唐彩斌 慕振亮

【摘要】本文以發(fā)展能力為重作為變式策略設(shè)計(jì)的核心，通過(guò)六大方面的變式策略的改變，我們知道綜合并不是單一的練習(xí)方式的重復(fù)累加;開(kāi)放也不是漫無(wú)目標(biāo)的松散組合。從變式過(guò)程看，問(wèn)題可能存在多種方法;從變式結(jié)果看，問(wèn)題有多種不同答案;從變式的意義看，立足本質(zhì)，抓住問(wèn)題的核心，促進(jìn)向上發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力 變式 策略 思維 發(fā)展 高階思維

我國(guó)著名教育改革專家顧泠沅教授于1990年和2007年兩次做了教學(xué)目標(biāo)的大樣本測(cè)試，對(duì)布魯姆的教學(xué)目標(biāo)分類進(jìn)行了批判性的建設(shè)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)分類的層次性、分類的連續(xù)性與等距性，把認(rèn)知目標(biāo)及其對(duì)應(yīng)能力表現(xiàn)水平描述為大致等距的四層次框架，分別是“操作、了解、領(lǐng)會(huì)和探究”四類目標(biāo)，并給出了具體描述，形成了指向四個(gè)數(shù)學(xué)水平層次的框架。

在筆者組織的大樣本區(qū)域小學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)的過(guò)程中，有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)于操作、了解類的低識(shí)知水平目標(biāo)達(dá)成度較好，對(duì)于領(lǐng)會(huì)和探究類的高認(rèn)知水平目標(biāo)相對(duì)不足。也就是說(shuō)：我們常在低水平的層次高頻訓(xùn)練，卻在高階思維水平層次低頻發(fā)展。適當(dāng)降低這種低階思維水平的“高頻訓(xùn)練”，讓學(xué)生有更多機(jī)會(huì)、更多時(shí)間去經(jīng)歷“高階思維水平”的挑戰(zhàn)，應(yīng)該成為教學(xué)改進(jìn)的方向。也恰如郭華教授的觀點(diǎn)：基于挑戰(zhàn)、基于探究，是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的主要途徑之一。

那么，逐漸地從水平一“操作”、水平二“了解”向水平三“領(lǐng)會(huì)”、水平四“探究”過(guò)渡，這個(gè)轉(zhuǎn)變的過(guò)程需要一種重要的策略就是“變式”。《華人如何學(xué)數(shù)學(xué)》曾系統(tǒng)總結(jié)了中國(guó)特色的變式教學(xué)，把它視為“促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式”，2020年國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)將在上海舉行，屆時(shí)華東師范大學(xué)博士生導(dǎo)師顧泠沅教授將做大會(huì)報(bào)告，可以預(yù)見(jiàn)“變式教學(xué)”將再一次被國(guó)際數(shù)學(xué)教育界聚焦。

那么，在新時(shí)代背景下，在國(guó)際視野下，作為一線的小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，我們到底可以在實(shí)踐層面如何更好地踐行“變式教學(xué)”就變得更有意義，本文選擇習(xí)題設(shè)計(jì)的小切口，提出幾種常見(jiàn)的實(shí)踐策略，努力將“變式”的思想付諸實(shí)施。

一、從直接變間接

思維具有兩個(gè)基本特點(diǎn)，一個(gè)是概括性，一個(gè)是間接性。在小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題設(shè)計(jì)中，由原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)樣式中的條件，直接告知的條件改為間接條件，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，自覺(jué)主動(dòng)地把間接的條件變成直接的條件，溝通“間接”與“直接”之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

比如，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，寬是10厘米，周長(zhǎng)是多少？這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樣式的問(wèn)題，學(xué)生的通過(guò)率在95%以上。把“寬為10厘米”改為“寬比長(zhǎng)短5厘米”，問(wèn)題變?yōu)椋洪L(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，寬比長(zhǎng)短5厘米，周長(zhǎng)是多少？就有學(xué)生會(huì)列式“（15+5）×2”求周長(zhǎng)，因?yàn)樵诓糠謱W(xué)生的認(rèn)知水平里，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是形如“（□+□）×2”可以求得的。這就是水平一階段，模仿性的操作，學(xué)生甚至不明白算理也在“依葫蘆畫瓢”。

