季鳳茂

摘 要：數(shù)學(xué)的教和學(xué)離不開題，我們不應(yīng)該孤立地看題，需要把題置于數(shù)學(xué)課程體系中。透過題的表象看到問題的本質(zhì)，讓學(xué)生從感性的認(rèn)識上升到理性的認(rèn)識。每道題都是散點(diǎn)狀的，教師應(yīng)該由點(diǎn)到線，由線成面，由面構(gòu)體，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化。教學(xué)過程中，不能僅僅滿足于解決一道題，關(guān)鍵是能運(yùn)用習(xí)得的策略創(chuàng)造性地解決新的問題。

關(guān)鍵詞：本質(zhì)；結(jié)構(gòu)；運(yùn)用

數(shù)學(xué)的教和數(shù)學(xué)的學(xué)離不開題目，但是題只是一個(gè)例子，是教和學(xué)的素材。我們應(yīng)該把題置于整個(gè)課程體系中，通過題讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法、體驗(yàn)數(shù)學(xué)策略、感悟數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用這些方法去解決新的問題。談祥柏說：“好題應(yīng)該具有召喚靈感的作用，如果受到這類題的熏陶，就必然潛移默化，人也變得越來越聰明?！痹诹昙墢?fù)習(xí)平均數(shù)問題時(shí)有這樣一道經(jīng)典題：一輛車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，從乙地返回甲地每小時(shí)行40千米。這輛車往返的平均速度是多少？從一位教師的教學(xué)過程中可看出這位教師所站的高度和視域的廣度，很有啟示。

一、從現(xiàn)象到本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是本質(zhì)和現(xiàn)象的對立統(tǒng)一，透過現(xiàn)象把握本質(zhì)是教學(xué)的目的，讓學(xué)生從感性的認(rèn)識上升到理性的認(rèn)識。

1. 錯(cuò)誤解法

錯(cuò)誤解法的背后都是有原因的，教學(xué)中需要智慧運(yùn)用錯(cuò)誤的資源。這道題要求的是平均速度，根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系，平均速度應(yīng)等于總路程除以總時(shí)間。這道題沒有總路程，也沒有總時(shí)間，只有往和返的平均速度，由于條件的限制，學(xué)生無法直接從數(shù)量關(guān)系入手，列式解答，大多數(shù)學(xué)生都形成了錯(cuò)誤解法：（60+40）÷2=50（千米/時(shí)）。教學(xué)過程中教師根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤去尋找背后的原因。學(xué)生的錯(cuò)誤解法其實(shí)是有自己的“依據(jù)”的，這種錯(cuò)誤的解法實(shí)際上是一種負(fù)遷移。例如，“張叔叔第一天植樹60棵，第二天植樹40棵，平均每天植樹多少棵？”這道題的解法就是：（60+40）÷2=50（棵）。

2. 錯(cuò)因辨析

朱樂平說：“我們想引領(lǐng)學(xué)生到我們想讓他去的地方，那必須首先知道學(xué)生現(xiàn)在到底在哪里?！苯處熃虒W(xué)過程中，沒有簡單地對學(xué)生的解法進(jìn)行否定，而是讓學(xué)生充分暴露自己的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析：求平均速度和求平均棵數(shù)有什么不同？在求平均棵數(shù)的題中，60棵對應(yīng)的天數(shù)和40棵對應(yīng)的天數(shù)是相同的，平均數(shù)的本質(zhì)就是移多補(bǔ)少，所以可以用（60+40）÷2=50（棵）；而在求平均速度的題中，60千米和40千米對應(yīng)的小時(shí)數(shù)是不一樣的，所以不能用（60+40）÷2=50（千米/時(shí)）。在辨析的基礎(chǔ)上，教師把數(shù)學(xué)問題和學(xué)生的生活聯(lián)系起來，以便深化學(xué)生的認(rèn)識。如“班上男同學(xué)的平均身高是1.6米，女同學(xué)的平均身高是1.4米，那全班同學(xué)的身高是1.5米嗎？”

3. 正解探究

學(xué)生對錯(cuò)誤的解法有了認(rèn)識，這并不表示學(xué)生就能正確地解決該問題。教師在學(xué)生已有認(rèn)識的基礎(chǔ)上，拋出一個(gè)問題：“同學(xué)們一定在想，如果這道題再告訴我們什么條件，問題就可以解決了？”學(xué)生提出兩類想法：一是如果告訴我們往返的時(shí)間，我們就可以解決問題；二是如果告訴我們總路程也可以解決問題。學(xué)生很自然想到了假設(shè)策略的運(yùn)用，通過探究后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果假設(shè)往返的時(shí)間，那么需要假設(shè)兩個(gè)量；如果假設(shè)總路程，那么只需要假設(shè)一個(gè)量。

二、從散點(diǎn)到結(jié)構(gòu)

