摘要：關(guān)于“角速度”“向心加速度”的關(guān)系、物理內(nèi)涵及表達(dá)向來(lái)存在諸多爭(zhēng)論，各類論證普遍存在切入點(diǎn)不夠準(zhǔn)確、剖析不夠深刻的問(wèn)題.以三類常見(jiàn)的坐標(biāo)系為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)基矢進(jìn)行物理及數(shù)學(xué)的特性分析，明確了“切向基矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是對(duì)速度方向變化率的直接描述”，同時(shí)指出“角速度是角位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，自然坐標(biāo)系由于不使用質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，從而天然地沒(méi)有角速度這一概念”“向心加速度本質(zhì)是法向加速度在圓周運(yùn)動(dòng)中的習(xí)慣表示，不能隨意推廣至極坐標(biāo)系”“線速度概念來(lái)源于自然坐標(biāo)系，與角速度概念從本源上不是一對(duì)共軛物理量，其成對(duì)出現(xiàn)僅是一種基于圓周運(yùn)動(dòng)特殊性時(shí)使用上的習(xí)慣沿用”.

關(guān)鍵詞：角速度；向心加速度；切向基矢；法向基矢

作者簡(jiǎn)介：何?。?980-），男，四川自貢人，碩士，講師，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)、光學(xué)理論.

目前各類中學(xué)教材在討論圓周運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題時(shí)，坐標(biāo)系的選擇使用存在較大問(wèn)題：沿著已知軌道（圓周）進(jìn)行速度的分析和分解，確定切向及法向兩個(gè)基矢方向，這是目前各類教材處理圓周運(yùn)動(dòng)的主流方法，但由此提出的“向心加速度”（本質(zhì)是“法向加速度”）由于圓周運(yùn)動(dòng)的特殊性——力心固定于圓心這一特點(diǎn)，平面極坐標(biāo)系這一工具被不自覺(jué)地同時(shí)引入.事實(shí)上兩類坐標(biāo)系也僅在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)關(guān)系重疊，基矢兩兩關(guān)聯(lián)：法向與徑向相反、切向與橫向重合（如圖1），這便導(dǎo)致極坐標(biāo)系中建立的“角速度”概念由此混入自然坐標(biāo)系進(jìn)而引發(fā)一系列反復(fù)的爭(zhēng)論[1-5]，這一爭(zhēng)論在由圓周運(yùn)動(dòng)推廣到一般曲線類運(yùn)動(dòng)時(shí)變得激烈，尤其在分析諸如“拋體問(wèn)題”“勻速直線類問(wèn)題”等恒力類[4，5]問(wèn)題時(shí)達(dá)到頂峰.然而這些爭(zhēng)論過(guò)程中，雖然使得“真理越辯越明”，但由于切入點(diǎn)不夠準(zhǔn)確，致使剖析未能直達(dá)物理本質(zhì)，且普遍存在概念混亂、表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題.本文從基本概念的建立出發(fā)，牢牢抓住“曲線坐標(biāo)系的基矢非恒定矢量”這一特性進(jìn)行分析，指明易混淆的概念及其緣由，并將一些不正確但已成為習(xí)慣表達(dá)的物理名詞呈現(xiàn)出來(lái)，以供參考.

