安徽亳州市譙城區(qū)夏侯分校 佟茂峰

從某種意義上說，數(shù)學(xué)教學(xué)就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“解壓縮”，將“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)。只有將“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)，學(xué)生才能真正理解知識(shí)、掌握知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)。解壓縮，是將“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)的一個(gè)有效路徑。

一、道而弗牽：恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的“原始形態(tài)”

在數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)知識(shí)是以一種簡(jiǎn)約化、壓縮化的學(xué)術(shù)形態(tài)出現(xiàn)的。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)誕生時(shí)的原始?xì)v程，去揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后的誕生背景，去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法，去觸摸人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子，等等。這些最為原始的過程性、歷史性、思想性的數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的人文、思想、文化等元素，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神來說更具有教育意義，這就是數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)。

北師大版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)《課桌有多長(zhǎng)》一課，直接出示測(cè)量物體長(zhǎng)度的工具——直尺，盡管學(xué)生習(xí)得了技能，如將物體的一端直接對(duì)準(zhǔn)直尺的零刻度，讀出另一端的讀數(shù)等，但在這樣的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)面前，學(xué)生沒有理解測(cè)量的本質(zhì)。教學(xué)中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生恢復(fù)測(cè)量物體長(zhǎng)度的原始形態(tài)，讓學(xué)生經(jīng)歷“厘米尺”的發(fā)明、誕生過程。遠(yuǎn)古時(shí)代，人類沒有任何測(cè)量工具，他們是怎樣測(cè)量的呢？（出示一搾、一庹）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入活動(dòng)一?；顒?dòng)中，不同的學(xué)生用自身的身體尺來進(jìn)行測(cè)量，由于每個(gè)學(xué)生一搾、一庹的長(zhǎng)度不一，因此導(dǎo)致同一件物體長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果不同。據(jù)此，學(xué)生就想到要統(tǒng)一測(cè)量單位。人類首先想到了用小棒來進(jìn)行測(cè)量。在測(cè)量較短長(zhǎng)度的物體時(shí)，人們用這樣一根小棒（出示一厘米小棒，幫助學(xué)生建立厘米的表象）。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入活動(dòng)二，學(xué)生在用一厘米小棒測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)發(fā)現(xiàn)，用一根一根小棒去測(cè)量物體長(zhǎng)度比較麻煩，有學(xué)生想到應(yīng)當(dāng)用長(zhǎng)一些的小棒來測(cè)量，有學(xué)生想到可以將這些小棒一根根串聯(lián)起來，于是建構(gòu)了這樣的測(cè)量工具（厘米尺的雛形）。這樣的活動(dòng)，教師道而弗牽，學(xué)生卻經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)生時(shí)的原始形態(tài)，感悟到測(cè)量一個(gè)物體的長(zhǎng)度，就是看這個(gè)物體長(zhǎng)度里有多少個(gè)測(cè)量單位。當(dāng)學(xué)生形成這樣的學(xué)習(xí)感悟后，為學(xué)生學(xué)習(xí)面積測(cè)量、體積測(cè)量奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如何恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)誕生時(shí)鮮活的“原始形態(tài)”，一個(gè)重要的方法就是引導(dǎo)學(xué)生重走人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步伐。只有經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生過程，才能真切地感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。這個(gè)過程可能是緩慢的，但卻是必需的。要知道，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種慢速度的精彩，在數(shù)學(xué)教學(xué)中欲速則不達(dá)。

二、精心設(shè)問：恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的“歷史形態(tài)”

著名數(shù)學(xué)史家克萊因深刻地指出：“歷史是教學(xué)的指南?！睂?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，變數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)為歷史形態(tài)，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。一般來說，數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)接數(shù)學(xué)史，有兩種基本形態(tài)：其一為顯性形態(tài)，即直接對(duì)接，比如：直接鏈接人類探索某一數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)史過程；其二為隱性形態(tài)，即間接對(duì)接，將人類探索知識(shí)的歷史過程融入數(shù)學(xué)教學(xué)中。這樣一種潤(rùn)物無聲的教學(xué)，能讓學(xué)生在不知不覺中感受、領(lǐng)略到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

