于慶

[摘? 要] 本課例是將折紙藝術(shù)介入數(shù)學(xué)課堂的大膽嘗試，完美的白銀比例讓一張普通的A4紙具有神奇的特征和用處，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)原理. 兩張規(guī)則完整的正方形紙不粘、不剪，簡(jiǎn)單的錯(cuò)位嵌套后就能折成一個(gè)牢固完整的正方體造型. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)特有的藝術(shù)魅力，對(duì)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有積極的作用.

[關(guān)鍵詞] 白銀比例;白銀長(zhǎng)方形;折紙;數(shù)學(xué)課堂

藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著密不可分的聯(lián)系，藝術(shù)源于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)賦靈感于藝術(shù). 創(chuàng)新地向?qū)W生傳播數(shù)學(xué)所具有的藝術(shù)價(jià)值，能使今后在向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)取得較好的效果. 本課例是將折紙介入數(shù)學(xué)課堂的大膽嘗試，生活中常見(jiàn)的紙張?bào)w現(xiàn)了人們生活的智慧，能夠培養(yǎng)學(xué)生的生活創(chuàng)新意識(shí).

從生活中常見(jiàn)的A4紙激趣導(dǎo)入

我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｓ玫募埦褪茿4紙，你知道它有什么奇妙的特征嗎？你知道它的長(zhǎng)和寬分別是多少厘米嗎？它的長(zhǎng)與寬的比例又是多少呢？或許你認(rèn)為它的長(zhǎng)寬比應(yīng)該是黃金分割比，真的是這樣嗎？你可以在電腦中打開(kāi)一個(gè)Word文檔，找到“頁(yè)面布局”的菜單欄，在“紙張大小”的下拉列表中選擇A4時(shí)，就會(huì)看到Word中A4紙的規(guī)格是21 cm×29.6 cm，A4紙長(zhǎng)與寬的數(shù)值為什么不按習(xí)慣取整數(shù)而是小數(shù)呢？原來(lái)A4紙是由國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織的ISO 216定義的，規(guī)格為21 cm×29.7 cm，世界上多數(shù)國(guó)家所使用的紙張尺寸都是采用這一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn). A4紙的長(zhǎng)寬比為29.7÷21≈1.414，這顯然不是黃金比例（golden ratio），那這個(gè)與黃金比例1.618十分接近的比例是什么數(shù)呢？正是無(wú)理數(shù)的近似值.

A組紙張具有兩個(gè)特征：一是所有A0、A1、A2、A3…尺寸紙張的長(zhǎng)寬比都同為，二是A0紙對(duì)裁可以得到2張A1紙，A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推. 事實(shí)上，并不是任意一張紙對(duì)裁，都可以得到長(zhǎng)寬比跟原來(lái)的紙相同的兩張紙，只有A組紙張?zhí)厥獾拈L(zhǎng)寬比才能帶來(lái)這種特性，這兩個(gè)特色讓A組紙張非常好用，不但剪切方便，而且沒(méi)有浪費(fèi)，應(yīng)用廣泛. 所以，人們將1.414稱為白銀比例（silver ratio）或白銀分割，并將具有白銀比例的長(zhǎng)方形稱為白銀長(zhǎng)方形，其命名和黃金比例類似.

如果說(shuō)黃金分割比是西方人最鐘愛(ài)的比例，那么中國(guó)人對(duì)比例之美的追求就是白銀分割比. 我們常說(shuō)的“沒(méi)有規(guī)矩不成方圓”這句話其實(shí)源自中國(guó)古人“天圓地方”的宇宙觀. 如圖1的“圓方方圓圖”，一個(gè)圓套方，和一個(gè)方套圓，你能發(fā)現(xiàn)其中暗藏著什么比例的玄機(jī)嗎？其實(shí)就是1∶，“圓方圖”中小正方形的邊長(zhǎng)與其外接圓的直徑或?qū)蔷€的比是1∶，在這個(gè)外接圓外再畫一個(gè)大正方形就得到“方圓圖”，“圓方圖”中小正方形的邊長(zhǎng)與“方圓圖”中大正方形的邊長(zhǎng)比也是1∶，如此繼續(xù)畫正方形的外接圓和圓的外接正方形，反反復(fù)復(fù)運(yùn)用圓方方圓圖就可以得到一個(gè)很精彩的正方形構(gòu)圖（如圖2）. 白銀比例也是當(dāng)代造型藝術(shù)中常用的比值，它比黃金比例更有“人文科技感”. 然而，從美學(xué)上說(shuō)，，，也都最符合日常視覺(jué)的習(xí)慣，但還是白銀比例實(shí)際利用起來(lái)更方便.

課例從生活中常見(jiàn)的A4紙引入，讓學(xué)生領(lǐng)略其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用的價(jià)值.

