曹逸

摘要：數(shù)形結(jié)合是一種可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化的數(shù)學(xué)思想方法。在計(jì)算教學(xué)中巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生親歷探索全過程，明晰算理，形成算法，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律。在計(jì)算練習(xí)中合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可以提升學(xué)生理解運(yùn)算、實(shí)施運(yùn)算和估算的能力，能有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力水平。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;運(yùn)算能力

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2018）19-075-2

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。數(shù)形結(jié)合可以將復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，實(shí)現(xiàn)抽象思維和形象思維的有機(jī)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合不僅是一種教學(xué)思想，還是一種很好的教學(xué)方法。教學(xué)中有不少抽象的、學(xué)生難以理解和掌握的內(nèi)容，通過數(shù)形結(jié)合的使用可以巧妙地突破重點(diǎn)、化解難點(diǎn)。

一、利用數(shù)形結(jié)合，親歷發(fā)現(xiàn)過程

1.經(jīng)歷探尋“理”和“法”的過程

算理是計(jì)算過程中的道理，是解決“為什么這樣算”的問題，而算法是計(jì)算的方法，是解決“怎樣算”的方法。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉概括。在理解算理的基礎(chǔ)上，算法才能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合可以有效地把算理顯性化、直觀化。

教學(xué)中，教師應(yīng)重視指導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法。例如，在教學(xué)“加法運(yùn)算律及其簡便計(jì)算”課中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考323+102、426+199可以怎樣簡便計(jì)算，讓學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出自己的想法：

323+102=323+100+2

426+199=426+200-1

追問：為什么可以這樣轉(zhuǎn)化呢？誰能解釋一下這樣算的道理？（學(xué)生的思維很活躍。）

生1：假如我去超市買東西，我先付了323元，還要付102元。我先給營業(yè)員100元，再加兩個(gè)硬幣，所以323+102可以變成323+100+2。第二題我先付了426元，然后又給了阿姨2張100，可是多付了1元，所以要用426+200-1。

生2：我把102拆成100+2，所以323+102可以變成323+100+2。把199拆成200-1，所以426+199等于426+200-1。

生3：因?yàn)?02包含了1個(gè)百和2個(gè)1，所以可以先加上1個(gè)百，再加2個(gè)1。第二題是需要加199個(gè)1，但是卻加上了200，多加了1個(gè)，所以要減去。

此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)出示下列圖示，讓學(xué)生借助圖形理解算理，深化對(duì)計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)。

2.親歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身是一個(gè)探索、創(chuàng)造知識(shí)的過程。計(jì)算教學(xué)包含了大量的探索運(yùn)算規(guī)律的內(nèi)容。利用數(shù)與形的聯(lián)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，尤其是規(guī)律探索問題變得簡單易懂。

例如教學(xué)《積的變化規(guī)律》一課，通過自主探究，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)了“一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)乘幾，得到的積就等于原來的積乘幾”這個(gè)規(guī)律，此時(shí)教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生：是不是所有的乘法算式中都存在這樣的規(guī)律呢？因此，我們剛才提出的猜想還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。試舉例，用算式或者畫圖驗(yàn)證一下。

生1：

生2：我用一個(gè)長方形面積表示4×9，長不變，寬乘2，所以面積也乘了2。

學(xué)生用圖形表達(dá)出了規(guī)律，很有創(chuàng)意。

之后，教師再次出示圖形，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索：如果兩個(gè)乘數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，比如一個(gè)乘數(shù)乘2，另一個(gè)乘數(shù)乘3，積會(huì)怎樣變化呢？試著畫一畫、算一算，驗(yàn)證自己的猜想。

生1：

生2：

無論是長方形還是正方形，學(xué)生都能有意識(shí)地運(yùn)用圖形表征積的變化規(guī)律，這種圖形表征方法直觀形象，利于學(xué)生理解和內(nèi)化抽象的規(guī)律。

二、利用數(shù)形結(jié)合，提升運(yùn)算能力

計(jì)算練習(xí)的優(yōu)化對(duì)于學(xué)生運(yùn)算能力的提升起著關(guān)鍵作用。教師應(yīng)根據(jù)情況合理選擇數(shù)形變換的方式，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力水平，發(fā)展思維能力。

