杜全金

摘 要：深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需要學(xué)生的全程參與、全感參與、全員參與和全面參與。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形態(tài)、參與形式的變化、改良和創(chuàng)新，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的關(guān)鍵。作為教師，應(yīng)站在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展和提升的高度，通過“四全策略”，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)參與的實(shí)效性，助力學(xué)生數(shù)學(xué)生命的成長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：深度參與；四全策略；四度空間

學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“四全策略”，是指學(xué)生在教師引領(lǐng)下，展開的全程性、全感性、全員性和全面性參與?！八娜呗浴蹦軌蜓娱L(zhǎng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的長(zhǎng)度，提升學(xué)生參與學(xué)習(xí)的效度，增進(jìn)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的信度，擴(kuò)充學(xué)生參與學(xué)習(xí)的廣度。通過“四全策略”，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)力更強(qiáng)、知識(shí)統(tǒng)整力更高、延伸拓展力更廣。“四全策略”將有效地培育教師數(shù)學(xué)課程的建構(gòu)力和數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐力。

一、全程性學(xué)習(xí)，延長(zhǎng)參與的“長(zhǎng)度”

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往采用“告訴”方式，由此自然削弱了學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)參與，學(xué)生處于學(xué)習(xí)的被動(dòng)狀態(tài)，其思維呈現(xiàn)依賴狀態(tài)。數(shù)學(xué)教學(xué)必須還原數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的鮮活歷程，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的“源”與“流”，即數(shù)學(xué)知識(shí)是從哪里來的，又將走向哪里。正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾所深刻指出的那樣，“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)的發(fā)展歷史，沿著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)軌跡，根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律來進(jìn)行。數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生重復(fù)人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造”。

例如，教學(xué)《整數(shù)四則混合運(yùn)算》，教材中的例題是“一副中國(guó)象棋12元，一副圍棋15元。買3副中國(guó)象棋和4副圍棋一共多少元？”通常教法是：教師根據(jù)教材中的習(xí)題，聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過先算什么、再算什么、最后算什么，讓學(xué)生掌握乘法和加減法混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。這樣的教學(xué)能否讓學(xué)生真正理解“先算乘法”的合理性呢？事實(shí)上，四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序源于人類解決問題的“求簡(jiǎn)”本能。為了激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生過程，筆者在教學(xué)中相繼設(shè)置了這樣的計(jì)算情境：13+5+5+5，13+5+5+5+5，13+■。剛開始，有學(xué)生從左往右依次計(jì)算；有學(xué)生先算相同加數(shù)，再加上第一個(gè)數(shù)；還有學(xué)生將相同加數(shù)的加法主動(dòng)改成乘法，然后先算乘法再算加法，等等。伴隨數(shù)據(jù)的增加，學(xué)生計(jì)算效率產(chǎn)生了明顯差距，于是紛紛扭轉(zhuǎn)算法，形成了“將相同加數(shù)的加法改寫成乘法，然后先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法”的計(jì)算法則。接著，筆者出示了多個(gè)乘加、乘減混合運(yùn)算，深化學(xué)生“簡(jiǎn)便”的體驗(yàn)，延長(zhǎng)學(xué)生參與計(jì)算的“長(zhǎng)度”，自然地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生從例題向數(shù)學(xué)知識(shí)的跨越。

從數(shù)學(xué)知識(shí)本身的誕生緣由出發(fā)，生發(fā)出混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。這樣的全程性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，超越了“數(shù)學(xué)知識(shí)是由具體實(shí)際問題簡(jiǎn)單歸結(jié)”的簡(jiǎn)單、膚淺的認(rèn)識(shí)。在這個(gè)過程中，學(xué)生感觸到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)悟到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，凸顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。

二、全感性學(xué)習(xí)，提升參與的“效度”

單一的認(rèn)知方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)參與往往是低效甚至是無效的。腦科學(xué)研究表明，人的大腦受到外界的刺激越多，就越具靈活性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運(yùn)用多種方式刺激學(xué)生的腦細(xì)胞，讓學(xué)生的思維活躍，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好奇心、求知欲。實(shí)踐證明，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是單純認(rèn)知行為，而是“手·心·腦”“實(shí)踐·感知·思考”以及“身體·心理·靈魂”等共同參與的“全感性學(xué)習(xí)”，是一種“具身心認(rèn)知”，約翰·米勒稱之為“整體性學(xué)習(xí)”。全感性學(xué)習(xí)，能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)參與學(xué)習(xí)的效度。

