36，即tanx-sinx與x-sinx也不是等價(jià)無窮小，這一點(diǎn)是初學(xué)者必須重視的.

正解limx→0tanx-sinxx3=limx→0sinx（1-cosx）x3cosx

=limx→0x·12x2x3=12.

例3求極限 limx→0sin3x-tan2x1+x-1.

解當(dāng)x→0時(shí)，sin3x～3x，tan2x～2x，1+x-1～12x，因?yàn)椋?limx→0sin3xtan2x=limx→03x2x=32≠1，

所以，sin3x-tan2x～3x-2x=x，

故 limx→0sin3x-tan2x1+x-1=limx→0x12x=2.

定理3若α～α′，β～β′且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當(dāng)Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在時(shí)，有l(wèi)imAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′，其中A，B，C，D為非零常數(shù).[6]

例4求極限limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2.

解當(dāng)x→0時(shí)，sin3x2～3x2，tan2x2～2x2，

因?yàn)?，limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15≠0，

所以， limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15.

總而言之，巧用等價(jià)無窮小的代換法求函數(shù)極限可簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.因此，掌握以上方法，就可以達(dá)到用等價(jià)無窮小代換法簡(jiǎn)化極限運(yùn)算的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙瓊.用等價(jià)無窮小代換求極限的兩個(gè)誤區(qū)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（5）：17-18.

[2]王志平.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2012：47.

[3]王紹乾，趙進(jìn)超.利用等價(jià)無窮小代換求函數(shù)的極限[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（6）：80.

[4]殷君芳.用等價(jià)無窮小代換求極限的誤區(qū)及一點(diǎn)補(bǔ)充[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（4）：25-26.

[5]吳緯峰.對(duì)等價(jià)無窮小代換與洛必達(dá)法則求極限的探討[J].濰坊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）：22-23.

[6]楊文泰.等價(jià)無窮小量代換定理的推廣[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2005（2）：12-13.