黎昭文， 李 鵬， 楊翊仁

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610031)

0 引 言

研究表明，高速列車在運行時， 其車身蒙皮等壁板結(jié)構(gòu)與流體之間存在強耦合作用會出現(xiàn)嚴(yán)重的氣動彈性問題[1].事實上， 氣動彈性力學(xué)系統(tǒng)的研究需要同時關(guān)注結(jié)構(gòu)與氣動力兩者之間的耦合作用.針對該問題， 科研人員做了大量研究[2-8].研究表明，對高速列車運行這類低馬赫數(shù)流動問題， 其車身壁板上的氣動力可用線性模型表征，在考慮壁板結(jié)構(gòu)非線性環(huán)節(jié)后的氣動彈性動力學(xué)模型可用一類典型的非線性VanderPol-Duffing方程來表征.故， 本研究擬基于Volterra級數(shù)采用脈沖響應(yīng)法對模型系統(tǒng)進行辨識， 并對該模型系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)進行預(yù)測， 從而建立該類氣動彈性問題的響應(yīng)分析方法.

1 Volterra級數(shù)理論

研究發(fā)現(xiàn)，Volterra級數(shù)適用于時不變?nèi)醴蔷€性系統(tǒng)的建模，其可在任意精度上逼進集上的連續(xù)函數(shù)[9].任意時不變的離散系統(tǒng)對任意輸入u[n]的響應(yīng)y[n]可用無限項的多維卷積分描述，

k1,n-k2]u[k1]u[k2]+…+

n-km]u[k1]u[k2]…u[km]+…

(1)

式中，n=0,1,2,…，是離散時間變量，h0是定常狀態(tài)響應(yīng)，hm[n-k1,n-k2，…，n-km]是系統(tǒng)的m階核.若能識別出系統(tǒng)的各階核，則系統(tǒng)對于任意輸入的響應(yīng)都可以通過上述卷積求得.

各階核的識別過程是Volterra級數(shù)模型建立的關(guān)鍵步驟.研究顯示，核識別的方法包括脈沖響應(yīng)法、階躍響應(yīng)法和準(zhǔn)階躍響應(yīng)法等[10].本研究擬采用脈沖響應(yīng)法識別模型系統(tǒng)的各階核.

設(shè)該模型系統(tǒng)的定常狀態(tài)h0=0，則式(1)可寫為如下的二階截斷形式，

k1,n-k2]u[k1]u[k2]

(2)

定義離散時間域內(nèi)一維單位脈沖、二維單位脈沖為，

(3)

u(τ1)=u(τ1-k1)+u(τ1-k2)， 0≤k1≤k2

(4)

按識別要求分別施加脈沖信號于式(2)，可得其一階核的表達(dá)式為，

(5)

式中，當(dāng)y0[n]為零時施加信號(1)的響應(yīng)，y2[n]為零時施加雙倍幅值信號(1)的響應(yīng).

模型系統(tǒng)的二階核的表達(dá)式為，

h2[n-k1,n-k2]

(6)

式中，y1[n-k1,n-k2]為施加信號(4)的響應(yīng)，y0[n-k1]和y1[n-k2]分別為在k1和k2時刻施加信號(3)的響應(yīng).

一階核h1[n]為時間n的一維函數(shù)，表示非線性系統(tǒng)的線性子系統(tǒng)特性，也可表征一定的非線性特性，且比非線性系統(tǒng)純線化后的線性核更加合理.二階核是關(guān)于時間n和時移k1-k2的二維函數(shù)序列.

2 壁板模型的動力學(xué)系統(tǒng)與響應(yīng)預(yù)測

2.1 壁板模型的動力學(xué)系統(tǒng)與方程

兩端簡支的黏彈性二維壁板模型如圖1所示.壁板上表面有沿軸向的不可壓縮亞音速氣流，氣流密度及速度分別為ρ∞與U∞，壁板上表面作用有擾動氣流及基座擾動所致簡諧激勵力.

圖1二維壁板模型

描述該模型的氣動彈性系統(tǒng)的無量綱動力學(xué)方程[1]為，

(7)

式中，質(zhì)量m=ms+mf、剛度系數(shù)k=ks+kf，其中下標(biāo)s表示結(jié)構(gòu)相關(guān)項，f表示與流體相關(guān)的附加項，其隨流體的密度與速度的改變而變化；阻尼系數(shù)μ和非線性項系數(shù)k3只與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)；外激勵幅值F0和外激勵頻率ω均與擾動氣動力和基座激擾有關(guān)[11].