除了把直接的條件改為間接的條件，間接性還表現(xiàn)在，將給出的信息轉(zhuǎn)變成解決問(wèn)題真正需要的條件。

比如有一條豎直的線段長(zhǎng)20厘米，以每秒5厘米的速度向右平移，1分鐘后線段掃過(guò)的部分有多大？面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，需要學(xué)生自己識(shí)別“是求周長(zhǎng)還是面積”？如果是求“面積”，那么是一個(gè)“什么圖形的面積”？表象地思考出是一個(gè)長(zhǎng)方形，那么還需要進(jìn)而思考：“這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少，寬是多少？”更有細(xì)節(jié)處還需要把1分鐘轉(zhuǎn)化為60秒，比起“一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)300厘米，寬20厘米，面積是多少平方厘米”，間接的程度越高，對(duì)學(xué)生形成的挑戰(zhàn)也越大。但是本著發(fā)展學(xué)生的空間觀念和運(yùn)算能力，以及綜合解決問(wèn)題的能力來(lái)說(shuō)，顯然，越是有挑戰(zhàn)的問(wèn)題學(xué)生的收獲會(huì)越大。

二、從正向到逆向

20世紀(jì)80年代，趙裕春教授和張?zhí)煨⒗蠋煹仍谌珖?guó)組織了小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的大規(guī)模檢測(cè)。當(dāng)時(shí)就提出小學(xué)生重要的數(shù)學(xué)能力，其中有一條就是：可逆性思考。逆向思維的培養(yǎng)也是當(dāng)下學(xué)生的一種重要思維素養(yǎng)。

記得筆者在英國(guó)訪學(xué)期間，經(jīng)常在英國(guó)的中小學(xué)聽(tīng)課，英國(guó)老師的課堂是這樣的：7+6=？，8+4=？，9+7=？聽(tīng)著挺簡(jiǎn)單，突然提問(wèn)：□+□=13。瞬間，學(xué)生的思維開(kāi)放了。這就是正向變逆向的最簡(jiǎn)單運(yùn)用。還記得有一次筆者和美國(guó)的一位教師一起交流，他提到了數(shù)學(xué)課上的選擇題，67+26，正確的答案是多少呢？學(xué)生說(shuō)93，雷夫說(shuō)：是的，正確答案是93。那么，這個(gè)選擇題的其他選項(xiàng)可以怎么填呢？可能是什么答案呢？學(xué)生補(bǔ)充說(shuō)83，因?yàn)槲矣袝r(shí)會(huì)忘記“進(jìn)位的”;馬上又有學(xué)生補(bǔ)充41，因?yàn)橛袝r(shí)會(huì)把加法看成減法的。沒(méi)想到明明知道了答案的選擇題，逆向追問(wèn)，也可以蘊(yùn)含多種不同思考，依然有很好的教學(xué)價(jià)值。

在計(jì)算教學(xué)中，帶余數(shù)除法的正向習(xí)題，如13÷3=□……□，49÷8=□……□;正向變逆向，被除數(shù)和除數(shù)已知變未知，答案未知變已知，如□÷□=5……3，反而可以引發(fā)學(xué)生更多思考。

在圖形與空間領(lǐng)域，絕大多數(shù)教師都有下面的教學(xué)感受：要求三角形的面積，正向題：三角形的底是15厘米，高是10厘米，面積是多少？逆向題：三角形的面積是150平方厘米，高是10厘米，底是多少厘米？顯然，逆向題的挑戰(zhàn)更大，正確率會(huì)降低10%。

最令人印象深刻的是應(yīng)用問(wèn)題，正向題：科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本？逆向題：科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本？在逆向問(wèn)題解決中，更需要學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思考以及更加復(fù)雜的推理，在這個(gè)過(guò)程中，自然能增強(qiáng)學(xué)生更強(qiáng)的邏輯思維能力。