嘗試用數(shù)學(xué)折紙的方法驗(yàn)證

A4紙的長(zhǎng)寬比例

要證明一張普通A4紙的長(zhǎng)短邊之比為∶1，人們往往只能想到用直尺測(cè)量長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度并計(jì)算二者之比，這樣做不僅麻煩，而且還會(huì)受到測(cè)量長(zhǎng)度和計(jì)算過(guò)程中的誤差影響. 除了通過(guò)測(cè)量計(jì)算的方法驗(yàn)證A組紙的長(zhǎng)寬比為以外，還有一種輕松快速又有效的方法——數(shù)學(xué)折紙. 首先，將 A4 紙（圖3）的短邊AB翻折，使其與長(zhǎng)邊AD重合（圖4），展開(kāi)后（圖5）由勾股定理可知折痕 AE=AB，用手按住點(diǎn)A運(yùn)用旋轉(zhuǎn)折紙法，可使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（圖6），由此可直觀形象地得出AD=AE=AB，即長(zhǎng)邊與短邊之比為∶1.

思考正方形紙與白銀長(zhǎng)方形紙

的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題

由一張白銀長(zhǎng)方形紙可以很容易通過(guò)折紙剪裁的方法得到一張正方形紙，那么，反過(guò)來(lái)，如何將一張正方形紙通過(guò)折紙剪裁的方法得到一張白銀長(zhǎng)方形紙呢？這就要找到正方形一條邊上的分點(diǎn)，其實(shí)也很容易，可以進(jìn)行如下操作. 首先，折出正方形ABCD的一條對(duì)角線AC，展開(kāi)后（圖7）由勾股定理可知折痕 AC=AB，然后折出∠ACB的平分線CE（圖8），將正方形的一條邊BC折到對(duì)角線AC上與之重合，將點(diǎn)B落在AC上的位置記為點(diǎn)F（圖9），易知AC=CF，過(guò)此點(diǎn)折出正方形邊AD的平行線MN，則BC=DC=MC，沿線NN將紙裁開(kāi)，裁開(kāi)后得到的長(zhǎng)方形紙MNBC就是白銀長(zhǎng)方形紙.

兩張A4紙折成立體嵌套三棱

錐造型

折紙是用一張紙折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng). 一般來(lái)說(shuō)，折紙作品必須完全由紙張折疊而成，在折紙的過(guò)程中不能使用剪刀或膠水，而在折紙的作品上也不需要多加任何色彩. 數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)是一種與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的活動(dòng)，其與普通折紙的主要區(qū)別在于：不特別關(guān)注作品的藝術(shù)性，而重在揭示或詮釋數(shù)學(xué)概念. 梁海聲在《白銀長(zhǎng)方形：神奇的立體紙藝造型》一書中，用一張A4紙，不剪、不拼、不貼，通過(guò)簡(jiǎn)單的幾次對(duì)折就折出了一個(gè)三棱錐. 首先將一張A4 紙長(zhǎng)邊對(duì)折一次成為A5紙張尺寸，再將長(zhǎng)邊對(duì)折一次成為A6紙張尺寸，這樣原A4紙的4個(gè)頂角都折到右上角了，在沒(méi)有紙張角的左上到右下正反折疊對(duì)角線，展開(kāi)A4紙得到需要的 5 條折痕，圍攏A4紙的四個(gè)角到一點(diǎn)上，就得到一個(gè)三棱錐，三棱錐的表面就是一張完整的A4紙. 做兩個(gè)一樣的四面體，相互錯(cuò)位嵌套起來(lái)，得到的雙層四面體盒子更加牢固. 但是嵌套的四面體盒子無(wú)法自行閉合，還是要借助膠水黏合才行，這是因?yàn)樗械募垙埗荚诒砻?，不具備拼插的條件.

兩張正方形紙折成立體嵌套正

方體造型

受到這個(gè)雙層四面體盒子的啟發(fā)，筆者嘗試教會(huì)學(xué)生用兩張正方形紙做成一個(gè)雙層嵌套的正方體盒子. 首先將一張正方形紙連續(xù)對(duì)折兩次，這樣原正方形紙張的4個(gè)頂角都折到右上角了，在沒(méi)有紙張角的左上到右下正反折疊對(duì)角線，展開(kāi)后將正方形紙的四個(gè)角都折到正方形的中心點(diǎn)上，得到面積為原來(lái)一半的小正方形，將小正方形的四條邊按照對(duì)邊分兩次向中心點(diǎn)對(duì)折，展開(kāi)正方形紙得到需要的折痕（圖10）. 以中心的小正方形為底面，將四個(gè)角立起來(lái)，中間多余的部分向內(nèi)折，四個(gè)頂角圍攏到一點(diǎn)上，就得到了一個(gè)正方體. 做兩個(gè)一樣的正方體，相互錯(cuò)位嵌套，并將中間多余的部分拼插起來(lái)，就得到一個(gè)牢固完整的雙層正方體盒子（圖11）.

這個(gè)正方體盒子不僅制作簡(jiǎn)單，而且嵌套完美，能夠自行閉合. 兩張規(guī)則完整的正方形紙不粘、不剪，簡(jiǎn)單的錯(cuò)位嵌套后就能折成一個(gè)牢固完整的正方體造型，這個(gè)具有高度美感的立體構(gòu)成讓學(xué)生不禁感嘆數(shù)學(xué)折紙的神奇魅力，對(duì)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有積極的作用.