蔣天澤， 李朋洲， 孫 磊， 馬建中， 譚添才

(中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院， 四川 成都 610041)

0 引 言

通常，蒸汽發(fā)生器中多跨管路大多由孔板或防振條支撐，處于兩相流作用下.因安裝誤差或松動(dòng)，孔板或防振條與管之間存在一定的間隙，稱為間隙約束.當(dāng)外部橫流流速較大時(shí)傳熱管會(huì)發(fā)生流彈失穩(wěn)，產(chǎn)生大幅振動(dòng)，并與間隙約束發(fā)生碰撞磨蝕，使得傳熱管管壁變薄而發(fā)生泄漏，影響裝置的營(yíng)運(yùn)安全.研究發(fā)現(xiàn)，在該過程中，傳熱管將產(chǎn)生許多復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，而用線性理論將無法準(zhǔn)確描述傳熱管失穩(wěn)后的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[1-2].針對(duì)此問題，科研人員進(jìn)行了深入分析并取得了大量研究結(jié)果[3-10].但在上述研究中的非線性支撐模型大多使用了簡(jiǎn)化的三次彈簧模型，該支撐模型實(shí)際上是與管一直接觸的，只能稱為松弛的支撐，無法考慮管與支撐存在間隙時(shí)對(duì)管振動(dòng)特性的影響.對(duì)此，一些學(xué)者通過對(duì)間隙非線性項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)來分析該問題[11-12].在此基礎(chǔ)上，本研究擬對(duì)間隙支撐模型進(jìn)行改進(jìn)，并采用兩相流作用下旋轉(zhuǎn)三角形管束的流體力測(cè)量數(shù)據(jù)建立懸臂管模型.通過求解方程，對(duì)比了改進(jìn)后的間隙約束模型與簡(jiǎn)化的三次彈簧模型，以及支撐阻尼對(duì)管的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響.

1 分析模型

1.1 間隙約束模型

本研究討論的有間隙支撐的懸臂管模型如圖1所示.

圖1有間隙支撐的懸臂管模型

針對(duì)圖1模型，文獻(xiàn)[2]首先將支撐約束與圓柱管的碰撞力簡(jiǎn)化為與管接觸的三次彈簧，其表達(dá)式為，

(1)

式中，wb為約束處圓柱管的振幅，κ為三次彈簧的無量綱剛度.

式(1)中的碰撞力隨著管子振動(dòng)是光滑連續(xù)的，并未考慮管與支撐間存在間隙時(shí)對(duì)碰撞力及管振動(dòng)特性的影響.對(duì)此，本研究假設(shè)管與約束之間存在一定的間隙，且考慮支撐的阻尼力.當(dāng)管的振幅小于間隙距時(shí)，約束不與其發(fā)生碰撞，而當(dāng)振幅大于間隙距時(shí)，碰撞力與位移為三次關(guān)系.若懸臂管距上支撐距離WU，距下支撐距離WL，則改進(jìn)的間隙約束模型可表達(dá)為，

(2)

式中，ec為偏心距，ec=(wU-wL)/2；Cimp無量綱為支撐阻尼系數(shù)，其表達(dá)式為，

(3)

式中，β為阻尼參數(shù)，由碰撞體的恢復(fù)系數(shù)得到，本研究中取鋼的阻尼系數(shù)為0.25 s/m.

可以認(rèn)為，本模型是較為全面考慮間隙剛度、間隙大小、非連續(xù)碰撞以及支撐阻尼的碰撞模型.