1.數(shù)形結(jié)合，提升理解運(yùn)算水平

對(duì)運(yùn)算的理解不能僅僅在新授課中出現(xiàn)，在練習(xí)中同樣需要。通過練習(xí)回顧，更加利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)則、運(yùn)算步驟表示含義的內(nèi)化和深化。理解運(yùn)算的基本能力水平要求是“能在簡單情境中識(shí)別運(yùn)算規(guī)則”;高一級(jí)能力水平要求“能說明運(yùn)算過程中特定步驟表示的含義”;更高能力水平的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“能用適當(dāng)?shù)姆绞剑ㄈ绠媹D、描述等）解釋運(yùn)算規(guī)則或結(jié)果”。由此可見數(shù)形結(jié)合對(duì)于提升理解運(yùn)算能力水平的必要性。設(shè)計(jì)練習(xí)，可以讓學(xué)生根據(jù)算式的意義、運(yùn)算規(guī)則和數(shù)學(xué)規(guī)律描述圖形，或借助圖形刻畫運(yùn)算規(guī)則或結(jié)果，提升理解運(yùn)算能力水平。

例如題1：下面三幅圖中，分別表述哪一個(gè)運(yùn)算定律。

再如題2：a+a=2a，a×a=a2，有沒有什么方法可以區(qū)分？可以寫一寫，可以畫一畫。

生1：

生2：

2.數(shù)形結(jié)合，提升實(shí)施運(yùn)算水平

數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵能力之二是實(shí)施運(yùn)算。能力水平從低到高的標(biāo)準(zhǔn)依次為“能根據(jù)運(yùn)算規(guī)則正確地進(jìn)行四則運(yùn)算”“能在理解算理的基礎(chǔ)上，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則正確進(jìn)行驗(yàn)算;能正確計(jì)算兩步整數(shù)四則混合運(yùn)算試題”“能靈活運(yùn)用規(guī)則，尋求合理簡潔的途徑進(jìn)行運(yùn)算”。評(píng)價(jià)實(shí)施運(yùn)算的高層次水平的重要標(biāo)準(zhǔn)是看運(yùn)算是否合理、簡潔、優(yōu)化。在計(jì)算練習(xí)中，數(shù)與形的合理轉(zhuǎn)化恰可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，尤其是具有一定規(guī)律性的問題變得簡潔易懂。在尋求最優(yōu)運(yùn)算方法的過程中，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提升。

例如：計(jì)算1+3+5+7+…+19=？這是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列計(jì)算，在課堂中學(xué)生并沒有學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容。但是如果轉(zhuǎn)化成圖形來計(jì)算，則可以化繁為簡。

師：我們?cè)囍貌煌念伾男≌叫螖[一擺，逐步表示出這個(gè)算式。

在教師的引導(dǎo)下，擺一擺并板書算式

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要求這些數(shù)的和，就是求小正方形的個(gè)數(shù)。觀察圖形和對(duì)應(yīng)的算式，你發(fā)現(xiàn)怎樣算更簡便？通過觀察思考，學(xué)生感悟到可以把加法算式轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的平方數(shù)，從而輕松得出1+3+5+7+…+19=10×10=100。這一教學(xué)過程，教師不必向?qū)W生介紹等差數(shù)列這一抽象性較高的知識(shí)，而是借助圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的規(guī)律和聯(lián)系。

3.數(shù)形結(jié)合，提升估算水平

數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵能力之三是“估算”。除了“能根據(jù)解決問題的需要選擇估算”、“能按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估算或估計(jì)”的標(biāo)準(zhǔn)外，其高水平的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“能運(yùn)用估算解決一些實(shí)際問題”。由于實(shí)際問題的情境比較復(fù)雜，需要學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)，開展深度思維。在這個(gè)過程中，數(shù)形的巧妙轉(zhuǎn)化可成為學(xué)生思考的腳手架，幫助學(xué)生梳理復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。

例如“工地有一堆黃沙需要運(yùn)送。大貨車每輛運(yùn)2噸，小貨車每2輛運(yùn)1噸。大、小貨車一次把9噸黃沙全部運(yùn)完?？赡苡袔纵v大貨車？幾輛小貨車？（可以列式計(jì)算，也可以畫一畫）”。

生1：

生2：

學(xué)生在解題過程中，巧妙運(yùn)用畫圖策略，非常清晰地展示了思維過程，并且尋求了多種解題方法。

總之，正如華羅庚先生所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)滲透和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，努力挖掘“數(shù)”和“形”的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的逐步提高和數(shù)學(xué)能力的逐步提升打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。