式(7)所表征的方程可視為弱非線性系統(tǒng)，可用其對模型的動力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)進行預(yù)測.

2.2 非線性響應(yīng)預(yù)測

首先，將式(7)右端項替換為脈沖激勵P，并將式(7)降階為一階微分方程組，

(8)

表1 計算參數(shù)

基于表1的參數(shù)，圖2(a)給出模型系統(tǒng)起步階段的響應(yīng)的數(shù)值計算及理論預(yù)測解，圖2(b)～(d)給出了模型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)階段的數(shù)值計算及預(yù)測解.

圖2 模型系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)預(yù)測結(jié)果

由圖2(a)可知，采用一階核可較好地預(yù)測該模型的響應(yīng)，且對其起步階段及穩(wěn)定階段的響應(yīng)均有很好的預(yù)測.因二階核對一階核的修正效果有限，故本分析中僅使用一階核進行系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測.

為研究模型系統(tǒng)的參數(shù)對響應(yīng)預(yù)測的影響，需要對方程(7)中的可變參數(shù)進行分析以確定其合理的變化范圍，從而保證獲得較好的識別效果.

2.2.1 流場參數(shù).

流場參數(shù)可由質(zhì)量m和剛度系數(shù)k表征.計算發(fā)現(xiàn)，隨著m值的變大，其響應(yīng)的預(yù)測效果將會逐漸變差，結(jié)果如圖3所示.從圖3可知，系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測值在峰值處已經(jīng)出現(xiàn)了明顯的差別.同時，由計算可知，當(dāng)k相對較大時，系統(tǒng)響應(yīng)識別效果較好，結(jié)果如圖4所示.從圖4可知，當(dāng)k逐漸變小并趨于零時，系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測效果會顯著變差.這主要是由于系統(tǒng)處于零剛度的失穩(wěn)臨界狀態(tài).故，相對較小的m和相對較大的k能夠保證模型系統(tǒng)有較好的預(yù)測效果.

圖3m=2時位移預(yù)測結(jié)果

圖4k=0.01時位移預(yù)測結(jié)果

2.2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù).

結(jié)構(gòu)參數(shù)主要由阻尼系數(shù)μ和非線性項系數(shù)k3表征.計算發(fā)現(xiàn)，預(yù)測效果對μ值變化并不敏感，但會影響系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)的時間，即μ越大其進入穩(wěn)態(tài)的時間就越快，圖5給出了μ=1時的系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)測結(jié)果，進入穩(wěn)態(tài)時間與μ=0.1相比明顯變短.同時，由計算可知，隨著k3的增大預(yù)測效果會變差，圖6給出了k3=10時系統(tǒng)起始段預(yù)測結(jié)果.由圖6可知，為保證模型系統(tǒng)有較好的預(yù)測效果，應(yīng)使k3相對較小.

圖5μ=1時位移預(yù)測結(jié)果

圖6k3=10時位移預(yù)測結(jié)果

2.2.3 激勵參數(shù).

激勵參數(shù)主要由外激勵幅值F0和外激勵頻率ω表征.計算發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)0的大小對模型預(yù)測結(jié)果的影響不明顯，但對系統(tǒng)的位移幅值的影響較大，結(jié)果如圖7所示.同時，由計算可知，ω值越小，預(yù)測效果越差，結(jié)果如圖8所示.據(jù)此可知，相對較大ω值可保證模型系統(tǒng)有較好的預(yù)測效果.

圖7F0=2時位移預(yù)測結(jié)果

圖8 ω=0.1 π位移預(yù)測結(jié)果

3 結(jié) 論

本研究選取表征亞音速壁板非線性動力學(xué)模型系統(tǒng)的VanDerPol-Duffing方程，并對其進行了研究，基于Volterra級數(shù)對模型進行核識別并建立相應(yīng)的系統(tǒng)以進行動力學(xué)響應(yīng)預(yù)測.研究表明：對該類弱非線性問題，基于一階核所構(gòu)建的Volterra模型對系統(tǒng)的響應(yīng)有較好的預(yù)測效果；系統(tǒng)的阻尼系數(shù)μ和外激勵幅值F0對預(yù)測精度無明顯影響，系統(tǒng)的質(zhì)量m和非線性項系數(shù)k3的值相對越大，則預(yù)測精度越差，剛度系數(shù)k和外激勵頻率ω的值相對越小，其預(yù)測精度越差.