比如教學(xué)《長(zhǎng)方形與正方形周長(zhǎng)》，筆者給學(xué)生提供了4根小棒，其中兩根長(zhǎng)的一樣長(zhǎng)，兩根短的也一樣長(zhǎng)，讓學(xué)生圍長(zhǎng)方形。學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性被有效激發(fā)，他們動(dòng)手操作、小組合作，形成了“圍成長(zhǎng)方形的小棒兩兩相同”的感受、認(rèn)識(shí)。這種感受與認(rèn)識(shí)對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的本質(zhì)至關(guān)重要。接著，學(xué)生根據(jù)操作過程，經(jīng)由小組交流，展示了如下豐富的求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的方法：方法一，順次求，即長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬；方法二，分別求，即長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬；方法三，分組求，即（長(zhǎng)+寬）+（長(zhǎng)+寬）。

在這個(gè)過程中，學(xué)生因?yàn)閯?dòng)手操作而有了深刻的感受與體驗(yàn)；因?yàn)榻涣鞫辛硕嘣慕鉀Q問題的方法。如此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就不再是機(jī)械的，而是靈活的；不再是靜止的，而是動(dòng)態(tài)的；不再是平面型的，而是立體化的。在學(xué)生全感性學(xué)習(xí)中，教師要全程介入，引領(lǐng)學(xué)生“思考—實(shí)踐—反思—再實(shí)踐—再反思”，讓學(xué)生不斷地調(diào)整全感學(xué)習(xí)中遇到的問題，讓學(xué)習(xí)更有方向、更有意義、更有預(yù)期。

學(xué)生的全感官參與學(xué)習(xí)，用手做、用耳聽、用嘴說、用腦思，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。全感官學(xué)習(xí)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷、感受、體驗(yàn)，促成了學(xué)生的神經(jīng)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。在這個(gè)過程中，學(xué)生不只是停留在感受、感知的動(dòng)作思維和形象思維等的直觀層面，而是經(jīng)由教師的點(diǎn)撥、引領(lǐng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全腦思維，生成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“整全生命”！

三、全納性學(xué)習(xí)，擴(kuò)充參與的“廣度”

所謂“全納性學(xué)習(xí)”，是指全體學(xué)生都積極參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“全納性”是學(xué)生有效參與的重要標(biāo)識(shí)。由于每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知方式、學(xué)習(xí)傾向性不同，如有學(xué)生擅長(zhǎng)于視覺學(xué)習(xí)，有學(xué)生擅長(zhǎng)于聽覺學(xué)習(xí)等。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生智能特質(zhì)，運(yùn)用不同方式，激發(fā)、引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)參與。不僅是數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生要參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中來，數(shù)學(xué)學(xué)困生也要成為數(shù)學(xué)課堂的主角，成為數(shù)學(xué)思考、探究、合作的主體。全納性學(xué)習(xí)，能夠擴(kuò)充學(xué)生數(shù)學(xué)參與的“廣度”。

比如教學(xué)《簡(jiǎn)單的周期》，在學(xué)生對(duì)生活中簡(jiǎn)單周期現(xiàn)象有了初步感知、理解后，筆者讓學(xué)生用自己喜歡的方式設(shè)計(jì)一個(gè)周期規(guī)律排列的圖形序列，將學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維可視化。于是，有學(xué)生用圓片擺放，有學(xué)生畫圖形表示，有學(xué)生用語(yǔ)言表示，有學(xué)生打上了音樂的節(jié)拍，還有學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，等等。這種對(duì)周期現(xiàn)象的多元表征，讓學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來。在這個(gè)過程中，學(xué)生自然地理解物體的個(gè)數(shù)、每個(gè)周期中的物體個(gè)數(shù)、周期數(shù)以及余數(shù)個(gè)數(shù)等。通過這樣的多元參與學(xué)習(xí)，有學(xué)生聯(lián)想到“日升日落”，聯(lián)想到“春夏秋冬”，聯(lián)想到“星期的周而復(fù)始”，等等。更有學(xué)生認(rèn)為，“周期是一個(gè)圓”，并且用圓片擺成了一個(gè)圓形，這是對(duì)周期現(xiàn)象的深度感悟。