1基本概念的剖析

11運(yùn)動(dòng)學(xué)概念與曲線坐標(biāo)系的關(guān)系

“位矢”“速度”“加速度”這些是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念，相互以“對(duì)時(shí)間的變化率”進(jìn)行關(guān)聯(lián)及定義，但“角速度”“線速度”“法向加速度”“切向加速度”“徑向加速度”“角向加速度”“角加速度”等物理量的建立及“線”“角”“法向”等修飾詞的引入實(shí)際上都源于坐標(biāo)系的建立、矢量的分解這一操作的.存在這么多不同的修飾詞則是由于所選擇的坐標(biāo)系為曲線坐標(biāo)系，基矢之間并不平權(quán).事實(shí)上我們也常常使用直角笛卡爾坐標(biāo)系，此時(shí)各類矢量也會(huì)在三個(gè)基矢方向進(jìn)行分解，得到諸如“x方向速度、y方向加速度、z方向位矢”等相應(yīng)投影結(jié)果，但因?yàn)閷?duì)直角笛卡爾坐標(biāo)系而言，三個(gè)維度彼此平權(quán)，互相可通過(guò)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)操作進(jìn)行互換，因此并不需要特別地給某個(gè)方向的分量取一特殊的名詞進(jìn)行區(qū)分.但對(duì)于以運(yùn)動(dòng)軌道的切線、法線作為基矢的自然坐標(biāo)系、以矢徑本身徑向及轉(zhuǎn)動(dòng)角向?yàn)榛傅钠矫鏄O坐標(biāo)系，推廣到三維則為球（或柱）坐標(biāo)系，首先，基矢之間從數(shù)學(xué)行為來(lái)講不對(duì)等、不能互相替換，因此給與一些定語(yǔ)進(jìn)行描述，以幫助我們清楚地抓住其物理行為的特點(diǎn)就很有必要（事實(shí)上我們也確實(shí)這么做了）；另外一個(gè)要點(diǎn)在于，不同于直角坐標(biāo)系中的三個(gè)基矢“，，”的恒定性（一旦坐標(biāo)系建立，則與時(shí)間、空間都無(wú)關(guān)），曲線坐標(biāo)系中的基矢均隨時(shí)空改變，因此在求導(dǎo)過(guò)程中會(huì)衍生出更多的項(xiàng)，導(dǎo)致表達(dá)式變得復(fù)雜，呈現(xiàn)各個(gè)基矢之間的交叉項(xiàng)、干涉項(xiàng)，這也是造成很多物理教師在理解過(guò)程中發(fā)生混亂的本質(zhì)原因.

12向心加速度與角速度關(guān)系的剖析

由上述分析可見(jiàn)，“法向加速度”是基于坐標(biāo)系基矢選擇所做的概念建立，表示加速度矢量沿軌道法線方向的分量，“向心加速度”則僅是一個(gè)并不嚴(yán)格的習(xí)慣表達(dá)，僅在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，具備與“法向加速度”相同的含義.但巧合之處在于此時(shí)向心的“心”雖為圓心，卻由于選擇的習(xí)慣往往同時(shí)成為平面極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，“向心”此時(shí)與“徑向”剛好是相反關(guān)系，從矢量角度來(lái)講僅僅差一個(gè)負(fù)號(hào)，具備互相轉(zhuǎn)換的條件——這便產(chǎn)生了從自然坐標(biāo)系向極坐標(biāo)系進(jìn)行過(guò)渡的可能（圖1）.另一個(gè)因素與“角速度”概念有關(guān)：角速度是質(zhì)點(diǎn)角位矢對(duì)時(shí)間的變化率=ddt，作為一矢量，確定一參考軸（例如通常平面極坐標(biāo)中所選擇的x軸）后其大小便可表示為角坐標(biāo)θ，方向則由右手螺旋定則確定（例如平面極坐標(biāo)中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正向，故其方向?yàn)榇怪庇谠撈矫娴姆较颍?，此時(shí)=θ.但自然坐標(biāo)系中是沒(méi)有采用角度作為基本坐標(biāo)的，因此在該坐標(biāo)系中似乎并不天然地存在“角速度”這一概念，然而由于對(duì)一任意連續(xù)光滑可導(dǎo)的軌道，以平面軌道為例，此軌道形態(tài)總可以用函數(shù)y=y（x）表達(dá)，其每一段微元曲線均可對(duì)應(yīng)某一曲率半徑為1+y′232y″的大圓的一部分圓弧[6]（如圖2），因此在該點(diǎn)附近的曲線運(yùn)動(dòng)確實(shí)可用對(duì)應(yīng)大圓上的圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，相應(yīng)地vρ便常被誤稱為“角速度”了.后面將會(huì)分析這里的“角參量”依然存在，但與前述極坐標(biāo)的情形已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)，因此認(rèn)為 “兩類角速度共存”是造成理解混亂的另一原因.本文所提到的關(guān)于前述基本概念所有認(rèn)知上的錯(cuò)誤都來(lái)源于這一場(chǎng)景：圓周運(yùn)動(dòng)中兩類坐標(biāo)系表述上的等價(jià)相關(guān)概念任意混用導(dǎo)致對(duì)一般曲線運(yùn)動(dòng)的分析產(chǎn)生邏輯障礙及物理量選擇的困惑.