1.2 懸臂管模型

在圖1中，取在兩相橫流作用下位于旋轉(zhuǎn)三角形管束中間的自由管，則管模型可簡(jiǎn)化為一端與管板固定支撐而另一端自由的歐拉—伯努利懸臂梁模型，且僅考慮與橫向流垂直的升力方向振動(dòng).由于懸臂梁模型一端自由，因此假設(shè)在振動(dòng)過程中梁中線不可伸長(zhǎng)，不考慮軸向力對(duì)振動(dòng)的影響.文獻(xiàn)[13]在歐拉—伯努利懸壁梁模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出橫向流作用下的管運(yùn)動(dòng)微分方程為，

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]提出的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)流體力模型，傳熱管升力方向所受橫流作用流體力可表達(dá)為，

(5)

引入以下無量綱量，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行無量綱化，有，

(6)

式中，變量或常數(shù)上帶有波浪號(hào)代表相應(yīng)量的無量綱數(shù)，L為管長(zhǎng)度，ζ為空間坐標(biāo)的無量綱量，τ為無量綱時(shí)間，ζ為無量綱阻尼，λ1為管振動(dòng)的一階頻率.將以上無量綱量帶入管運(yùn)動(dòng)微分方程，得到無量綱運(yùn)動(dòng)方程，

(7)

采用Galerkin法將無限維偏微分方程離散為低階的便于求解的常微分方程組，運(yùn)用歐拉—伯努利懸臂梁的模態(tài)函數(shù)φi和離散系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)qi，假設(shè)解的形式為，

(8)

帶入無量綱運(yùn)動(dòng)方程可得，

(9)

2 動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 間隙約束模型與三次彈簧模型的對(duì)比

1)采用三次彈簧模型，彈簧剛度κ=1×103，利用空泡份額為50%時(shí)的流體力數(shù)據(jù)及相關(guān)參數(shù)，對(duì)方程求解后得到如圖2的隨無量綱流速變化的分岔圖.圖2中，UH為Hopf分岔流速，Upf為叉型分岔流速，Upd為倍周期分岔流速.

從圖2可以觀察到，隨著流速的增加系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分岔、叉型分岔、倍周期分岔和混沌運(yùn)動(dòng).這是一個(gè)十分典型的系統(tǒng)分岔并最終演化為混沌的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

圖2三次彈簧模型的系統(tǒng)隨流速變化的分岔圖(κ=1×103)

2)選用改進(jìn)的間隙約束模型，剛度分別選κ=1×103和κ=6×103，間隙大小為wU=wL=0.03，暫不考慮支撐阻尼.通過求解方程得到如圖3的系統(tǒng)隨無量綱流速變化的分岔圖，圖3中，UH為Hopf分岔流速，Upf1為第一叉型分岔流速，Upf2為第二叉型分岔流速、Upd為倍周期分岔流速.其中Hopf分岔點(diǎn)UH為管發(fā)生流彈失穩(wěn)的臨界流速.

(a)κ=1×103；(b)κ=6×103

圖3間隙約束模型的系統(tǒng)隨流速變化的分岔圖

從圖3可以看到，非線性支撐項(xiàng)的不同對(duì)其大小沒有影響.將圖3(a)與圖2進(jìn)行對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，超臨界流速后采用了改進(jìn)的間隙約束時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了更為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分岔、第一叉型分岔，并經(jīng)歷了較短的混沌區(qū)域后發(fā)生了第二次叉型分岔，然后又經(jīng)歷較長(zhǎng)的時(shí)間才到達(dá)倍周期分岔點(diǎn)，之后便很快地發(fā)展為更廣泛的混沌運(yùn)動(dòng)，且第二分岔點(diǎn)后的軌跡線存在一處小范圍的畸變破裂，在混沌運(yùn)動(dòng)中存在一片空白的窗口區(qū)域(見圖3(b))，當(dāng)彈簧的剛度增加為6×103后，系統(tǒng)的分岔圖變得更為復(fù)雜，并在第二叉型分岔點(diǎn)到倍周期分岔點(diǎn)Upf2之間的分岔路徑發(fā)生較大范圍的畸變破裂，形成一片新的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域，且已不能容易分辨出倍周期分岔點(diǎn)Upd的位置，之后進(jìn)入更復(fù)雜更大范圍的混沌運(yùn)動(dòng).

3)為了說明系統(tǒng)第一叉型分岔后的運(yùn)動(dòng)形態(tài)變化過程，提取了當(dāng)支撐剛度為6×103時(shí)，無量綱流速分別為0.9、1.1、1.4、1.6、1.7、1.8時(shí)懸臂管自由端的相圖如圖4(a)～(f)所示.

