廣西省梧州高級中學(xué)(543002) 周勇 楊忠梅 楊春蘭

作為高中數(shù)學(xué)教師,根據(jù)自己有限的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)過程中,存在的最大障礙就是全面而深刻地正確理解抽象的函數(shù)對應(yīng)法則.理解函數(shù)y = f(x),首先需要將對應(yīng)法則f 理解為一部數(shù)值變換器,將定義域A 中的任意一個元素?cái)?shù)量值x0輸入到數(shù)值變換器f 中,通過對應(yīng)法則f 的作用下(注：在同一個對應(yīng)法則作用下每一個不同取值的自變量x 的變換原理始終相同),輸出的結(jié)果就是函數(shù)值y0等于f(x0),不同的對應(yīng)法則就是不同的數(shù)值變換器,理解具體函數(shù)的重點(diǎn)就是要弄清具體對應(yīng)法則的變換原理,或者從計(jì)算機(jī)程序語言的角度去看待對應(yīng)法則,對應(yīng)法則會對其括號內(nèi)部的對象采取一視同仁的態(tài)度,對它們施加以相同的數(shù)值變換命令,故而代入法是求解函數(shù)解析式的最重要和最基本的常用方法,因此函數(shù)解析式求解的教學(xué)設(shè)計(jì)須以此為基礎(chǔ).下面進(jìn)行具體舉例說明.

方法1代入法

已知f(x)和g(x)的解析式,求解f[g(x)]和g[f(x)]的解析式常采用此方法,只要內(nèi)層的g(x)和f(x)整體視為原來的x 代入f(x)和g(x)解析式即可,代入法是函數(shù)解析式求法的基礎(chǔ),是后續(xù)方法的源泉,講解時(shí)一定要詳盡清楚.

例1已知函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=x2+3x+2,求解f(1),g(a),f(x+1),f[g(x)],g[f(x)]的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)本例是代入法的基礎(chǔ)題型,是幫助學(xué)生理解代入法原理的邏輯起點(diǎn),主要向?qū)W生傳授對函數(shù)對應(yīng)法則的簡單正確理解,使用了到整體代換的思想,對于多個對應(yīng)法則,可采用反向剝包菜(即從內(nèi)部通往外部一層層進(jìn)行處理).

方法2待定系數(shù)法

如果已知曉確定函數(shù)的類型,即已知f(x)是什么樣的函數(shù),然后假定設(shè)出此函數(shù)的一般形式,再利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)參數(shù)即可,求解過程中還是要注意理解使用代入法的原理(整體代換).

例2已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)由于已知函數(shù)形式特點(diǎn),故只需求出相關(guān)的參數(shù)即可,其本質(zhì)為代入法在具體形式函數(shù)中的應(yīng)用.

方法3方程法

例3已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x) = x+3,求f(x)的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)為便于理解可分別令x = t 和x = -t 得出關(guān)于f(t)和f(-t)的兩個方程,求得f(t)表達(dá)式,最后將t再重新轉(zhuǎn)化為x 即可,從中可以看出方程法本質(zhì)其實(shí)就是使用代入法進(jìn)行列方程組,再求解方程組而已.

方法4賦值法

對于抽象函數(shù)的問題可以采用此方法解決,對變量使用一般到特殊的變量賦值即可,即具體代入值.

例4若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽 且滿足f(0)=1,對任意的x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x)的表達(dá)式;

設(shè)計(jì)要點(diǎn)再次通過具體實(shí)例強(qiáng)化對代入法的理解,注意此題的y 不能理解為y =f(x),而應(yīng)理解為獨(dú)立變量.

由此, 學(xué)生已經(jīng)對代入法已經(jīng)有相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識和理解了,會產(chǎn)生認(rèn)為代入法接近于是萬能解法的看法,適時(shí)來看一個代入法無法求解函數(shù)解析式的例子,講解過程中一定要注意對引導(dǎo)學(xué)生分析和理解實(shí)例中的解題思路.

例5已知函數(shù)f(x + 1) = x2+ 2x + 3, 求解函數(shù)y =f(x)的表達(dá)式.