2速度方向的變化率在不同坐標(biāo)系中的具體表示

現(xiàn)在我們嘗試著將“速度方向的變化率”這一抽象的矢量表達(dá)借助于三類常見(jiàn)坐標(biāo)系進(jìn)行詳細(xì)的展開(kāi)，將相關(guān)的易混淆的概念進(jìn)行剖析并挖掘相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系.

21自然坐標(biāo)系

在自然坐標(biāo)系中，速度沿軌道切線方向，其矢量描述為：=v[6]，切向基矢便是速度（矢量）方向的唯一描述，故其時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)便描述了速度方向隨時(shí)間變化的所有信息.注意到作為基矢，身份依然是矢量，故其對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)也必為矢量，因此這一變化率應(yīng)當(dāng)有大小和方向的兩重含義.

由圖2可得：

=cosφ+sinφ，=-sinφ+cosφ

·

=dτdt=-sinφ+cosφ=n=vρn，（注：此處及后續(xù)均沿用理論力學(xué)求導(dǎo)表示符號(hào)[6]：=dAdt）

由上述分析便能辨明一些模糊易混的說(shuō)法，如：“速度方向大小的變化快慢”，這即為切向基矢絕對(duì)值對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，顯然由于基矢為單位長(zhǎng)度矢量，故=ddtτ=0；“速度方向的變化率”則應(yīng)當(dāng)為vρn （或n的形式），包括大小和方向兩部分；“速度方向變化的快慢”則僅指vρ（或）.因此在不引發(fā)概念混淆的情況下，用自然坐標(biāo)系中的“切向基矢與參考軸（水平向x軸）夾角參量（方向?yàn)閦軸向）給出的角參量φ”定義的“角速度”的大小來(lái)描述速度方向的變化快慢很方便的，也似乎是可行的，然而這一做法正折射出目前我們的教材體系中不夠嚴(yán)謹(jǐn)之處：按照定義，速度（角速度）是描述質(zhì)點(diǎn)位置（角位置）矢量隨時(shí)間變換情況的物理量，極坐標(biāo)系中的角參量確實(shí)描述了質(zhì)點(diǎn)的角位置，滿足這一定義要求，但自然坐標(biāo)系中的方位角φ表達(dá)的卻是切向基矢的方向，并不直接與質(zhì)點(diǎn)位置相關(guān)聯(lián)，因此將定義為角速度的大小至少在運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇是不正確的.事實(shí)上包括質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)，討論角速度、角動(dòng)量等概念中所對(duì)應(yīng)的“角”均對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)系中的角坐標(biāo)，與φ唯一的關(guān)聯(lián)僅存于圓周運(yùn)動(dòng).

為此我們將兩類坐標(biāo)系中關(guān)于角參量對(duì)時(shí)間變化率的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比：