三、從封閉到開(kāi)放

有學(xué)者研究，我們一般將數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題主要分為3類：（1）給出的問(wèn)題條件是開(kāi)放的;（2）問(wèn)題的解題過(guò)程是開(kāi)放的;（3）問(wèn)題的最終結(jié)果是開(kāi)放的。當(dāng)然，開(kāi)放題也可以是這3種類型的綜合情況。比如，（1）條件開(kāi)放題：?jiǎn)栴}的條件不完備或滿足結(jié)論的條件不唯一：兩個(gè)數(shù)相加為20，這兩個(gè)數(shù)是多少？（2）結(jié)論開(kāi)放題。在給定條件下，結(jié)論不唯一：尋找13元6角的硬幣組合？（3）解題策略開(kāi)放題。思維策略與解題方法不唯一：圍著火爐一圏，一次可以烤10個(gè)紅薯，烤熟一個(gè)要5分鐘，兩面都烤熟才完全烤熟，現(xiàn)在烤15個(gè)紅薯，至少需多長(zhǎng)時(shí)間？（4）綜合型。在條件、結(jié)論、策略中至少有兩項(xiàng)是開(kāi)放的：一個(gè)長(zhǎng)方形，剪掉一個(gè)角，剩下的部分還有幾個(gè)角？

最為經(jīng)典的開(kāi)放題，是日本學(xué)者介紹的。有一塊長(zhǎng)4米、寬3米的園地，現(xiàn)要在園地上辟出一個(gè)花圃，使花圃的面積是原來(lái)的園地面積的一半，問(wèn)如何設(shè)計(jì)？（日本開(kāi)放題）：

教學(xué)中讓學(xué)生盡可能多設(shè)計(jì)不同的圖案并且獨(dú)特、新穎，這就需要充分調(diào)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，突破原有的認(rèn)知和思維定式。顯然這樣的解題過(guò)程和最后的結(jié)果體現(xiàn)了數(shù)學(xué)開(kāi)放題不同的開(kāi)放類型，不同的開(kāi)放程度能讓不同能力和興趣的學(xué)生得到不同的發(fā)展。給予了學(xué)生表達(dá)自己數(shù)學(xué)觀念的機(jī)會(huì)，使學(xué)生懂得了思維是一個(gè)過(guò)程而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案，開(kāi)放題推動(dòng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深層次理解，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法表示一半。不同年級(jí)的學(xué)生都可以參與，并且可以有不同的表現(xiàn)。

筆者在教學(xué)“三角形面積練習(xí)”時(shí)，設(shè)計(jì)了一道開(kāi)放題。

有兩個(gè)正方形ABCD和FECG，邊長(zhǎng)分別為8厘米和4厘米，G是CD的中點(diǎn)，E在BC邊的延長(zhǎng)線上。選擇三個(gè)不同的三角形（非直角三角形）計(jì)算出面積。（最大的、最小的、中等大小的）

學(xué)生的作品中有簡(jiǎn)單的，有復(fù)雜的，低起點(diǎn)，人人可以參與，高落點(diǎn)，挑戰(zhàn)性的三角形蘊(yùn)含其中。在找最小的三角形中，學(xué)生連起來(lái)三角形AGE，除了用整體減去部分來(lái)計(jì)算面積以外，還激發(fā)學(xué)生用“等積變形”的策略來(lái)解決，連接AC，AC∥GE，三角形GEA與GEC，同底等高，面積相等，而三角形GEC的面積方便可得：4×4÷2=8（平方厘米）。一個(gè)問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，獲得不同的發(fā)展。提供這樣具有適度開(kāi)放性的問(wèn)題情境，讓學(xué)生可以從不同角度展開(kāi)思考，進(jìn)而提出不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性。

四、從單一到綜合

從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度來(lái)說(shuō)，今天學(xué)的是A，練習(xí)的時(shí)候不能總是AAA，而是應(yīng)該出現(xiàn)一個(gè)B，這樣反而能加深對(duì)A的認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)周長(zhǎng)之后，可以把面積結(jié)合起來(lái);學(xué)習(xí)了進(jìn)位加法之后，可以把退位減法結(jié)合起來(lái);學(xué)習(xí)了歸一問(wèn)題后，可以把歸總的結(jié)合起來(lái)。綜合不是原有單一問(wèn)題的簡(jiǎn)單羅列和堆砌，而是有機(jī)地融合。比如，用一條長(zhǎng)24米的籬笆，圍出一個(gè)長(zhǎng)方形花園。要圍出盡可能大的花園，長(zhǎng)和寬分別可能是多少？面積是多少？此題中，既考查了學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的理解，也考查對(duì)面積的應(yīng)用，這與傳統(tǒng)意義上的已知邊長(zhǎng)求周長(zhǎng)和面積相比，更加能提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)方面的能力。