如教學(xué)《用字母表示數(shù)》（北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，教師要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體、真實(shí)的數(shù)字向抽象的字母的認(rèn)知轉(zhuǎn)變。為此，教師要認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)史，把握人類“代數(shù)思想”的發(fā)展歷程，從而進(jìn)行用字母表示數(shù)的設(shè)計(jì)，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)化思想。我們知道，人類代數(shù)知識(shí)的發(fā)展大致經(jīng)歷了三個(gè)具體階段，即文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)和符號(hào)代數(shù)。在學(xué)生身上，也會(huì)出現(xiàn)歷史上人類認(rèn)知提升曾經(jīng)遭遇的障礙。首先，筆者出示“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，乒乒乓乓跳下水”，學(xué)生紛紛仿說。說不完，能不能用一句話概括地說呢？ 于是，有學(xué)生就是簡(jiǎn)單地用字母代替文字，比如a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿，乒乒乓乓跳下水。顯然，這樣簡(jiǎn)單地用字母代替文字的過程，就是人類代數(shù)發(fā)展史上的“文辭階段”“縮寫階段”。為此，筆者這樣啟發(fā)學(xué)生：如何看出青蛙的只數(shù)與嘴的張數(shù)、眼睛的只數(shù)、腿的條數(shù)之間的關(guān)系呢？ 在學(xué)生思維出現(xiàn)障礙時(shí)，筆者這樣啟發(fā)學(xué)生：青蛙的眼睛的只數(shù)與青蛙的個(gè)數(shù)有怎樣的關(guān)系？ 青蛙的腿的條數(shù)與青蛙的只數(shù)有怎樣的關(guān)系？從而引領(lǐng)學(xué)生超越文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)，進(jìn)入符號(hào)代數(shù)的層面。只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到青蛙的只數(shù)與眼睛的只數(shù)、腿的條數(shù)之間的關(guān)系，并能用符號(hào)表征這種關(guān)系時(shí)，學(xué)生才能深刻認(rèn)識(shí)到，符號(hào)不僅可以表示確定的數(shù)，而且還可以表示變化的數(shù)；不僅可以表示未知數(shù)，而且還可以表示已知數(shù)；等等。

根據(jù)“歷史發(fā)生原理”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程會(huì)重走人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的歷程。因此，教師有必要研究數(shù)學(xué)史、運(yùn)用數(shù)學(xué)史。數(shù)學(xué)史中那些原始的、客觀的數(shù)學(xué)探究過程即是數(shù)學(xué)的“史學(xué)形態(tài)”。恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的史學(xué)形態(tài)，其根本目的在于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育功能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，從而讓數(shù)學(xué)史更好地服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

三、授之以漁：恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的“思考形態(tài)”

著名教育家弗賴登塔爾說：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來。一個(gè)問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得‘火熱的思考’變成了‘冰冷的美麗’。”將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，要恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考形態(tài)，比如數(shù)學(xué)家的思考形態(tài)。這種思考形態(tài)是鮮活的，富有生命力的。授之以漁，就是要點(diǎn)燃學(xué)生數(shù)學(xué)思維的火花。

比如：教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《運(yùn)算律》時(shí)，學(xué)生遇到了這樣一道習(xí)題：1+2+3+…+98+99+100=？ 這不就是著名的“高斯問題”嗎？ 如何啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律？ 筆者在教學(xué)中，力圖恢復(fù)、引導(dǎo)學(xué)生揣摩數(shù)學(xué)家高斯的“思考形態(tài)”：一個(gè)一個(gè)相加，太麻煩了。這一串?dāng)?shù)字有怎樣的特征呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從左往右，每一個(gè)數(shù)依次增加1；從右往左，每一個(gè)數(shù)依次減少1。如果從兩端往中間看，每一組中兩個(gè)數(shù)的和都是101。這樣一共有50組101，也就是用101乘50?；蛘?，以小見大找規(guī)律。比如：1+2；1+2+3；1+2+3+4；……1+2+3+……+100。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每一組數(shù)都是“末位數(shù)”乘“末位數(shù)加1”然后除以2。在這個(gè)過程中，學(xué)生還原了一般的探索歷程，還原了數(shù)學(xué)家的思考品格：思維的變通性，思維的簡(jiǎn)潔性。授之以漁，就是要引導(dǎo)學(xué)生展開火熱的數(shù)學(xué)思考，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)背后的規(guī)律。借助這樣一種恢復(fù)數(shù)學(xué)思考形態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，可以培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺力、數(shù)學(xué)理解力和數(shù)學(xué)創(chuàng)造性。經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程，學(xué)生不僅可以完整而深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，也能感悟、領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，即一種信念、興趣，一種文化的積極啟蒙、創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)不僅是一種工具，更是一種思維模式。通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)思考形態(tài)的恢復(fù)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能獲得一種觀念性、思想性的突破。正如古希臘著名思想家普羅泰戈拉所說：“頭腦不是一個(gè)要被填滿的容器,而是一把要被點(diǎn)燃的火炬?！痹诨謴?fù)數(shù)學(xué)知識(shí)思考形態(tài)的教學(xué)中，學(xué)生“火熱的思考”正是點(diǎn)燃“火炬”的火種！

數(shù)學(xué)知識(shí)是一種壓縮形態(tài)的知識(shí)，通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“解壓縮”而展開的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能被學(xué)生主動(dòng)地激活，而且能讓學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)、創(chuàng)造。通過“解壓縮”，教師引導(dǎo)學(xué)生將嚴(yán)密、抽象、冰冷的“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)、活潑、形象的“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)，這是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。通過這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生能理解數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想方法，能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精神、文化。由此，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。