吳章洪

(成都大學(xué) 美術(shù)與設(shè)計(jì)學(xué)院， 四川 成都 610106)

0 引 言

磁共振圖像是一種基礎(chǔ)醫(yī)療診斷工具，壓縮感知(Compressed sensing，CS)為磁共振圖像中的應(yīng)用提供了潛在的減少掃描時(shí)間的可能[1].磁共振圖像若要成功應(yīng)用CS必須滿足2個(gè)關(guān)鍵要求：醫(yī)療影像是可壓縮的或是稀疏的；磁共振圖像掃描儀獲得的是編碼后的樣品，而不是直接像素的樣本[2].磁共振圖像獲得的編碼樣品通過求解凸優(yōu)化問題找到信號(hào)的逼近.目前，科研人員提出了許多凸優(yōu)化方法，例如內(nèi)點(diǎn)法、梯度投影方法和迭代閾值法等[3].本研究針對(duì)閾值迭代法無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度位置并且存在著恒定偏差的問題，提出了一種新的閾值函數(shù)與數(shù)據(jù)約束一致性的方法重構(gòu)磁共振圖像.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 相關(guān)性

CS中若要完全恢復(fù)圖像，稀疏矩陣與采樣矩陣必須滿足RIP性質(zhì)，而直接測(cè)量RIP性質(zhì)非常困難，本實(shí)驗(yàn)通過計(jì)算采樣矩陣Φ和稀疏基Ψ之間的相干性來探測(cè).采樣矩陣Φ和稀疏基Ψ之間的相干系數(shù)定義為，

(1)

1.2 圖像重構(gòu)理論

CS在磁共振圖像中的應(yīng)用可以描述為：假設(shè)有一幅磁共振圖像x,此圖像在小波變換域或者奇異值分解下是稀疏的，稀疏基為Ψ，采樣矩陣為Φ,圖像的測(cè)量值為y，其中y=φ×φ×x.若對(duì)磁共振圖像進(jìn)行恢復(fù)，其重構(gòu)算法[5]可以描述為，

(2)

(3)

由式(3)可知，其解的形式與軟閾值函數(shù)相似，閾值迭代算法的實(shí)現(xiàn)是根據(jù)軟閾值函數(shù)求解以及約束數(shù)據(jù)的一致性進(jìn)行圖像的恢復(fù)，其具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

其次，根據(jù)約束數(shù)據(jù)一致性理論，

(4)

(5)

磁共振圖像通過欠采樣方式獲得觀測(cè)值.根據(jù)采樣理論，對(duì)復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，如果采樣時(shí)鐘頻率不到信號(hào)中最大頻率的2倍，則會(huì)出現(xiàn)一種稱為“混疊”的現(xiàn)象.若把“混疊”現(xiàn)象看成是噪聲，則對(duì)磁共振圖像的恢復(fù)可看成是“去噪”的過程，可采用式(3)的方法恢復(fù)圖像.但式(5)有2個(gè)變量，因此沒有具體的解的形式.式(5)常用的解決方案是軟閾值函數(shù)和數(shù)據(jù)約束一致性相結(jié)合來恢復(fù)圖像，但是由于軟閾值函數(shù)對(duì)于原系數(shù)和小波分解系數(shù)存在恒定偏差，由式(3)可知，軟閾值函數(shù)估算信號(hào)時(shí)，只是簡(jiǎn)單地加減λ，因此函數(shù)無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置，所以盡管整體上重構(gòu)信號(hào)在歐氏距離上逼近原信號(hào)，但是存在低尺度能量搬移到高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)不期望的人工效應(yīng).當(dāng)軟閾值函數(shù)在|y|<λ時(shí)，其估算值全部置0，會(huì)產(chǎn)生截?cái)嘈?yīng)，導(dǎo)致許多細(xì)節(jié)信息丟失，影響圖像重構(gòu)精度.對(duì)此，本研究采用新的閾值函數(shù)和約束數(shù)據(jù)一致性的方法恢復(fù)圖像.新的閾值函數(shù)為，

(6)

式中，k=log2(|λ/y|∧n+1),相當(dāng)于一個(gè)調(diào)節(jié)因子.當(dāng)|y>λ|，0

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)軟件

為驗(yàn)證本研究提出的算法恢復(fù)磁共振圖像的效果，采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

2.2 實(shí)驗(yàn)對(duì)象

研究對(duì)象為256×256的大腦磁共振圖像，如圖1所示.

圖1大腦磁共振圖像

2.3 參數(shù)設(shè)置

采用小波變換基作為稀疏基，隨機(jī)線矩陣為采樣矩陣，采樣線的條數(shù)是60，如圖2與圖3所示.

圖2小波變換稀疏后的圖

圖3采樣矩陣

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

軟閾值函數(shù)與新閾值函數(shù)恢復(fù)圖像后的效果如圖4所示.

圖4 函數(shù)重構(gòu)圖

2.5 數(shù)據(jù)分析

根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，本研究從圖像恢復(fù)的信噪比、圖像在不同稀疏基下重構(gòu)的時(shí)間及相干性3個(gè)方面作為評(píng)價(jià)圖像恢復(fù)的標(biāo)準(zhǔn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5、表1～表3所示.

圖5 2種采樣矩陣圖像恢復(fù)的信噪比

表2 不同稀疏基作用下2種函數(shù)對(duì)應(yīng)圖像恢復(fù)的時(shí)間比

表3 矩陣之間相關(guān)性的對(duì)比

根據(jù)CS理論可知，圖像恢復(fù)的信噪比越高，均方誤差越小，圖像恢復(fù)的質(zhì)量就越高.

3 結(jié) 語

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新閾值迭代算法能有效地解決原閾值迭代法無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置和存在著恒定偏差的問題，同時(shí)能精確地重構(gòu)圖像，達(dá)到了本研究期望的結(jié)果.