比如，用下面五塊玻璃做一個(gè)魚缸，這個(gè)魚缸的底面積是多少？它能裝多少升的水？（玻璃的厚度不計(jì)）

傳統(tǒng)單一的問(wèn)題都是直接提供長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度，求長(zhǎng)方體的表面積和體積各是多少？這種問(wèn)題就是平行疊加的“綜合”，即A是A，B是B，將A和B融合起來(lái)綜合考慮，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維能力助益不少。單一的羅列變深度的融合，考慮問(wèn)題的方面多了，篩選有用信息的層面高了，可以更好地鍛煉學(xué)生的空間思維能力。

五、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)

從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從變化到不變，要常常盯準(zhǔn)變化之中不變的東西。正是這些不變的東西，把變化中的不同鏡頭聯(lián)系起來(lái)，從靜態(tài)中衍生動(dòng)態(tài)，在變化、變式過(guò)程中認(rèn)識(shí)變化過(guò)程的本質(zhì)，幫助我們?nèi)ソ鉀Q各種變化的問(wèn)題。要實(shí)現(xiàn)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化，對(duì)同一類數(shù)學(xué)問(wèn)題我們不妨采用變換條件、變換問(wèn)題、變換內(nèi)容、變換形式、變換位置、變換敘述方式、變換解題思路等組成一道或幾道新題讓學(xué)生練習(xí)。

比如，在下面4個(gè)圖形中，畫出A向?qū)叺母摺?/p>

這4個(gè)三角形，問(wèn)題都是畫高，圖（1）是標(biāo)準(zhǔn)圖形圖（2）（3）（4）變換了位置或形狀，這是圖（1）的變式練習(xí)，學(xué)生容易犯錯(cuò)。通過(guò)把三角形移動(dòng)頂點(diǎn)位置或變化形狀，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)圖形生長(zhǎng)出變式圖形，在不斷的變化中看到不變，發(fā)現(xiàn)高概念的本質(zhì)屬性，深度理解垂直的兩條線的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

比如，新圖形的表面積有變化嗎？

拿走一個(gè)小正方體，表面積比原來(lái)增加了還是減少了？

一個(gè)完整的長(zhǎng)方體拿走一個(gè)小正方體，變化的不僅僅是體積單位，還有表面積的變化。雖然從數(shù)量上看有變化，但變化是有規(guī)律可循的，前三種變化更多的是基于拿走不同位置的角塊而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)變和思考。從形式上看可以是多樣的，而最后一種體積沒(méi)有變化，但是表面積仍舊發(fā)生改變，變化的是物體的位置和面積，不變的是物體的體積。

六、從數(shù)學(xué)到生活

數(shù)學(xué)源自生活，又與生活處處相關(guān)，比如，某單位的圍墻是正方形，外邊長(zhǎng)是200米，由石磚砌成，高度為3米，甲、乙兩人分別從兩個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著外墻按逆時(shí)針?lè)较虿叫校绻酌糠昼娮?5米，乙每分鐘走65米，那么至少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間甲能看到乙？先按照追擊問(wèn)題來(lái)思考，距離差=一條邊÷速度差=200÷（75-65）=20（分鐘）。這類問(wèn)題的設(shè)計(jì)，就不同于傳統(tǒng)的追擊問(wèn)題，也不同于生活中簡(jiǎn)單的看見(jiàn)。問(wèn)題如此創(chuàng)設(shè)，挑戰(zhàn)就增加了不少，思考空間增長(zhǎng)很多。

比如，在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)補(bǔ)充不是植樹(shù)的植樹(shù)問(wèn)題：建德白沙大橋，全長(zhǎng)約390米，在橋的兩側(cè)欄桿上每隔3米就有一頭石獅子，橋頭橋尾呼應(yīng)，形態(tài)各異。橋上一共有多少頭石獅子？結(jié)合實(shí)際生活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生常常疏忽“橋的兩側(cè)”。聯(lián)系了生活，提高了數(shù)學(xué)層面的挑戰(zhàn)。

核心素養(yǎng)的一端連著現(xiàn)實(shí)世界，一端連著完整的人，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們也要努力創(chuàng)設(shè)各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，提升綜合素養(yǎng)。