=ddt=dθdt=dθdt=，·=dτdt=n，由此可以很清楚地看到兩者區(qū)別：

是速度方向變化率除掉法向基矢的結(jié)果·n，而則是角速度矢量的絕對(duì)值（平面定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形），在一般曲線運(yùn)動(dòng)中兩者的物理意義完全不同.因此，我們常常使用的“線速度”“角速度”這一對(duì)看似共軛物理量實(shí)際從邏輯上講是行不通的，“線速度”的大小實(shí)質(zhì)是“速率”，方向沿切向，這一概念來(lái)源于自然坐標(biāo)系；而“角速度”如前分析，來(lái)源于極坐標(biāo)系，兩者本不應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)于同一描述場(chǎng)景，但由于圓周運(yùn)動(dòng)中的等價(jià)特殊性，學(xué)者們還是保留了這一并不合邏輯的習(xí)慣表達(dá).因此筆者希望大家在保留這一習(xí)慣表達(dá)的同時(shí)，能從本源上認(rèn)清上述各類描述方式的實(shí)質(zhì)，再不用糾結(jié)于這些細(xì)碎問(wèn)題，反復(fù)爭(zhēng)論無(wú)休.

22極坐標(biāo)系

如果一定要使用具備基矢意義的矢量，引入極坐標(biāo)系，則速度矢量可表為[6]，如圖3所示.

=r+r

=r2+r2rr2+r2+rr2+r2

因此可知rr2+r2+rr2+r2部分即為速度方向在極坐標(biāo)系中的表示（等價(jià)于自然坐標(biāo)系的），其對(duì)時(shí)間變化率為：

ddtrr2+r2+rr2+r2=ddt1r2+r2=ddt1r2+r2+1r2+r2

=1r2+r2{[r2-2r22-r34-r2]+[23-r+r23+r2]}

這一非常復(fù)雜的表達(dá)式，由此可見(jiàn)速度方向矢量的時(shí)間變化率對(duì)矢徑、角坐標(biāo)及各自對(duì)時(shí)間的1、2階導(dǎo)數(shù)均有依賴性（因此包括角速度的大?。?，用此式可在極坐標(biāo)系中計(jì)算一般曲線運(yùn)動(dòng)的變化細(xì)節(jié).對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)而言，有，均為零這一特點(diǎn)，故上式簡(jiǎn)化作：

1r3-r34=-，此時(shí)-=，=ω=vρ.而關(guān)于直線類運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是否存在角速度及速度方向問(wèn)題的爭(zhēng)論正是混淆了非圓周運(yùn)動(dòng)中的與vρ關(guān)系，實(shí)際上對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)例子，應(yīng)當(dāng)使用約束式（例如直線平行于x軸時(shí)用rsinθ=h）帶入上式進(jìn)行討論，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得其速度方向變化率為0.

23直角坐標(biāo)系

同樣可給出直角坐標(biāo)系中的表示（此處僅討論平面情形）：

此處箭頭有誤=+=2+22+2+2+2

=2+2+2+2

ddt=2+2-2+2+232

+2+2-2+2+232

上式便是使用速度及加速度的x、y分量形式給出的對(duì)于速度方向變化率的表達(dá)形式，這一形式既不關(guān)聯(lián)角速度，也不關(guān)聯(lián)法向加速度，在具體描述及使用中缺乏實(shí)際意義.

3結(jié)論與分析

（1）速度方向的時(shí)間變化率是一矢量，嚴(yán)格表達(dá)為：dτdt，采用不同的坐標(biāo)系可有各類具體形式，其大小表示這一變化的快慢程度，在自然坐標(biāo)系中可用速率與該點(diǎn)曲率半徑的比值：vρ進(jìn)行描述，這一表達(dá)對(duì)應(yīng)于方位角對(duì)時(shí)間的變化率，但并非“角速度”.速度方向的時(shí)間變化率作為矢量，其方向指明引發(fā)該變化的力的方向.

（2）圓周運(yùn)動(dòng)具有特殊性，若選擇圓心為極坐標(biāo)系原點(diǎn)，則極坐標(biāo)表示與自然坐標(biāo)表示天然等價(jià)，此時(shí)方位角對(duì)時(shí)間的變化率從量值來(lái)講等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間變化率，此時(shí)使用“角速度”“線速度”進(jìn)行描述不會(huì)引發(fā)困難，但僅限于此.