美國(guó)多元智能理論之父霍華德·加德納認(rèn)為，一個(gè)人身上至少存在著九項(xiàng)智能（如數(shù)理邏輯智能、音樂智能、語(yǔ)言智能等），每個(gè)人都有自己的智能強(qiáng)項(xiàng)和智能弱項(xiàng)，都有著屬于自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)特表征，如動(dòng)作表征、圖形表征、情境表征、符號(hào)表征、形象表征等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在把脈學(xué)生優(yōu)勢(shì)智能的基礎(chǔ)上，運(yùn)用多種方式發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛質(zhì)，讓學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還要擁有一種“全納視野”，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場(chǎng)域，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無處不在（主要指學(xué)校、家庭、社區(qū)等都可以成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)域）、無時(shí)不在（指學(xué)生可以借助網(wǎng)絡(luò)展開即時(shí)學(xué)習(xí)等）、無人不在（指老師、家長(zhǎng)、社區(qū)人員、學(xué)生學(xué)伴等都可以成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支持者、幫助者、促進(jìn)者）。

四、全面性學(xué)習(xí)，增進(jìn)參與的“信度”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、過程與方法等認(rèn)知性學(xué)習(xí)，而且包括情意態(tài)度等非認(rèn)知學(xué)習(xí)。從這個(gè)意義上說，學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)生自我本質(zhì)力量的全面舒展和充盈、全面確證與表征。全面性學(xué)習(xí)要實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展。那么，什么是“全面發(fā)展”？筆者認(rèn)為，全面發(fā)展包括全智能、全身心和全人格發(fā)展。通過全面性學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得的不再是知識(shí)碎片，而是完整的生活世界、數(shù)學(xué)世界圖景。

比如《多邊形的內(nèi)角和》，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和”基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，教學(xué)中教師不僅要讓學(xué)生掌握“多邊形內(nèi)角和公式”，更要滲透數(shù)學(xué)“化歸思想”，滲透數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證的探究方法，積淀學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。首先通過測(cè)量驗(yàn)證特殊四邊形也就是長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等的內(nèi)角和，激發(fā)學(xué)生的參與興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的參與激情，引發(fā)學(xué)生的探究欲望。既然特殊的四邊形的內(nèi)角和是360度，那么一般四邊形的內(nèi)角和也是360度嗎？用怎樣的方法驗(yàn)證方便快捷呢？有學(xué)生用量角器進(jìn)行測(cè)量，有學(xué)生將四邊形分割成兩個(gè)三角形進(jìn)行推理。在比較中，學(xué)生體驗(yàn)到將新知轉(zhuǎn)化為舊知的簡(jiǎn)便快捷。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗(yàn)證五邊形的內(nèi)角和、六邊形的內(nèi)角和，進(jìn)而不完全歸納出多邊形（n邊形）的內(nèi)角和。學(xué)生積極參與到知識(shí)建構(gòu)之中，并從中獲得數(shù)學(xué)思想的啟迪和探求知識(shí)的方法，學(xué)生合作學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也得到了培養(yǎng)。

全面性學(xué)習(xí)，增進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與信度。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再游離于數(shù)學(xué)的思想、方法，不再僅僅是在知識(shí)的表層滑行，而是逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)的內(nèi)臟，逐漸貼近數(shù)學(xué)的內(nèi)核，逐漸顯性出自我學(xué)習(xí)的深度。不僅是數(shù)學(xué)感官的參與，更是數(shù)學(xué)思維、想象的深度參與。

蘇聯(lián)教育學(xué)家巴班斯基說，“課堂教學(xué)如果擺脫不了老師牽著學(xué)生走的局面，不讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)，不管教師教得如何出色，講得如何直觀生動(dòng)，都無濟(jì)于事”?！八娜呗浴弊寣W(xué)生在全感參與中積淀經(jīng)驗(yàn)，在全程參與中自主建構(gòu)，在全員參與中互動(dòng)合作，在全面參與中釋放創(chuàng)力。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)必將獲得全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)性的發(fā)展和提升。