圖4 懸臂管自由端運(yùn)動(dòng)的相圖

2.2 支撐阻尼對(duì)管動(dòng)態(tài)特性的影響

為對(duì)比改進(jìn)后的間隙約束模型中支撐阻尼對(duì)管的非線性動(dòng)態(tài)特性的影響，選取支撐剛度為6×103，并采用空泡份額為50%時(shí)的流體力數(shù)據(jù)及相關(guān)參數(shù)，選取無量綱間隙尺寸0.01和0.03分別進(jìn)行討論.

間隙尺寸分別為0.01和0.03時(shí)無支撐阻尼和考慮支撐阻尼的間隙約束模型對(duì)懸臂管動(dòng)態(tài)特性影響的對(duì)比如圖5、6所示.

(a)無支撐阻尼；(b)考慮支撐阻尼

圖5間隙尺寸為0.01時(shí)支撐阻尼對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響

從圖5、6可以觀察到，支撐阻尼對(duì)第二叉型分岔點(diǎn)之前的動(dòng)態(tài)特性影響不大，但在第二叉型分岔點(diǎn)之后的分岔路徑發(fā)生了較大變化.當(dāng)間隙尺寸為0.01時(shí)，考慮支撐阻尼的第二叉型分岔點(diǎn)之后的分岔路徑?jīng)]有發(fā)生擴(kuò)散，且倍周期分岔提前發(fā)生，使得混沌區(qū)域范圍增大.而當(dāng)間隙尺寸為0.03時(shí)，支撐阻尼使得第二分岔點(diǎn)之后的動(dòng)態(tài)特性變得更加復(fù)雜，多處分岔路徑發(fā)生畸變破裂，之后混沌區(qū)域也變得復(fù)雜，邊緣變得模糊，各典型分岔點(diǎn)變得難以識(shí)別.實(shí)際工程中，管與支撐接觸后不僅產(chǎn)生碰撞力，也存在一定的阻尼力.本研究認(rèn)為，為了更為準(zhǔn)確地描述間隙約束對(duì)管振動(dòng)特性的影響，并為進(jìn)一步研究管與支撐的碰撞磨蝕，有必要考慮支撐的阻尼.

(a)無支撐阻尼；(b)考慮支撐阻尼

圖6間隙尺寸為0.03時(shí)支撐阻尼對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響

3 結(jié) 論

本研究在三次彈簧模型的基礎(chǔ)上，加入了考慮間隙和支撐阻尼的改進(jìn)的間隙約束模型.采用該模型和兩相流的流體力數(shù)據(jù)，建立了有間隙約束的懸臂管的動(dòng)力學(xué)方程.通過數(shù)值求解，對(duì)比了改進(jìn)后的間隙約束模型與三次彈簧模型，同時(shí)討論了支撐阻尼對(duì)管振動(dòng)特性的影響.由于間隙非線性，改進(jìn)的間隙約束模型較三次彈簧模型使系統(tǒng)發(fā)生了更為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為：系統(tǒng)隨著流速的增加發(fā)生了Hopf分岔、第一叉型分岔、第二叉型分岔、倍周期分岔、混沌運(yùn)動(dòng)及混沌窗口期等非線性現(xiàn)象；增大支撐剛度后，第一叉型分岔點(diǎn)后的分岔軌跡線發(fā)生畸變破裂使得混沌區(qū)域增大且各典型分岔點(diǎn)變得難以識(shí)別；支撐阻尼使得第一分岔點(diǎn)后的分岔軌跡線發(fā)生變化，倍周期運(yùn)動(dòng)提前從而使得混沌區(qū)域增大.研究表明，改進(jìn)的間隙約束模型較三次彈簧模型更為接近工程實(shí)際，這為下一步更為準(zhǔn)確地分析間隙支撐對(duì)管振動(dòng)特性的影響以及管與支撐的碰撞及磨蝕的研究提供了理論基礎(chǔ).