對于上述函數(shù)f(x+1) = x2+ 2x +3, 我們在理解上存在的最大困難在于不知道對應(yīng)法則f 這個數(shù)值變換器的運(yùn)行原理, 例如對于函數(shù)g(x) = x2+ 2x + 3 和h(x+1) = (x+1)2+2(x+1)+3,我們可以分析出,兩個函數(shù)g(x)和h(x+1),它們的對應(yīng)法則g 和h 這兩個數(shù)值變換器的運(yùn)行原理是相同的,都是將小括號內(nèi)部的被作用對象x 和x+1 先進(jìn)行平方運(yùn)算,再加上它的2 倍,最后再加上常數(shù)3,這三個部分?jǐn)?shù)值的和就是最終的作用結(jié)果.在此分析過程中,我們?nèi)魧⑦@三個函數(shù)f(x+1) = x2+2x+3,g(x)=x2+2x+3,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 進(jìn)行對比,可發(fā)現(xiàn)對應(yīng)法則g 和h 這兩個數(shù)值變換器的運(yùn)行原理能夠很容易得出的原因,在于它們的解析式在左右兩側(cè)的形式是統(tǒng)一的,即g(x)=x2+2x+3 中左右兩側(cè)都是使用x 表達(dá)式的形式,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 中左右兩側(cè)都是使用x+1 表達(dá)式的形式,所以相對于f(x+1)=x2+2x+3我們是較為容易分析出對應(yīng)法則g 和h 這兩個數(shù)值變換器的運(yùn)行原理.但對于f(x+1) = x2+2x+3,我們無法分析出對應(yīng)法則f 這個數(shù)值變換器的運(yùn)行原理,主要原因就在于它解析式在左右兩側(cè)的形式是分裂的,故只需要我們將其劃歸到統(tǒng)一狀態(tài)即可,方法有二種：第一種是遷就等式的左側(cè),將等式右側(cè)統(tǒng)一為左側(cè)形式,即將x2+2x+3 配湊修改為x+1 的形式;第二種是遷就等式的右側(cè),將等式左側(cè)統(tǒng)一為右側(cè)形式,即將對應(yīng)法則內(nèi)部的x+1 修改寫成單獨(dú)的x 形式,但x+1 不明顯等于x,考慮到函數(shù)的自變量可以使用不同的字母進(jìn)行表示(為幫助學(xué)生理解,可向?qū)W生解釋說明概念理解要抓住物質(zhì)內(nèi)容大于形式,類比于雖在學(xué)校里使用的正式姓名和在家里家人使用的親切乳名但都表示同一個人),故可將對應(yīng)法則內(nèi)部的x+1 令其先等于t,將其進(jìn)行換元,改變自變量的符號表示,最后換回x 即可達(dá)到最初求解解析式的目標(biāo),最后從解題結(jié)果上可以看到兩種方法殊途同歸.

方法5配湊法

此方法是整體代換思想的具體體現(xiàn),即把括號里看成一個整體,把等式的右邊化成含有這個整體的表達(dá)式即可,該方法在很多情況下不及換元法方便快捷.

解析由f(x+1) = x2+2x+3 = (x+1)2+2,觀察等式左右兩側(cè),使用整體代入可得f(x)=x2+2.

方法6換元法

此方法用于不宜配湊或很難配湊出的情況,可把括號里的式子改換成t,并將等式的右邊用t 形式表示出來,即求出f(t)的表達(dá)式,最后再把t 換成x 即可,在此過程中應(yīng)注意t的取值范圍.

解析設(shè)t = x+1, 則x = t-1, 則等式f(x+1) =x2+ 2x + 3 兩側(cè)中的x 全部更換為t 可得f(t) =(t-1)2+2(t-1)+3=t2-2t+1+2t-2+3=t2+2,所以f(x)=x2+2.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)將配湊法和換元法放在最后,是基于幫助學(xué)生全面而深刻理解函數(shù)對應(yīng)法則,激發(fā)學(xué)生弄清運(yùn)行原理.

至此,函數(shù)解析式的求解方法已經(jīng)全部向?qū)W生介紹完畢,在整個教學(xué)設(shè)計(jì)中,以代入法的講解為主線,進(jìn)行了有所側(cè)重的講解,并對代入法無法解決的最后一道例題進(jìn)行了詳細(xì)分析和求法解釋說明,幫助學(xué)生正確理解了函數(shù)的對應(yīng)法則這一數(shù)值變換器,樹立了認(rèn)識具體函數(shù)的重難點(diǎn)在于徹底弄清對應(yīng)法則的運(yùn)行原理的規(guī)律意識,取得了良好的教學(xué)效果.