教學(xué)應(yīng)該是一個(gè)由點(diǎn)到線，由線成面，由面構(gòu)體的過程，不宜孤立、片面看待學(xué)生出現(xiàn)的問題。

1. 變與不變

在運(yùn)用假設(shè)策略解決問題的過程中，不同的學(xué)生假設(shè)的總路程并不相同，可以假設(shè)總路程為120千米、240千米……總路程為任意一個(gè)不是0的數(shù)量，不管總路程是多少，平均速度總是不變的。在這里蘊(yùn)涵著變與不變的哲學(xué)思想。其實(shí)，變與不變是一種現(xiàn)象，但是為什么路程變了，而平均速度是始終不變的呢？這是理解的難點(diǎn)，而只有真正理解了，學(xué)生的認(rèn)識才能得到升華。針對學(xué)生的迷惘，教師組織學(xué)生進(jìn)行討論，通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)總路程240千米和總路程120千米進(jìn)行比較，實(shí)際上就是相當(dāng)于走了兩次，如果總路程是360千米的話就可以看作同樣的運(yùn)動進(jìn)行了第三次，所以不管總路程如何變化，平均速度總是不變的。還可以運(yùn)用商不變的規(guī)律來說明這種現(xiàn)象，總路程（被除數(shù)）和時(shí)間（除數(shù)）同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)，速度（商）是不變的。

2. 算法多樣

同樣的策略，但解決問題的方法不一定相同。在這里可以假設(shè)總路程為一個(gè)具體的數(shù)量，如120、360等；還可以用字母來表示未知的總路程，如把總路程設(shè)為x。這樣求平均速度的算式是2x÷（x÷60+x÷40），化簡以后得出：2x÷（x÷60+x÷40）=2x÷[x×（1÷60+1÷40）]=2x÷x÷（1÷60+1÷40）=2÷（1/60+1/40）=48（千米/時(shí)）。通過不同算法的比較辨析可以進(jìn)一步驗(yàn)證平均速度和總路程是無關(guān)的。除了用假設(shè)的方法以外，還可以用工程問題的思路來解決，把總路程看作單位“1”。算法的多樣培養(yǎng)了學(xué)生的靈活性思維，在多樣化的基礎(chǔ)上再將算法優(yōu)化。

3. 智慧變式

數(shù)學(xué)的教與學(xué)離不開做題，但機(jī)械地做題不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，因此解決問題的過程中需要變式。變式指向的是非本質(zhì)屬性，而不是本質(zhì)屬性?！白儭笔且环N動態(tài)的過程，題的形式發(fā)生了變化，但是解決問題需要運(yùn)用的知識點(diǎn)和方法策略并沒有改變，讓學(xué)生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”。教學(xué)過程中，教師先是改變了題中的數(shù)據(jù)，然后再改變了情境：“張叔叔進(jìn)行戶外爬山運(yùn)動，上山每小時(shí)行6千米，下山沿原路返回每小時(shí)行8千米。張叔叔上山和下山的平均速度是多少？”這樣的變式便于學(xué)生更好地掌握。

三、從掌握到運(yùn)用

掌握和運(yùn)用是學(xué)習(xí)結(jié)果的不同表達(dá)水平，運(yùn)用是在掌握的基礎(chǔ)上選擇或者創(chuàng)造新的方法去解決問題。

1. 策略意識

所有解決問題的過程都是綜合運(yùn)用策略的過程，因此教師教的過程就是培養(yǎng)學(xué)生策略意識的過程，學(xué)生學(xué)的過程也是學(xué)生形成策略意識的過程。策略意識是策略掌握的前提。實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生的策略運(yùn)用往往具有隨意性，對策略的選擇缺少靈敏的嗅覺和捕捉能力。策略的運(yùn)用往往是給予的，而不是生長的。教學(xué)中，教師注意激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激活知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成策略運(yùn)用的需要。使假設(shè)的策略成為學(xué)生的一種體驗(yàn)和概括，提升對假設(shè)策略的價(jià)值認(rèn)識。

2. 遷移意識

學(xué)習(xí)不是讓學(xué)生搬運(yùn)、套用和機(jī)械模仿，而是應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用已有知識、方法、策略解決新的問題。教師在變式練習(xí)時(shí)，安排了這樣一道題：“一批零件，張師傅單獨(dú)加工需要8小時(shí)完成，王師傅單獨(dú)加工需要10小時(shí)完成。如果兩人同時(shí)加工，需要幾小時(shí)完成？”這本是一道工程問題，現(xiàn)教材已經(jīng)不再單獨(dú)研究。其實(shí)這道題和出示的樣例中的情境相似，結(jié)構(gòu)也相近，有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以用習(xí)得的策略解決。在此基礎(chǔ)上學(xué)生反思，運(yùn)用假設(shè)的策略還解決過什么問題，這些問題都有什么共同的特征。

3. 診斷意識

“診斷”一詞，在教學(xué)上是指對學(xué)生以及學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行觀察，并做出判斷，既包括教師對學(xué)生的診斷，也包括學(xué)生的自我診斷。診斷不僅僅局限于課堂上，還應(yīng)包括學(xué)習(xí)前和學(xué)習(xí)后的診斷。教學(xué)前，根據(jù)教師對學(xué)生基礎(chǔ)知識和學(xué)習(xí)狀態(tài)的了解，教師已經(jīng)預(yù)計(jì)學(xué)生會發(fā)生這樣的典型錯(cuò)誤，并對典型錯(cuò)誤形成相應(yīng)的對策。診斷的目的是基于診斷做出更科學(xué)有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)后，需要對課堂狀態(tài)不斷分析、開發(fā)、放大、提高，避免形成機(jī)械思維，從而激發(fā)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)新。