（3） 理解曲線坐標(biāo)系的基矢性質(zhì)，把握速度矢量?jī)?nèi)涵.否則易導(dǎo)致兩類錯(cuò)誤：①認(rèn)為速度大小和方向是

相互獨(dú)立的兩部分（=v+），從而認(rèn)為大小和方向的變化率也互相獨(dú)立，進(jìn)而認(rèn)為切向加速度描述速度大小變化而法向加速度則單獨(dú)描述速度方向的變化（=·=+·=τ+n），這類認(rèn)知實(shí)際屬于數(shù)學(xué)層面的認(rèn)知錯(cuò)誤，沒(méi)能看清v、兩項(xiàng)是乘積關(guān)系，且不同于直角坐標(biāo)系中的基矢恒定的特征，此處v、均為時(shí)間的函數(shù)，因此對(duì)時(shí)間求導(dǎo)過(guò)程所得的兩項(xiàng)實(shí)際是交叉關(guān)聯(lián)的：=·=ddtv=+v·，除前面分析的“法向加速度在描述速度方向變化的同時(shí)還關(guān)聯(lián)著速率”這一情形外，速率項(xiàng)的變化率也需保留對(duì)方向的說(shuō)明：.②沒(méi)有理解曲線坐標(biāo)系建立的起始要求和約定，任意分解矢量.如將速度在自然坐標(biāo)系中按照兩個(gè)基矢方向進(jìn)行分解，得出=τ+n，

=·=·τ+·n=τ+n進(jìn)而得出“向心加速度是法向速度對(duì)時(shí)間變化率”這樣的謬論.事實(shí)上自然坐標(biāo)系在建立之初便明確規(guī)定其切向基矢與速度的同向性，由此速度矢量在法線方向投影值恒為零.

（4）法向加速度按照定義為n=v·=vvρn，可見(jiàn)其內(nèi)含上并不僅僅描述速度方向的改變情況（·），其包含的速率項(xiàng)v同時(shí)表達(dá)了這種速度方向的改變情況與所需維持的速率大小有關(guān).

4啟示

自然坐標(biāo)系適用于已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行軌道的情形（例如約束體類問(wèn)題），采用的基矢為法向、切向，基本坐標(biāo)只有曲線長(zhǎng)度（或路程），不直接給出位矢、角位矢，相應(yīng)地，也不存在“角速度”.平面極坐標(biāo)適用于含有心力類型的問(wèn)題（如萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力等），采用的基矢為徑向、橫向（或稱“角向”“轉(zhuǎn)向”），基本坐標(biāo)為徑向長(zhǎng)度、角度，有“角速度”“角向速度”“徑向速度”的概念，但并無(wú)“線速度”.使用這些曲線坐標(biāo)系時(shí)，須把握上述特性，明了速度的法向分量為零、位矢的角向分量為零這些特征，具體推算時(shí)不能忘記這類基矢隨時(shí)間會(huì)改變.因此，進(jìn)行受力分析應(yīng)用牛頓第二定律時(shí)，基于其瞬時(shí)性特點(diǎn)，上述坐標(biāo)系都能直接使用，但對(duì)于由時(shí)間（及空間）累積效應(yīng)呈現(xiàn)的動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等，則無(wú)法給出分量方程.

參考文獻(xiàn)：

[1]李沐東.線速度方向變化快慢用什么物理量描述？[J].物理教師，2009，30（07）：39-40.

[2]龔勁濤，魏標(biāo).角速度能表示速度方向變化快慢嗎？[J].物理教師，2011，32（02）：43-45.

[3]沈瑞清.關(guān)于向心加速度的物理意義及什么是描述速度方向變化快慢的物理量的思考[J].物理教師，2011，32（08）：42-43.

[4]付喜錦.再論“對(duì)向心加速度物理意義的探討”[J].物理教師，2012，33（09）：29-30.

[5]宋輝武.再談向心加速度與角速度的物理意義[J].物理教師，2016，37（08）：66-67.

[6]周衍柏.理論力學(xué)教程（第 2 版）[M].北京：高等教育出版社，1979：13-17.